7、n－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2).
當n＝1時，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴數列{an}是首項a1＝－1，公比q＝2的等比數列，
∴Sn＝＝＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
8.在已知數列{an}中，a1＝1，Sn為數列{an}的前n項和，且當n≥2時，有＝1成立，則S2 017＝________.
答案
解析 當n≥2時，由＝1，
得2(Sn－Sn－1)＝anSn－S＝－SnSn－1，
所以－＝1，又＝2，
所以是以2為首項，1為公差的等差數列，
所以＝n＋1，故Sn＝，則S2 017＝.
考點三 數列的綜合應用
方
8、法技巧 (1)以函數為背景的數列問題、可以利用函數的性質等確定數列的通項an、前n項和Sn的關系.
(2)和不等式有關的數列問題，可以利用不等式的性質、基本不等式、函數的單調性等求最值來解決.
9.(2018·黑龍江大慶一中模擬)已知函數f(x)＝x2＋ax的圖象在點A(0，f(0))處的切線l與直線2x－y＋2＝0平行，若數列的前n項和為Sn，則S20的值為( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因為f(x)＝x2＋ax，所以f′(x)＝2x＋a，又函數f(x)＝x2＋ax的圖象在點A(0，f(0))處的切線l與直線2x－y＋2＝0平行，所以f′(0)＝a＝2，所以f
9、(x)＝x2＋2x，
所以＝＝，
所以S20＝＝×＝.
10.已知等差數列{an}的前n項和Sn＝n2＋bn＋c，等比數列{bn}的前n項和Tn＝3n＋d，則向量a＝(c，d)的模為( )
A.1 B. C. D.無法確定
答案 A
解析 由等差數列與等比數列的前n項和公式知，c＝0，d＝－1，
所以向量a＝(c，d)的模為1.
11.設等比數列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________.
答案 64
解析 由已知a1＋a3＝10，a2＋a4＝a1q＋a3q＝5，
兩式相除得＝，
解得q＝，a1＝8，
方法一 ∴a2
10、＝4，a3＝2，a4＝1，∴a1a2a3＝a1a2a3a4，∴a1a2…an的最大值為64.
方法二 由a1a2…an＝8n·1＋2＋…＋(n－1)＝，拋物線f(n)＝－＋的對稱軸為n＝＝，又n∈N*，所以當n＝3或4時，a1a2…an取最大值26＝64.
12.已知函數f(x)＝3|x＋5|－2|x＋2|，數列{an}滿足a1<－2，an＋1＝f(an)，n∈N*.若要使數列{an}成等差數列，則a1的取值集合為______________.
答案
解析 因為f(x)＝
所以若數列{an}成等差數列，則當a1為直線y＝x＋11與直線y＝－x－11的交點的橫坐標，即a1＝－11時，
11、數列{an}是以－11為首項，11為公差的等差數列；
當f(a1)＝a1，即5a1＋19＝a1或－a1－11＝a1，即a1＝－或a1＝－時，數列{an}是以0為公差的等差數列，因此a1的取值集合為.
1.在數列{an}中，a1＝1，a2＝2，當整數n＞1時，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，則S15等于( )
A.210 B.211 C.224 D.225
答案 B
解析 當n＞1時，Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，
∴an＋1＝an＋2，n≥2，∴an＋1－an＝2，n≥2.
∴數列{an}從第二項開始組成公差為2的等差數列，
∴S15＝a1＋(a2
12、＋…＋a15)＝1＋×14＝211.
2.已知數列{an}滿足：an＋1＝an(1－2an＋1)，a1＝1，數列{bn}滿足：bn＝an·an＋1，則數列{bn}的前2 017項的和S2 017＝________.
答案
解析 由an＋1＝an(1－2an＋1)，可得－＝2，
所以數列是首項為1，公差為2的等差數列，
故＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以an＝.
又bn＝an·an＋1＝＝，
所以S2 017＝＝×＝.
3.已知數列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，則的最小值為________.
答案
解析 由題意，得a2－a1＝2，a3－a2＝4，…，a
13、n－an－1＝2(n－1)，n≥2，
累加整理可得an＝n2－n＋33，n≥2，
當n＝1時，a1＝33也滿足，
∴＝n＋－1(n∈N*).
由函數f(x)＝x＋－1(x＞0)的單調性可知，
的最小值為f(5)，f(6)中較小的一個.
又f(6)＝，f(5)＝，
∴min＝.
解題秘籍 (1)利用an＝Sn－Sn－1尋找數列的關系，一定要注意n≥2這個條件.
(2)數列的最值問題可以利用基本不等式或函數的性質求解，但要考慮最值取到的條件.
1.等差數列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數列，則{an}的前6項和為( )
A.－24 B.－3
14、 C.3 D.8
答案 A
解析 由已知條件可得a1＝1，d≠0，
由a＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，
解得d＝－2.
所以S6＝6×1＋＝－24.
2.設等比數列{an}的前6項和S6＝6，且1－為a1，a3的等差中項，則a7＋a8＋a9等于( )
A.－2 B.8 C.10 D.14
答案 B
解析 依題意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，數列S3，S6－S3，S9－S6成等比數列，即數列2，4，S9－S6成等比數列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8，故選B.
