-高中數學 第二章 概率章末質量評估 北師大版選修

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1、 章末質量評估(二) (時間：100分鐘　滿分：120分) 一、選擇題(每小題5分，共50分) 1．已知某種產品的合格率是95%，合格品中的一級品率是20%.則這種產 品的一級品率為 (　　)． A．15% B．19% C．20% D．21% 解析　A＝“產品為合格品”，B＝“產品為一級品”， P(B)＝P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.2×0.95＝0.19. 所以這種產品的一級品率為19%. 答案　B 2．設實數x∈R，記隨機變量ξ＝則不等式≥1的 解集所對應的ξ的值為 (　　)． A．1 B．0 C．－1 D．1或0

2、 解析　解≥1得其解集為，∴ξ＝1. 答案　A 3．擲一枚不均勻的硬幣，正面朝上的概率為，若將此硬幣擲4次，則正 面朝上3次的概率是 (　　)． A. B. C. D. 解析　設正面朝上X次，則X～B， P(X＝3)＝C31＝. 答案　B 4．設隨機變量ξ～B(n，p)，且Eξ＝3，Dξ＝1.5，則p(1≤ξ≤6)等于(　　)． A. B. C. D. 解析　由題意知np＝3且np(1－p)＝1.5，∴p＝，n＝6，∴p(1≤ξ≤6)＝1－p(ξ＝0)＝1－C6＝. 答案　A 5．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1

3、＜x2，則P(x1≤ξ≤x2)＝(　　)． A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β) C．1－α(1－β) D．1－β(1－α) 解析　設隨機變量η＝ 則P(η＝－1)＝P(ξ＜x1)＝1－P(ξ≥x1)＝1－(1－α)＝α. P(η＝1)＝P(ξ＞x2)＝1－P(ξ≤x2)＝1－(1－β)＝β. ∴P(η＝0)＝P(x1≤ξ≤x2)＝1－(α＋β)． 答案　B 6．若隨機變量ξ的分布列如下表所示且E(ξ)＝1.6，則a－b等于(　　). ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－

4、0.4 解析　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8　 ①， 又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6， 得a＋2b＝1.3　 ②， 由①②得，a＝0.3，b＝0.5，所以a－b＝－0.2，故應選C. 答案　C 7．在4次獨立重復試驗中，隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好 發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率P的取值范圍是 (　　)． A．[0.4,1) B．(0,0.4] C．(0,0.6] D．[0.6,1) 解析　由題意知，CP·(1－P)3≤CP2(1－P)2 解得P≥0.4.又0

5、所求P的取值范圍為[0.4,1)． 答案　A 8．甲做一種游戲一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，得0分的概 率為0.5(一次游戲得分只能是3分、2分、1分或0分)，其中a、b∈(0,1)，已知甲做游戲一次得分的數學期望為1，則ab的最大值為(　　)． A. B. C. D. 解析　由題意知，甲做游戲得分X的分布列為 X 0 1 2 3 P －a－b b a ∴EX＝0×＋1×＋2b＋3a ＝2a＋b＋＝1. ∴2a＋b＝， ∴ab＝·2a·b≤·2 ＝×2＝， 當且僅當2a＝b且2a＋b＝， 即a＝，b＝時等號成立． 答案　D

6、 9．已知隨機變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則EY，DY分別為 (　　)． A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 解析　∵X～B(10,0.6) ∴EX＝10×0.6＝6，DX＝10×0.6×0.4＝2.4 ∵X＋Y＝8， ∴Y＝8－X. ∴EY＝E(－X＋8)＝－EX＋8＝－6＋8＝2. DY＝D(－X＋8)＝DX＝2.4. 故選B. 答案　B 10．已知P(B|A)＝，P(A)＝，則P(AB)等于 (　　)． A. B. C. D. 解析　由條件概率計算公式P(B|A)＝，得P(AB)＝P(B|A)·

7、P(A)＝×＝.故選C. 答案　C 二、填空題(每小題5分，共30分) 11．一射手對同一目標獨立地射擊4次，若至少命中一次的概率為，則 該射手一次射擊的命中率為________． 解析　設命中率為p，則1－(1－p)4＝， (1－p)4＝，p＝. 答案　 12．設隨機變量X的概率分布為 X 1 2 3 4 P m ，則P(|X－3|＝1)＝________. 解析　＋m＋＋＝1，解得m＝， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. 答案　 13．已知某人投籃的命中率為，則此人投籃4次，至少命中3次的概率是 ________

8、． 解析　至少命中三次，包括命中三次和命中四次，即P＝C3×＋C4＝. 答案　 14．設隨機變量X的概率分布為P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3，則c＝________. 解析　由概率分布列的性質，得P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＋＝1?c＝1，∴c＝. 答案　 15．隨機變量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數列，若Eξ＝，則Dξ的值是________． 解析　∵a＋b＋c＝1,2b＝a＋c，∴b＝，a＋c＝. 由Eξ＝，∴＝－a＋c，故a＝，c＝， Dξ＝2×＋2×＋2×＝. 答

