高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)練習(xí)第1講直線方程和兩直線的位置關(guān)系

第九章 解析幾何 第1講 直線方程和兩直線的位置關(guān)系 一、選擇題 1．已知直線l的傾斜角α滿足條件sinα＋cosα＝，則l的斜率為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析 α必為鈍角，且sinα的絕對(duì)值大，故選C. 答案　C 2．經(jīng)過兩點(diǎn)A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直線的傾斜角為，則y＝(　　)． A．－1 B．－3 C．0 D．2 解析　由＝＝y(tǒng)＋2， 得：y＋2＝tan ＝－1.∴y＝－3. 答案　B 3．若直線l：y＝kx－與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是 (　　)． A. B. C. D. 解析　如圖，直線l：y＝kx－，過定點(diǎn)P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，則直線PA的傾斜角為，滿足條件的直線l的傾斜角的范圍是. 答案　B 4．過點(diǎn)A(2,3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為(　　)． A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 解析　由題意可設(shè)所求直線方程為：x－2y＋m＝0，將A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直線方程為x－2y＋4＝0. 答案　A 5．設(shè)直線l的方程為x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，則直線l的傾斜角α的范圍是(　　)． A．[0，π) B. C. D.∪ 解析　(直接法或篩選法)當(dāng)cos θ＝0時(shí)，方程變?yōu)閤＋3＝0，其傾斜角為； 當(dāng)cos θ≠0時(shí)，由直線方程可得斜率k＝－. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． ∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈∪. 綜上知，傾斜角的范圍是. 答案　C 6．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m＋n＝ (　　)． A．4 B．6 C. D. 解析　由題可知紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，于是 解得故m＋n＝. 答案　C 二、填空題 7．若A(－2,3)，B(3，－2)，C(，m)三點(diǎn)共線，則m的值為________． 解析 由kAB＝kBC，即＝，得m＝. 答案 8．直線過點(diǎn)(2，－3)，且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則這樣的直線方程是________． 解析 設(shè)直線方程為為－＝1或y＝kx的形式后，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求得a＝5和k＝－. 答案 y＝－x或－＝1　 9．已知直線l1：ax＋3y－1＝0與直線l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析　由兩直線垂直的條件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝. 答案　 10．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則的值為________． 解析　由題意得，＝≠，∴a＝－4且c≠－2， 則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0， 由兩平行線間的距離，得＝， 解得c＝2或c＝－6，所以＝±1. 答案　±1 三、解答題 11．已知直線l過點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，是否存在使△ABO面積最小的直線l？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解　存在．理由如下． 設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，則A，B(0,1－2k)， △ AOB的面積S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－，即k＝－時(shí)，等號(hào)成立， 故直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 12．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)． (1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值． 解　(1)經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3.解得λ＝2或λ＝. ∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由解得交點(diǎn)P(2,1)， 如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離， 則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)． ∴dmax＝|PA|＝. 13．已知直線l過點(diǎn)P(2,3)，且被兩條平行直線l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的線段長為d. (1)求d的最小值； (2)當(dāng)直線l與x軸平行，試求d的值． 解　(1)因?yàn)?×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以點(diǎn)P在兩條平行直線l1，l2外． 過P點(diǎn)作直線l，使l⊥l1，則l⊥l2，設(shè)垂足分別為G，H，則|GH|就是所求的d的最小值．由兩平行線間的距離公式，得d的最小值為|GH|＝＝3. (2)當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，l的方程為y＝3，設(shè)直線l與直線l1，l2分別交于點(diǎn)A(x1,3)，B(x2,3)，則3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5. 14．已知直線l1：x－y＋3＝0，直線l：x－y－1＝0.若直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為l2，求直線l2的方程． 解　法一　因?yàn)閘1∥l，所以l2∥l， 設(shè)直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)． 直線l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱， 所以l1與l，l2與l間的距離相等． 由兩平行直線間的距離公式得＝， 解得m＝－5或m＝3(舍去)． 所以直線l2的方程為x－y－5＝0. 法二　由題意知l1∥l2，設(shè)直線l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)． 在直線l1上取點(diǎn)M(0,3)， 設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)， 于是有解得即M′(4，－1)． 把點(diǎn)M′(4，－1)代入l2的方程，得m＝－5， 所以直線l2的方程為x－y－5＝0.