高中數(shù)學(xué) 雙曲線的定義和方程課件（1） 新人教A版選修1

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1、觀察動(dòng)畫(huà)觀察動(dòng)畫(huà) ，類比橢圓定義，總結(jié)雙曲，類比橢圓定義，總結(jié)雙曲線定義線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1、F F2 2的距離的差的絕對(duì)值的距離的差的絕對(duì)值( (2a2a) )等于常數(shù)（等于常數(shù)（小于小于|F|F1 1F F2 2| |）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。 這兩個(gè)定點(diǎn)這兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1、F F2 2叫做叫做雙曲線的雙曲線的焦點(diǎn)焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的間的距離叫做雙曲線的焦距焦距（2c2c）你還記得求橢圓方程時(shí)如何建立直角坐標(biāo)你還記得求橢圓方程時(shí)如何建立直角坐標(biāo)系嗎？那么求雙曲線方程怎樣建系？系嗎？那么求雙曲線方程怎樣建系？F1F2

2、M xyO解：如圖建立直角坐標(biāo)系解：如圖建立直角坐標(biāo)系, ,則則F F1 1(-c,0)(-c,0)，F(xiàn) F2 2(c,0).(c,0).設(shè)設(shè)M(x,yM(x,y) )是雙曲線上任意一點(diǎn)，則：是雙曲線上任意一點(diǎn)，則： |MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a.|=2a.2a|y)cx(y)cx(|2222 即：即：2222222y)cx(y)cx(4a4ay)cx( 移移項(xiàng)項(xiàng)平平方方得得：222y)cx(acxa 化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)得得：)ac (aya)xac (22222222 兩兩端端平平方方化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)得得：1acyax 0ac ac2222222 即即：222bac 設(shè)設(shè)0)b01(a

3、byax2222 ，所所求求雙雙曲曲線線的的方方程程為為：2ay)cx(y)cx(2222 1byax2222 則則：1、雙曲線定義：、雙曲線定義：|MF1|-|MF2|=2a(若只若只為正或只為負(fù)，則表示雙曲線的一支為正或只為負(fù)，則表示雙曲線的一支)2、ca0；c2=a2+b2 (橢圓橢圓a2=b2+c2) 3、焦點(diǎn)在、焦點(diǎn)在x軸上，軸上，F(xiàn)1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)0)b01(abxayy2222 ，軸軸的的雙雙曲曲線線標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程：焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在1、c2=a2+b22、焦點(diǎn)坐標(biāo)：、焦點(diǎn)坐標(biāo)：F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)0)b01(abyax2222 ，雙雙曲曲線線的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方

4、方程程為為：例例1 1 已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為(-5,0),(5,0)(-5,0),(5,0)，雙曲，雙曲線上任一點(diǎn)線上任一點(diǎn)P P到兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于到兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于6 6，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。116y9x22 解：由已知得：解：由已知得：c=5c=5，2a=6,2a=6,即：即：a=3a=3bb2 2=c=c2 2-a-a2 2=25-9=16=25-9=16所求的雙曲線方程為：所求的雙曲線方程為：練習(xí)：寫(xiě)出適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：練習(xí)：寫(xiě)出適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1) (1) a=2a=2，b=1b=1，

5、焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x x軸上；軸上；(2)(2)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0(0，-6)-6)，(0(0，6) 6) ，并，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2(2，-5) -5) ；(3)(3)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0(0，-5)-5)，(0(0，5) 5) ，a=4a=4；(4)a+c=10(4)a+c=10，c-a=4c-a=4；(5) (5) 52c , 6ba 練習(xí)：練習(xí)：P48 1P48 1、2 2例例2 2：已知：已知A A、B B兩地相距兩地相距800m800m，在，在A A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B B地晚地晚2s2s，且聲速為，且聲速為340m/s34

6、0m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學(xué)原理：由聲速及分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學(xué)原理：由聲速及A A、B B兩地聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差，即可知兩地聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差，即可知A A、B B兩地與爆炸兩地與爆炸點(diǎn)的距離差為定值由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點(diǎn)點(diǎn)的距離差為定值由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程的軌跡方程2a=3402a=3402=6802=680所以爆炸點(diǎn)的軌跡方程為：所以爆炸點(diǎn)的軌跡方程為： 從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型。從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型。 a=340a=340又又c=400c=400bb2 2=c=c2 2-a-a2

