江西省信豐縣高中數(shù)學(xué) 《數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2》課件 新人教A版選修45

在數(shù)學(xué)研究中，人們會(huì)遇到這樣的情在數(shù)學(xué)研究中，人們會(huì)遇到這樣的情 況，對(duì)于任意況，對(duì)于任意正整數(shù)正整數(shù)n或不小于某個(gè)數(shù)或不小于某個(gè)數(shù)n0 的的任意任意正整數(shù)正整數(shù)n，都有某種關(guān)系成立。都有某種關(guān)系成立。對(duì)這類問(wèn)題的證明我們將使用又一種重要的數(shù)學(xué)推理方法對(duì)這類問(wèn)題的證明我們將使用又一種重要的數(shù)學(xué)推理方法-數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法與正整數(shù)有關(guān)與正整數(shù)有關(guān)的命題的命題例如：例如： 14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2 (nN+) n21+nx (x-1,nN+).n=5,a5=25問(wèn)題情境一問(wèn)題情境一問(wèn)題問(wèn)題 1:大球中有大球中有5個(gè)小球，如何驗(yàn)證它們都是綠色的？個(gè)小球，如何驗(yàn)證它們都是綠色的？ 完全歸納完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法 模模 擬擬 演演 示示問(wèn)題問(wèn)題3: 已知： 13= 2 135= 3 1357= 4 1+3579=5可猜想：1+35 （1）n（2n1）問(wèn)題問(wèn)題2：若：若an=(n2- 5n+5)2 ，則則an=1。對(duì)嗎？。對(duì)嗎？1 1 1 1 當(dāng)當(dāng)n=1,a1= ;n=2,a2= ;n=3,a3= ; n=4,a4= ;（1）n n問(wèn)題情境二：數(shù)學(xué)家費(fèi)馬運(yùn)用不完全問(wèn)題情境二：數(shù)學(xué)家費(fèi)馬運(yùn)用不完全歸納法得出費(fèi)馬猜想的事例歸納法得出費(fèi)馬猜想的事例0123422222213215211 7212 5 7216 5 5 3 7.費(fèi) 馬 觀 察 到 ：猜想：都是質(zhì)數(shù)法國(guó)的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（法國(guó)的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Pierre de Fermat） (1601年年1665年年) 。 十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)，因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師，因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣，世人冠以世人冠以“業(yè)余王子業(yè)余王子”之美稱，之美稱，221()nnFnN歸納法：由一系列有限的歸納法：由一系列有限的特殊事例特殊事例得出得出一般結(jié)論一般結(jié)論的推理方法。的推理方法。 （結(jié)論一定可靠，但需逐一核對(duì)，實(shí)施較難）（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對(duì)，實(shí)施較難）（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成猜想）（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成猜想）（1 1）完全歸納法：考察）完全歸納法：考察全體全體對(duì)象，得到一般結(jié)論的推理方法。對(duì)象，得到一般結(jié)論的推理方法。（2 2）不完全歸納法）不完全歸納法, ,考察考察部分部分對(duì)象對(duì)象, ,得到一般結(jié)論的推理方法。得到一般結(jié)論的推理方法。歸納法分為歸納法分為 完全歸納法完全歸納法 和和 不完全歸納法。不完全歸納法。歸納法歸納法如何解決不完全歸納法如何解決不完全歸納法存在的問(wèn)題呢？存在的問(wèn)題呢？必須尋找一種用必須尋找一種用有限有限個(gè)步驟，就個(gè)步驟，就能處理完能處理完無(wú)限無(wú)限多個(gè)對(duì)象的方法。多個(gè)對(duì)象的方法。 問(wèn)題情境三問(wèn)題情境三 多米諾骨牌多米諾骨牌操作實(shí)驗(yàn)操作實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法我們常采用我們常采用數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：由不完全歸納法來(lái)證明：由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性. . （1 1）證明當(dāng)）證明當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n n0 0( (例如例如n n0 0=1) =1) 時(shí)命題成立時(shí)命題成立 （2 2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k(kn=k(k N N ,k n,k n0 0 ) )時(shí)命題成立時(shí)命題成立 證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立。時(shí)命題也成立。 這種證明方法叫做這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法k=2,k+1=2k=2,k+1=2+1=3+1=3k=3,k+1=3k=3,k+1=3+1=4+1=4k=10,k+1=k=10,k+1=10+1=1110+1=11下面我們來(lái)證明前面問(wèn)題下面我們來(lái)證明前面問(wèn)題3中猜想的正確性中猜想的正確性證明證明: (1): (1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí), ,左邊左邊= =1,1,右邊右邊= =1,1, 左邊左邊= =右邊右邊, , 當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，式時(shí)，式（*）成立成立 (2) (2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)，式時(shí)，式（*）成立，成立， 即即 1+35 （1）k（2k1）（1）k k在這個(gè)假設(shè)下再考慮當(dāng)在這個(gè)假設(shè)下再考慮當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，式時(shí)，式（*）的左右兩邊的左右兩邊 是否成立是否成立. .例例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN+時(shí)，時(shí)，1+35 （1）n（2n1）（1）n n （*）當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)等式左邊等式左邊 1+35 （1）k（2k1）（1）k1 2(k+1)1（1）k1 2(k+1)1 （1）k1 (k+1)右邊所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式（*）成立。