9、案　 16．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且方程x2＋2x＋X＝0有實數解的概率 為，若P(X≤2)＝0.8，則P(0≤X≤2)＝________. 解析　由方程x2＋2x＋X＝0有實數解， 得Δ＝4－4X≥0. ∴X≤1. 即P(X≤1)＝. ∴正態(tài)曲線的對稱軸為X＝1. ∴P(X≤0)＝P(X≥2)＝1－P(X≤2) ＝1－0.8＝0.2. ∴P(0≤X≤2) ＝1－P(X≤0)－P(X≥2) ＝1－0.2－0.2＝0.6. 答案　0.6 三、解答題(每小題10分，共40分) 17．某班從6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任選3人參加學校的 義務勞動．

10、 (1)設所選3人中女生人數為X，求X的分布列； (2)求男生甲或女生乙被選中的概率； (3)設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，求P(B)和P(A|B)． 解　(1)X的所有可能取值為0,1,2，依題意得， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 P (2)設“甲、乙都不被選中”為事件C， 則P(C)＝＝＝， ∴所求概率為P()＝1－P(C)＝1－＝. (3)P(B)＝＝＝， P(AB)＝＝， ∴P(A|B)＝＝. 18．在甲、乙兩個批次的某產品中，分別抽出3件進行質量檢驗

11、．已知甲、 乙批次每件產品檢驗不合格的概率分別為、，假設每件產品檢驗是否合格相互之間沒有影響． (1)求至少有2件甲批次產品檢驗不合格的概率； (2)求甲批次產品檢驗不合格件數恰好比乙批次產品檢驗不合格件數多1件的概率． 解　(1)設“至少有2件甲批次產品檢驗不合格”為事件A. 由題意知事件A包括以下兩個互斥事件． ①事件B：有2件甲批次產品檢驗不合格，其概率為 P(B)＝C·2·＝； ②事件C：有3件甲批次產品檢驗不合格，其概率為 P(C)＝3＝. ∴至少有2件甲批次產品不合格的概率為P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝. (2)設“甲批次產品檢驗不合格件數

12、恰比乙批次產品檢驗不合格件數多1件”為事件D，則D包含以下三個互斥事件． ①事件E：3件甲批次產品都不合格，且2件乙批次產品不合格，其概率為 P(E)＝3·C·2·＝； ②事件F：2件甲批次產品檢驗不合格，且1件乙批次產品不合格，其概率為： P(F)＝C2·C··2＝； ③事件G：1件甲批次產品不合格，且0件乙批次產品不合格，其概率為 P(G)＝C··2·3＝. 故所求概率為 P(D)＝P(E＋F＋G)＝P(E)＋P(F)＋P(G) ＝＋＋＝. 19．某同學參加3門課程的考試．假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的 概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q(p>

13、q)，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立．記X為該生取得優(yōu)秀成績的課程數，其分布列為 X 0 1 2 3 P a d (1)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率； (2)求p，q的值； (3)求數學期望EX. 解　事件Ai表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績”，i＝1,2,3，由題意知P(A1)＝，P(A2)＝p，P(A3)＝q (1)由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“X＝0”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1－P(X＝0)＝1－＝. (2)由題意知， P(X＝0)＝P(A1] A2] A3]) ＝(1－p)(1－q)＝

14、 P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝pq＝ 整理得pq＝，p＋q＝1 由p>q，可知p＝，q＝. (3)由題意知， a＝P(X＝1)＝P(A1A2] A3])＋P(A2)＋P(A1] A2]A3) ＝××＋××＋××＝， b＝P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3) ＝1－－－＝， ∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 20．某批發(fā)市場對某種商品日銷售量(單位：噸)進行統(tǒng)計，最近50天的統(tǒng) 計結果如圖. 日銷售量(噸) 1 1.5 2 天數 10 25 15 (1)計算這50天的日平均銷售量； (2)若以頻率為概率，其每天的銷售量相互獨

15、立． ①求5天中該種商品恰有2天的銷售量為1.5噸的概率； ②已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，X表示該種商品兩天銷售利潤的和，求X的分布列和數學期望． 解　(1)日平均銷售量為(1×10＋1.5×25＋2×15)＝1.55(噸)． (2)①銷售量為1.5噸的概率P＝＝. 設5天中銷售量為1.5噸的天數為Y，則Y～B. ∴P(X＝2)＝C×2×3 ＝C×5＝. ②X的所有可能取值為4,5,6,7,8.由題意知： P(X＝4)＝0.22＝0.04， P(X＝5)＝2×0.2×0.5＝0.2， P(X＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37， P(X＝7)＝2×0.5×0.3＝0.3， P(X＝8)＝0.32＝0.09. ∴X的分布列為 X 4 5 6 7 8 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 ∴EX＝4×0.04＋5×0.2＋6×0.37＋7×0.3＋8×0.09＝6.2(千元)． 9