7、2=400=4002 2-340-3402 2=44400=44400144400y115600 x22 )0 x( xAyOBM 1 1、已知橢圓的方程為已知橢圓的方程為 ，求以此橢圓的頂點(diǎn)為焦，求以此橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)、焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)、焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. .2 2、求下列動(dòng)圓的圓心求下列動(dòng)圓的圓心M M的軌跡方程：的軌跡方程：與與CC:(x+2):(x+2)2 2+y+y2 2=2=2內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)(2,0)(2,0)；與與CC1 1: :x x2 2 +(y-1)+(y-1)2 2=1=1和和CC2 2: :x x2 2 +(y-1)+(y-1)2 2

8、=4=4都外切；都外切；與與CC1 1: : (x+3)(x+3)2 2+y+y2 2=9=9外切，且與外切，且與CC2 2: : (x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1內(nèi)內(nèi)切切116y9x22 解析：這表面上看是圓的相切問(wèn)題，實(shí)際上是雙解析：這表面上看是圓的相切問(wèn)題，實(shí)際上是雙曲線的定義問(wèn)題具體解：設(shè)動(dòng)圓曲線的定義問(wèn)題具體解：設(shè)動(dòng)圓M M的半徑為的半徑為r r，消參法求解消參法求解雙曲線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程注意注意)(x 0)b,01(abyax2222軸軸 )(y 0)b01(abxay2222軸軸， 1、定義：、定義：|MF1|-|MF2|=2a2、ca0； c2=a2+

9、b23、焦點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo) 王王 彪彪1、橢圓的定義、橢圓的定義2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) ， 的距離之的距離之和等于常數(shù)（大于和等于常數(shù)（大于 ）的點(diǎn)軌）的點(diǎn)軌跡叫做橢圓跡叫做橢圓1F2F|21FF12222byax12222bxay或一、復(fù)習(xí)與回顧一、復(fù)習(xí)與回顧 兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點(diǎn)焦點(diǎn); |F1F2|=2c 焦距焦距.oF2 2F1 1M 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的距離的差 等于常數(shù)等于常數(shù) 的的 點(diǎn)的軌跡叫做點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線雙曲線.的絕對(duì)值的絕對(duì)值2a （小于（小于F1F2）1、 2a |F

10、1F2 | 不表示任何圖像不表示任何圖像x xy yo設(shè)設(shè)P（x , y）,雙曲線的焦雙曲線的焦距為距為2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常數(shù)常數(shù)=2aF1F2P即即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a以以F1,F2所在的直線為所在的直線為X軸，軸，線段線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系1. 建系建系. .2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)3.列式列式|PF1 - PF2|= 2a4.4.代點(diǎn)化簡(jiǎn)代點(diǎn)化簡(jiǎn). .三、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程移項(xiàng)兩邊平方后整理得：移項(xiàng)兩邊平方后整理得： 222cxaaxcy 兩邊再平方后整理得：兩邊再平方后整理得： 2

11、2222222caxa yaca由雙曲線定義知：由雙曲線定義知： 22caca220ca設(shè)設(shè) 2220cabb代入上式整理得：代入上式整理得： 222210,0 xyabab即：即：三、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷下列方程是否表示雙曲線，若判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出其焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，求出其焦點(diǎn)的坐標(biāo)四、標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)用124) 1 (22yx122)2(22yx124)3(22yx3694)4(22 xy分析分析: :11222 mymx變式二變式二: :21m得0) 1)(2(mm由21mm或變式一變式一：如果方程如果方程 表示雙表示雙曲線，求曲線，求 的取值范圍的取值范圍. .11222my

12、mxm四、標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)用 例例1、已知雙曲線的焦點(diǎn)為、已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0), F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線上一點(diǎn)P到到F1、F2的距的距 離的差的絕對(duì)值等于離的差的絕對(duì)值等于8，求雙曲線，求雙曲線的的 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程. 191622yx)0, 0(12222 babyax解解: :五、典型例題1、已知、已知 ， 是橢圓是橢圓 的的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 滿足滿足 則動(dòng)點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡是（的軌跡是（ ）A.雙曲線雙曲線 B.雙曲線的一個(gè)分支雙曲線的一個(gè)分支C.兩條射線兩條射線 D. 一條射線一條射線1F2FM2|21 MFMFM五、典型例題1342