由（1）（2）可知， 1+35 （1）n（2n1）（1）n n 利用利用假設(shè)假設(shè)湊結(jié)論湊結(jié)論從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化 （1）k k （1）k1 k2(k+1)1下面的框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程：下面的框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程：（1）驗(yàn)證：）驗(yàn)證：n=n0（n0N+）時(shí)命題成立。時(shí)命題成立。（2）證明：假設(shè)）證明：假設(shè)n=k（kn0）時(shí)命題成立，）時(shí)命題成立，則則n=k+1時(shí)命題也成立。時(shí)命題也成立。對(duì)所有的對(duì)所有的n （n0N+， nn0）命題成立）命題成立奠基奠基假設(shè)與假設(shè)與遞推遞推數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論: : 第一步：驗(yàn)證當(dāng)?shù)谝徊剑候?yàn)證當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n n0 0（如（如 n n0 0=1=1或或2 2等）時(shí)結(jié)論正確等）時(shí)結(jié)論正確第二步：第二步：假設(shè)假設(shè)n=k (kNn=k (kN ， 且且k nk n0 0) )時(shí)結(jié)論正確，時(shí)結(jié)論正確， 證明證明n=k+1n=k+1時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確結(jié)論：結(jié)論：由（由（1 1）、（）、（2 2）得出結(jié)論正確）得出結(jié)論正確找準(zhǔn)起點(diǎn)奠基要穩(wěn)用上假設(shè)遞推才真寫明結(jié)論才算完整數(shù)學(xué)歸納法主要步驟數(shù)學(xué)歸納法主要步驟:例例2用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明14411）此時(shí)此時(shí)n0=_左左_ 右右= _ 2）假設(shè)）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即時(shí)命題成立，即 當(dāng)當(dāng)n=k時(shí)，等式左邊共有時(shí)，等式左邊共有_項(xiàng)，項(xiàng)，第第(k1)項(xiàng)是項(xiàng)是_。k(K1)3(k1)11(11)2 =414+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2 14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2 3）當(dāng)）當(dāng)n=k+1時(shí)，命題的形式是時(shí)，命題的形式是4）此時(shí)，左邊增加的項(xiàng)是）此時(shí)，左邊增加的項(xiàng)是5)從左到右如何變形？從左到右如何變形？ 14+27+310+k(3k+1) +(k+1)3(k+1)+1 =(k+1)(k+1)+12(k+1)3(k+1)+1證明：證明：（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊144，右邊，右邊1224，等式成立。，等式成立。 （2）假設(shè)）假設(shè) n= k時(shí)時(shí) 命題成立，即命題成立，即 1 4+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2 這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。時(shí)等式也成立。根據(jù)（根據(jù)（1）和（）和（2），可知等式對(duì)任何），可知等式對(duì)任何nN都成立都成立 當(dāng)當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)左邊左邊= =14+27+310+k(3k+1) +(k+1)(3(k+1)+1)= k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)= (k+1)k(k+1)+3(k+1)+1= (k+1)k2+4k+4=(k+1)(k+1)+12 右邊右邊練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 Nnnnnnnn,12312121 1. .用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：在驗(yàn)證在驗(yàn)證n=1n=1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是22.某個(gè)命題與正整數(shù)某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)有關(guān)，如果當(dāng) 時(shí)命題成時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)立，那么可推得當(dāng) n=k+1 時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立. 現(xiàn)已知當(dāng)現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí)該時(shí)該命題不成立，那么可推得命題不成立，那么可推得（ ）A當(dāng)當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立時(shí)該命題不成立 B當(dāng)當(dāng)n=6時(shí)該命題成立時(shí)該命題成立C當(dāng)當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立時(shí)該命題不成立 D當(dāng)當(dāng)n=4時(shí)該命題成立時(shí)該命題成立)(NkknC3.如下用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)嗎？如下用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)嗎？21證明：證明：當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊右邊右邊等式成立。等式成立。假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)等式成立，有時(shí)等式成立，有那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有時(shí)，有即即n=k+1時(shí)，命題成立。時(shí)，命題成立。根據(jù)根據(jù)可知，對(duì)可知，對(duì)nN，等式成立，等式成立。nn)21(2121212132-111122kk)21(12121212132-211211)21(1 21212121211112kkkk）（注意注意:用上假設(shè)遞推才真第二步證明中沒(méi)有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證明第二步證明中沒(méi)有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證明既然不對(duì)，如何改正？