江西省信豐縣高中數(shù)學 《數(shù)學歸納法證明不等式2》課件 新人教A版選修45

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1、 在數(shù)學研究中，人們會遇到這樣的情在數(shù)學研究中，人們會遇到這樣的情 況，對于任意況，對于任意正整數(shù)正整數(shù)n或不小于某個數(shù)或不小于某個數(shù)n0 的的任意任意正整數(shù)正整數(shù)n，都有某種關系成立。都有某種關系成立。對這類問題的證明我們將使用又一種重要的數(shù)學推理方法對這類問題的證明我們將使用又一種重要的數(shù)學推理方法-數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法與正整數(shù)有關與正整數(shù)有關的命題的命題例如：例如： 14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2 (nN+) n21+nx (x-1,nN+).n=5,a5=25問題情境一問題情境一問題問題 1:大球中有大球中有5個小球，如何驗證它們都是綠色的？個小球，如何驗證它們都是

2、綠色的？ 完全歸納完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法 模模 擬擬 演演 示示問題問題3: 已知： 13= 2 135= 3 1357= 4 1+3579=5可猜想：1+35 （1）n（2n1）問題問題2：若：若an=(n2- 5n+5)2 ，則則an=1。對嗎？。對嗎？1 1 1 1 當當n=1,a1= ;n=2,a2= ;n=3,a3= ; n=4,a4= ;（1）n n問題情境二：數(shù)學家費馬運用不完全問題情境二：數(shù)學家費馬運用不完全歸納法得出費馬猜想的事例歸納法得出費馬猜想的事例0123422222213215211 7212 5 7216 5 5 3 7.費 馬 觀 察 到 ：猜想：都是

3、質數(shù)法國的數(shù)學家費馬（法國的數(shù)學家費馬（Pierre de Fermat） (1601年年1665年年) 。 十七世紀最卓越的數(shù)學家之一，十七世紀最卓越的數(shù)學家之一，他在數(shù)學許多領域中都有極大的貢獻，他在數(shù)學許多領域中都有極大的貢獻，因為他的本行是專業(yè)的律師，因為他的本行是專業(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學造詣，為了表彰他的數(shù)學造詣，世人冠以世人冠以“業(yè)余王子業(yè)余王子”之美稱，之美稱，221()nnFnN歸納法：由一系列有限的歸納法：由一系列有限的特殊事例特殊事例得出得出一般結論一般結論的推理方法。的推理方法。 （結論一定可靠，但需逐一核對，實施較難）（結論一定可靠，但需逐一核對，實施較難）（結論不

4、一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）（結論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）（1 1）完全歸納法：考察）完全歸納法：考察全體全體對象，得到一般結論的推理方法。對象，得到一般結論的推理方法。（2 2）不完全歸納法）不完全歸納法, ,考察考察部分部分對象對象, ,得到一般結論的推理方法。得到一般結論的推理方法。歸納法分為歸納法分為 完全歸納法完全歸納法 和和 不完全歸納法。不完全歸納法。歸納法歸納法如何解決不完全歸納法如何解決不完全歸納法存在的問題呢？存在的問題呢？必須尋找一種用必須尋找一種用有限有限個步驟，就個步驟，就能處理完能處理完無限無限多個對象的方法。多個對象的方法。 問題情境三問

5、題情境三 多米諾骨牌多米諾骨牌操作實驗操作實驗數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法我們常采用我們常采用數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法來證明：由不完全歸納法來證明：由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的正確性得到的某些與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的正確性. . （1 1）證明當）證明當n n取第一個值取第一個值n n0 0( (例如例如n n0 0=1) =1) 時命題成立時命題成立 （2 2）假設當）假設當n=k(kn=k(k N N ,k n,k n0 0 ) )時命題成立時命題成立 證明當證明當n=k+1n=k+1時命題也成立。時命題也成立。 這種證明方法叫做這種證明方法叫做 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法k=2,k+1

6、=2k=2,k+1=2+1=3+1=3k=3,k+1=3k=3,k+1=3+1=4+1=4k=10,k+1=k=10,k+1=10+1=1110+1=11下面我們來證明前面問題下面我們來證明前面問題3中猜想的正確性中猜想的正確性證明證明: (1): (1)當當n=1n=1時時, ,左邊左邊= =1,1,右邊右邊= =1,1, 左邊左邊= =右邊右邊, , 當當n=1n=1時，式時，式（*）成立成立 (2) (2)假設當假設當n=kn=k時，式時，式（*）成立，成立， 即即 1+35 （1）k（2k1）（1）k k在這個假設下再考慮當在這個假設下再考慮當n=k+1n=k+1時，式時，式（*）的左