13、2 yx2、過(guò)雙曲線、過(guò)雙曲線 左焦點(diǎn)左焦點(diǎn) 的的直線交雙曲線的左支于直線交雙曲線的左支于 、 兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 為其右焦點(diǎn)，則為其右焦點(diǎn)，則13422yx1FMN2F_|22MNNFMF五、典型例題五、典型例題1ABC一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是B(0,6)和和C(0,6)，另兩邊所在直線的斜率，另兩邊所在直線的斜率之積是之積是 ，求頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)A的軌跡的軌跡94小 結(jié)與作業(yè)1、雙曲線的定義、雙曲線的定義2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及應(yīng)用、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及應(yīng)用3、求解雙曲線的方程、求解雙曲線的方程作業(yè)作業(yè) 同步導(dǎo)學(xué)同步導(dǎo)學(xué)P42-43練習(xí)：已知?jiǎng)訄A練習(xí)：已知?jiǎng)訄A 過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn) 與圓與圓 內(nèi)切，求動(dòng)

14、圓圓心內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心 的軌跡方程的軌跡方程.五、典型例題M)0 , 5(2F36)5(:221 yxFM1.若雙曲線若雙曲線 上的點(diǎn)上的點(diǎn) 到點(diǎn)到點(diǎn) 的距離是的距離是15，則點(diǎn)，則點(diǎn) 到點(diǎn)到點(diǎn) 的的距離是（距離是（ ）A.7 B. 23 C. 5或或25 D. 7或或23191622 yxP)0 , 5(P)0 , 5( 2.若橢圓若橢圓 和雙曲和雙曲線線 有相同的焦點(diǎn)有相同的焦點(diǎn) 、 點(diǎn)點(diǎn) 為橢圓與雙曲線的公共點(diǎn)，則為橢圓與雙曲線的公共點(diǎn)，則 等于（等于（ ）A. B. C. D. 122 nymx)0( nm122 byax)0( ba1F2FP|21PFPF am )(21am 22a

15、m am 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)橢圓的焦點(diǎn);兩焦點(diǎn)的距離叫做兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距。 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于的距離之和等于常數(shù)常數(shù)2a（2a |F1F2|=2c）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。1 1橢圓的定義橢圓的定義當(dāng)當(dāng)2a=2c時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng)2ab0ab0 xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2P42 A 7|)OA|r ( r|QP|QO|QA|QO| lPQoA為為長(zhǎng)長(zhǎng)軸軸長(zhǎng)長(zhǎng)的的橢橢圓圓為為焦焦點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡是是以以點(diǎn)點(diǎn)，rA,OQP42 A 81875. 2y525. 5x875. 2b

16、525. 3a563. 5ca486. 1ca2222 得得P42 A 9 88104712. 1ca105288. 1ca 。Fcax: l，) 0 , c (F.M,acecax: l0, cFy, xM22的的準(zhǔn)準(zhǔn)線線稱稱為為相相應(yīng)應(yīng)于于焦焦點(diǎn)點(diǎn)直直線線是是橢橢圓圓的的一一個(gè)個(gè)焦焦點(diǎn)點(diǎn)定定點(diǎn)點(diǎn)是是橢橢圓圓的的軌軌跡跡則則點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離的的比比是是常常數(shù)數(shù)的的距距離離和和它它到到直直線線與與定定點(diǎn)點(diǎn)若若點(diǎn)點(diǎn) xyOFMHdl1212 .圖圖橢圓第二定義橢圓第二定義的的軌軌跡跡就就是是集集合合點(diǎn)點(diǎn)根根據(jù)據(jù)題題意意的的距距離離到到直直線線是是點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)解解法法一一P,8x: lPd： xyOF

17、PHdl1212 .圖圖P42 B 2 .21x8y2x22 由此得由此得. 112y16x,22 得得并化簡(jiǎn)并化簡(jiǎn)將上式兩邊平方將上式兩邊平方的的橢橢圓圓分分別別為為的的軌軌跡跡是是長(zhǎng)長(zhǎng)軸軸、短短軸軸長(zhǎng)長(zhǎng)點(diǎn)點(diǎn)所所以以34、8M,.21d|PF|PP ：解解法法二二xyOFPHdl1212 .圖圖P42 B 2 的的橢橢圓圓離離心心率率為為的的準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為相相應(yīng)應(yīng)于于焦焦點(diǎn)點(diǎn)直直線線為為焦焦點(diǎn)點(diǎn)定定點(diǎn)點(diǎn)是是以以的的軌軌跡跡點(diǎn)點(diǎn)21eF8x: l，) 0 , 2(FM 12cab, 2c , 4a8ca2c2222 解得解得則則112y16xM,22 的的軌軌跡跡方方程程是是點(diǎn)點(diǎn)所所以以題組訓(xùn)練