3.已知數列{an}滿足an＋1－an＝2
15、，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|等于( )
A.9 B.15 C.18 D.30
答案 C
解析 由an＋1－an＝2可得數列{an}是等差數列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
4.已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數的正整數n的個數是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
解析?。剑剑剑剑剑?＋，
驗證知，當n＝1，2，3，5，11時為整數.
5.在等比數列{an}中，a1＝2，前n
16、項和為Sn，若數列{an＋1}也是等比數列，則Sn等于( )
A.2n＋1－2 B.3n C.2n D.3n－1
答案 C
解析 設等比數列{an}的公比為q，由于{an＋1}也是等比數列，所以(a2＋1)2＝(a1＋1)(a3＋1)，即a＋2a2＋1＝a1a3＋a1＋a3＋1，即2a2＝a1＋a3，即2q＝1＋q2，解得q＝1，所以數列{an}是常數列，所以Sn＝2n.
6.設Sn是等比數列{an}的前n項和，若＝3，則等于( )
A.2 B. C. D.1或2
答案 B
解析 設S2＝k，則S4＝3k，
由數列{an}為等比數列(易知數列{an}的公比q≠－1)
17、，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數列，
又S2＝k，S4－S2＝2k，
∴S6－S4＝4k，
∴S6＝7k，
∴＝＝，故選B.
7.(2018·唐山模擬)設{an}是任意等差數列，它的前n項和、前2n項和與前4n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是( )
A.2X＋Z＝3Y B.4X＋Z＝4Y
C.2X＋3Z＝7Y D.8X＋Z＝6Y
答案 D
解析 根據等差數列的性質X，Y－X，S3n－Y，Z－S3n成等差數列，
∴S3n＝3Y－3X，
又2(S3n－Y)＝(Y－X)＋(Z－S3n)，
∴4Y－6X＝Y－X＋Z－3Y＋3X，
∴8X＋Z＝6Y
18、.
8.若數列{an}滿足a1＝1，且對于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，則＋＋…＋等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，
則a2－a1＝1＋1，
a3－a2＝2＋1，
a4－a3＝3＋1，
…，
an－an－1＝(n－1)＋1，n≥2.
以上等式相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n－1，n≥2，
把a1＝1代入上式得，
an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，n≥2，
＝＝2，n≥2，
當n＝1時，a1＝1也滿足，
∴＝2，n∈N*，
則＋＋…＋＝2＝2＝.
19、
9.公差不為0的等差數列{an}的部分項構成等比數列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，則k4＝________.
答案 22
解析 根據題意可知，等差數列的a1，a2，a6項成等比數列，設等差數列的公差為d，則有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1，
所以＝a1＋(k4－1)·(3a1)＝64a1，解得k4＝22.
10.若Sn為數列{an}的前n項和，且2Sn＝an＋1an，a1＝4，則數列{an}的通項公式為an＝____.
答案
解析 因為2Sn＝an＋1an，a1＝4，
所以n＝1時，2×4＝4a2，
解得a2＝2.
20、n≥2時，2Sn－1＝anan－1，
可得2an＝an＋1an－anan－1，
所以an＝0(舍去)或an＋1－an－1＝2.
n≥2時，an＋1－an－1＝2，可得數列{an}的奇數項與偶數項分別為等差數列.
所以a2k－1＝4＋2(k－1)＝2k＋2，k∈N*，
a2k＝2＋2(k－1)＝2k，k∈N*.
所以an＝
11.古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這個女子每天分別織布多少？”根據上題的已知條件，可求得該女子第3天所織布的尺數為______
21、__.
答案
解析 設這個女子每天分別織布an尺，則數列{an}是等比數列，公比q＝2.則＝5，解得a1＝.
所以a3＝×22＝.
12.已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn＝n2＋2n，bn＝anan＋1cos[(n＋1)π]，數列{bn}的前n項和為Tn，若Tn≥tn2對n∈N*恒成立，則實數t的取值范圍是________.
答案 (－∞，－5]
解析 n＝1時，a1＝S1＝3.n≥2，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.n＝1時也成立，
所以an＝2n＋1.
所以bn＝anan＋1cos[(n＋1)π]＝(2n＋1)(2n＋3)
22、cos[(n＋1)π]，
n為奇數時，cos[(n＋1)π]＝1，
n為偶數時，cos[(n＋1)π]＝－1.
因此當n為奇數時，Tn＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…＋(2n＋1)(2n＋3)＝3×5＋4×(7＋11＋…＋2n＋1)＝15＋4×＝2n2＋6n＋7.
因為Tn≥tn2對n∈N*恒成立，
所以2n2＋6n＋7≥tn2，t≤＋＋2＝72＋，
所以t≤2.
當n為偶數時，Tn＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…－(2n＋1)(2n＋3)
＝－4×(5＋9＋13＋…＋2n＋1)＝－2n2－6n.
因為Tn≥tn2對n∈N*恒成立，
所以－2n2－6n≥tn2，t≤－2－，
所以t≤－5.
綜上可得t≤－5.
2019年高考數學復習大二輪精準提分練習第二篇 第11練