7、右兩邊的左右兩邊 是否成立是否成立. .例例1、用數(shù)學歸納法證明：當、用數(shù)學歸納法證明：當nN+時，時，1+35 （1）n（2n1）（1）n n （*）當當n=k+1時時等式左邊等式左邊 1+35 （1）k（2k1）（1）k1 2(k+1)1（1）k1 2(k+1)1 （1）k1 (k+1)右邊所以當n=k+1時等式（*）成立。由（1）（2）可知， 1+35 （1）n（2n1）（1）n n 利用利用假設假設湊結論湊結論從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化 （1）k k （1）k1 k2(k+1)1下面的框圖表示了數(shù)學歸納法的基本過程：下面的框圖表示了數(shù)學歸納法的基本過程

8、：（1）驗證：）驗證：n=n0（n0N+）時命題成立。時命題成立。（2）證明：假設）證明：假設n=k（kn0）時命題成立，）時命題成立，則則n=k+1時命題也成立。時命題也成立。對所有的對所有的n （n0N+， nn0）命題成立）命題成立奠基奠基假設與假設與遞推遞推數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是一種證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的重要方法。是一種證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的重要方法。主要有兩個步驟、一個結論主要有兩個步驟、一個結論: : 第一步：驗證當?shù)谝徊剑候炞C當n n取第一個值取第一個值n n0 0（如（如 n n0 0=1=1或或2 2等）時結論正確等）時結論正確第二步：第二步：假設假設n=k (k

9、Nn=k (kN ， 且且k nk n0 0) )時結論正確，時結論正確， 證明證明n=k+1n=k+1時結論也正確時結論也正確結論：結論：由（由（1 1）、（）、（2 2）得出結論正確）得出結論正確找準起點奠基要穩(wěn)用上假設遞推才真寫明結論才算完整數(shù)學歸納法主要步驟數(shù)學歸納法主要步驟:例例2用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明14411）此時此時n0=_左左_ 右右= _ 2）假設）假設n=k時命題成立，即時命題成立，即 當當n=k時，等式左邊共有時，等式左邊共有_項，項，第第(k1)項是項是_。k(K1)3(k1)11(11)2 =414+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2 14+27

10、+310+k(3k+1)=k(k+1)2 3）當）當n=k+1時，命題的形式是時，命題的形式是4）此時，左邊增加的項是）此時，左邊增加的項是5)從左到右如何變形？從左到右如何變形？ 14+27+310+k(3k+1) +(k+1)3(k+1)+1 =(k+1)(k+1)+12(k+1)3(k+1)+1證明：證明：（1）當）當n=1時，左邊時，左邊144，右邊，右邊1224，等式成立。，等式成立。 （2）假設）假設 n= k時時 命題成立，即命題成立，即 1 4+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2 這就是說，當這就是說，當n=k+1時等式也成立。時等式也成立。根據(jù)（根據(jù)（1）和（）和（

11、2），可知等式對任何），可知等式對任何nN都成立都成立 當當n=k+1時時左邊左邊= =14+27+310+k(3k+1) +(k+1)(3(k+1)+1)= k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)= (k+1)k(k+1)+3(k+1)+1= (k+1)k2+4k+4=(k+1)(k+1)+12 右邊右邊練習鞏固練習鞏固 Nnnnnnnn,12312121 1. .用數(shù)學歸納法證明：用數(shù)學歸納法證明：在驗證在驗證n=1n=1成立時，左邊計算所得的結果是成立時，左邊計算所得的結果是22.某個命題與正整數(shù)某個命題與正整數(shù)n有關，如果當有關，如果當 時命題成時命題成立，那么可推得當立，那么

12、可推得當 n=k+1 時命題也成立時命題也成立. 現(xiàn)已知當現(xiàn)已知當n=5時該時該命題不成立，那么可推得命題不成立，那么可推得（ ）A當當n=6時該命題不成立時該命題不成立 B當當n=6時該命題成立時該命題成立C當當n=4時該命題不成立時該命題不成立 D當當n=4時該命題成立時該命題成立)(NkknC3.如下用數(shù)學歸納法證明對嗎？如下用數(shù)學歸納法證明對嗎？21證明：證明：當當n=1時，左邊時，左邊右邊右邊等式成立。等式成立。假設假設n=k時等式成立，有時等式成立，有那么，當那么，當n=k+1時，有時，有即即n=k+1時，命題成立。時，命題成立。根據(jù)根據(jù)可知，對可知，對nN，等式成立，等式成立。n

13、n)21(2121212132-111122kk)21(12121212132-211211)21(1 21212121211112kkkk）（注意注意:用上假設遞推才真第二步證明中沒有用到假設，這不是數(shù)學歸納法證明第二步證明中沒有用到假設，這不是數(shù)學歸納法證明既然不對，如何改正？既然不對，如何改正？3111121111221111 2( )111111 ( )2222-(222)2kkkkkkk-三注意：三注意：1、有時、有時 n n0 0不一定等于不一定等于1 2、項數(shù)不一定只增加一項。、項數(shù)不一定只增加一項。 3、一定要用上假設、一定要用上假設分析分析4. .用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法