既然不對(duì)，如何改正？3111121111221111 2( )111111 ( )2222-(222)2kkkkkkk-三注意：三注意：1、有時(shí)、有時(shí) n n0 0不一定等于不一定等于1 2、項(xiàng)數(shù)不一定只增加一項(xiàng)。、項(xiàng)數(shù)不一定只增加一項(xiàng)。 3、一定要用上假設(shè)、一定要用上假設(shè)分析分析4. .用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) ) 2n)(1n( n31+練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化利用利用假設(shè)假設(shè)湊結(jié)論湊結(jié)論證明證明:2)假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命題成立時(shí)命題成立,即即122334k(k+1)2)(1(31kkk)2)(1() 1(.4332211kkkkkn時(shí)，左邊則當(dāng))2)(1()2)(1(31kkkkk)2)(1)(131(kkk右邊 1)2(1) 1)(1(31kkk1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立1 111223 33 3 n=k+1時(shí)命題正確。時(shí)命題正確。 由由(1)和和(2)知，當(dāng)知，當(dāng) ，命題正確，命題正確。Nn 明確初始值明確初始值n0，驗(yàn)證真假。（必不可少），驗(yàn)證真假。（必不可少） “假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命題正確時(shí)命題正確”，寫出命題形式。，寫出命題形式。 證明證明“n=k+1時(shí)時(shí)”命題成立。命題成立。分析分析“n=k+1時(shí)時(shí)”命題是什么，并找出與命題是什么，并找出與“n=k”時(shí)命時(shí)命題形式的差別，弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)。題形式的差別，弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)。注意用上假設(shè)，注意用上假設(shè)， 要作結(jié)論要作結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式注意事項(xiàng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式注意事項(xiàng)：數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論: : （1 1）證明當(dāng)）證明當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n n0 0（如（如 n n0 0=1=1或或2 2等）時(shí)結(jié)論正確等）時(shí)結(jié)論正確（2 2）假設(shè)）假設(shè)n=k (kNn=k (kN ， 且且k nk n0 0) )時(shí)結(jié)論正確，時(shí)結(jié)論正確， 證明證明n=k+1n=k+1時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確 由（由（1 1）、（）、（2 2）得出結(jié)論正確）得出結(jié)論正確（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法的證明方法它適用于）數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法的證明方法它適用于與正整數(shù)有關(guān)與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。的問(wèn)題。（2）兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論缺一不可兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不能成立。，否則結(jié)論不能成立。（3）在證明遞推步驟時(shí)，必須）在證明遞推步驟時(shí)，必須使用歸納假設(shè)使用歸納假設(shè)。遞推基礎(chǔ)不可少遞推基礎(chǔ)不可少歸納假設(shè)要用到歸納假設(shè)要用到結(jié)論寫明莫忘掉結(jié)論寫明莫忘掉歸納法歸納法完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法窮舉法窮舉法可能錯(cuò)誤如何避免？ 數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法 ，它是在可靠的基它是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運(yùn)用礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運(yùn)用“有限有限”的的手段，來(lái)解決手段，來(lái)解決“無(wú)限無(wú)限”的問(wèn)題。它克服了完全歸納法的問(wèn)題。它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡(jiǎn)到繁、由特殊不可靠的不足，使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般、由有限到無(wú)窮到一般、由有限到無(wú)窮。 數(shù)學(xué)歸納法的核心數(shù)學(xué)歸納法的核心思想思想（1）思考題：）思考題：?jiǎn)栴} 1中大球中有很多個(gè)小球，如何證明它們都是綠色的？模模 擬擬 演演 示示（2）課本作業(yè)）課本作業(yè) P50. 習(xí)題4. 1 1，2 （3 3）補(bǔ)充作業(yè)）補(bǔ)充作業(yè): : 用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an是一個(gè)等差數(shù)列，那么an=a1+(n-1)d對(duì)于一切nN*都成立。（4）預(yù)習(xí)課本）預(yù)習(xí)課本P49例例1和例和例2哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫經(jīng)過(guò)觀察,發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：任何大于5的整數(shù),都可以表示為三個(gè)質(zhì)數(shù)的和.他猜想這個(gè)命題是正確的,但他本人無(wú)法給予證明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教當(dāng)時(shí)頗負(fù)盛名的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉,歐拉經(jīng)過(guò)反復(fù)研究,發(fā)現(xiàn): 問(wèn)題的關(guān)鍵在于證明任意大于2的偶數(shù)能表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和.于是,歐拉對(duì)大于2的偶數(shù)逐個(gè)加以驗(yàn)算,最后歐拉猜想上述結(jié)論是正確的。6月30日，他復(fù)信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，雖然我還不能證明它，但我確信無(wú)疑這是完全正確的定理?！边@就是著名的哥德巴赫猜想這就是著名的哥德巴赫猜想.