18、：題組訓(xùn)練：1、2005年年10月月17日，神州六號(hào)載人飛船帶著億萬(wàn)中日，神州六號(hào)載人飛船帶著億萬(wàn)中華兒女千萬(wàn)年的夢(mèng)想與希望，遨游太空返回地面。其華兒女千萬(wàn)年的夢(mèng)想與希望，遨游太空返回地面。其運(yùn)行的軌道是以地球中心為一焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其近地運(yùn)行的軌道是以地球中心為一焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其近地點(diǎn)距地面點(diǎn)距地面m(km)，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面n(km)，地球半徑，地球半徑R(km)，則載人飛船運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)為（，則載人飛船運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)為（ ）A. mn(km) B. 2mn(km)()Ckm(m+R)(n+R) (km) D2 (m+R)(n+R)D()Ckm(m+R)(n+R) (km) D

19、2 (m+R)(n+R)Rm)(Rn(2ca2b2Rmca,Rnc：a22 分析分析 .M,555x: l0, 1Fy, xM. 2的的軌軌跡跡求求點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離的的比比是是線線的的距距離離和和它它到到直直與與定定點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn) 14y5xM55|5x|y)1x(),y, x(M：2222 的軌跡方程是的軌跡方程是化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得則則設(shè)設(shè)直接法直接法題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：14y5xM,4b5acba1c5ca,5x，)0 , 1(FM：22222222 的的軌軌跡跡方方程程是是解解得得則則為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線的的橢橢圓圓直直線線為為焦焦點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡是是以以點(diǎn)點(diǎn)定定義義法法題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：3.（2009四

20、川卷文）四川卷文） 已知橢圓已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別的左、右焦點(diǎn)分別為為 ，離心率，離心率 ，右準(zhǔn)線方程為，右準(zhǔn)線方程為 。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2221(0)xyabab 12FF、22e 2x 分析：分析：由已知得由已知得 ，解得，解得 所求橢圓的方程為所求橢圓的方程為 2222caac2,1ac221bac2212xy題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：5.（2010廣東文數(shù)）若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的廣東文數(shù)）若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是則該橢圓的離心率是 題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：)b, 0(B離離

21、心心率率是是則則率率是是橢橢圓圓的的的的連連線線平平行行于于和和短短軸軸的的端端點(diǎn)點(diǎn)此此時(shí)時(shí)橢橢圓圓的的長(zhǎng)長(zhǎng)軸軸的的端端恰恰好好通通過(guò)過(guò)橢橢圓圓的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)軸軸作作垂垂線線向向上上一一點(diǎn)點(diǎn)從從橢橢圓圓,OPBA，xP) 0ba( 1byax. 62222 )ab, c(P2 )0 , c(F1 )0 , a(Ax0ycbacbabOP/AB2 22e 題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：2222:1(0)xyCabab分析：依題意，有分析：依題意，有可得可得 ，即，即 ，故有，故有b3。2222121214|18|2|cPFPFPFPFaPFPF|PF|PF|2|PF|PF|)PF|PF(|2122212

22、21 22a436c4 9ca22 7.（2009上海卷文）已知上海卷文）已知 是橢圓是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓為橢圓C上的一點(diǎn)，且上的一點(diǎn)，且 ，若，若 的的面積為面積為9，則，則 . 12F、F12PFFb 90PFF21題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：2222:1(0)xyCabab分析：依題意，有分析：依題意，有可得可得|PF|PF|2|PF|PF|)PF|PF(|212221221 60cos|PF|PF|2|PF|PF|)c2(960sin|PF|PF|21, a2|PF|PF|212221221218.（2009上海卷文）已知上海卷文）已知 是橢圓是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓為橢圓C上的一點(diǎn)，且上的一點(diǎn)，且 ，若，若 的的面積為面積為9，則，則 . 12F、F12PFF 60PFF21 2b39b2 題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：9.（2009北京文）橢圓北京文）橢圓 的焦的焦點(diǎn)為點(diǎn)為 ，點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若在橢圓上，若 則則 ； 的大小為的大小為 .22192xy12,F F1| 4PF 2|PF 12FPF229,3ab22927cab122 7FF 1124,26PFPFPFa22PF 22212242 71cos2 2 42FPF 12120F PF題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：P42 A 1，6 P68 A 2 B 1，2