14、證明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) ) 2n)(1n( n31+練習鞏固練習鞏固 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化利用利用假設假設湊結論湊結論證明證明:2)假設假設n=k時命題成立時命題成立,即即122334k(k+1)2)(1(31kkk)2)(1() 1(.4332211kkkkkn時，左邊則當)2)(1()2)(1(31kkkkk)2)(1)(131(kkk右邊 1)2(1) 1)(1(31kkk1)當當n=1時，左邊時，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立1 111223 33 3 n=k+1時命題正確。時命題正

15、確。 由由(1)和和(2)知，當知，當 ，命題正確，命題正確。Nn 明確初始值明確初始值n0，驗證真假。（必不可少），驗證真假。（必不可少） “假設假設n=k時命題正確時命題正確”，寫出命題形式。，寫出命題形式。 證明證明“n=k+1時時”命題成立。命題成立。分析分析“n=k+1時時”命題是什么，并找出與命題是什么，并找出與“n=k”時命時命題形式的差別，弄清左端應增加的項。題形式的差別，弄清左端應增加的項。注意用上假設，注意用上假設， 要作結論要作結論用數(shù)學歸納法證明恒等式注意事項：用數(shù)學歸納法證明恒等式注意事項：數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是一種證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的重要方法。是一種證明與正

16、整數(shù)有關的數(shù)學命題的重要方法。主要有兩個步驟、一個結論主要有兩個步驟、一個結論: : （1 1）證明當）證明當n n取第一個值取第一個值n n0 0（如（如 n n0 0=1=1或或2 2等）時結論正確等）時結論正確（2 2）假設）假設n=k (kNn=k (kN ， 且且k nk n0 0) )時結論正確，時結論正確， 證明證明n=k+1n=k+1時結論也正確時結論也正確 由（由（1 1）、（）、（2 2）得出結論正確）得出結論正確（1）數(shù)學歸納法是一種完全歸納法的證明方法它適用于）數(shù)學歸納法是一種完全歸納法的證明方法它適用于與正整數(shù)有關與正整數(shù)有關的問題。的問題。（2）兩個步驟，一個結論缺

17、一不可兩個步驟，一個結論缺一不可，否則結論不能成立。，否則結論不能成立。（3）在證明遞推步驟時，必須）在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設使用歸納假設。遞推基礎不可少遞推基礎不可少歸納假設要用到歸納假設要用到結論寫明莫忘掉結論寫明莫忘掉歸納法歸納法完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法窮舉法窮舉法可能錯誤如何避免？ 數(shù)學歸納法是一種完全歸納法數(shù)學歸納法是一種完全歸納法 ，它是在可靠的基它是在可靠的基礎上，利用命題自身具有的傳遞性，運用礎上，利用命題自身具有的傳遞性，運用“有限有限”的的手段，來解決手段，來解決“無限無限”的問題。它克服了完全歸納法的問題。它克服了完全歸納

18、法的繁雜、不可行的缺點，又克服了不完全歸納法結論的繁雜、不可行的缺點，又克服了不完全歸納法結論不可靠的不足，使我們認識到事情由簡到繁、由特殊不可靠的不足，使我們認識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮到一般、由有限到無窮。 數(shù)學歸納法的核心數(shù)學歸納法的核心思想思想（1）思考題：）思考題：問題 1中大球中有很多個小球，如何證明它們都是綠色的？模模 擬擬 演演 示示（2）課本作業(yè)）課本作業(yè) P50. 習題4. 1 1，2 （3 3）補充作業(yè)）補充作業(yè): : 用數(shù)學歸納法證明：如果an是一個等差數(shù)列，那么an=a1+(n-1)d對于一切nN*都成立。（4）預習課本）預習課本P49例例1和例和例2哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想德國數(shù)學家哥德巴赫經(jīng)過觀察,發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：任何大于5的整數(shù),都可以表示為三個質數(shù)的和.他猜想這個命題是正確的,但他本人無法給予證明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教當時頗負盛名的瑞士數(shù)學家歐拉,歐拉經(jīng)過反復研究,發(fā)現(xiàn): 問題的關鍵在于證明任意大于2的偶數(shù)能表示為兩個質數(shù)的和.于是,歐拉對大于2的偶數(shù)逐個加以驗算,最后歐拉猜想上述結論是正確的。6月30日，他復信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶數(shù)都是兩個質數(shù)的和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑這是完全正確的定理?！边@就是著名的哥德巴赫猜想這就是著名的哥德巴赫猜想.