高中數(shù)學(xué) 雙曲線的定義和方程課件（1） 新人教A版選修1

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1、觀察動畫觀察動畫 ，類比橢圓定義，總結(jié)雙曲，類比橢圓定義，總結(jié)雙曲線定義線定義平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點F F1 1、F F2 2的距離的差的絕對值的距離的差的絕對值( (2a2a) )等于常數(shù)（等于常數(shù)（小于小于|F|F1 1F F2 2| |）的點的軌跡叫做雙曲線。）的點的軌跡叫做雙曲線。 這兩個定點這兩個定點F F1 1、F F2 2叫做叫做雙曲線的雙曲線的焦點焦點，兩焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的間的距離叫做雙曲線的焦距焦距（2c2c）你還記得求橢圓方程時如何建立直角坐標你還記得求橢圓方程時如何建立直角坐標系嗎？那么求雙曲線方程怎樣建系？系嗎？那么求雙曲線方程怎樣建系？F1F2

2、M xyO解：如圖建立直角坐標系解：如圖建立直角坐標系, ,則則F F1 1(-c,0)(-c,0)，F(xiàn) F2 2(c,0).(c,0).設(shè)設(shè)M(x,yM(x,y) )是雙曲線上任意一點，則：是雙曲線上任意一點，則： |MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a.|=2a.2a|y)cx(y)cx(|2222 即：即：2222222y)cx(y)cx(4a4ay)cx( 移移項項平平方方得得：222y)cx(acxa 化化簡簡得得：)ac (aya)xac (22222222 兩兩端端平平方方化化簡簡得得：1acyax 0ac ac2222222 即即：222bac 設(shè)設(shè)0)b01(a

3、byax2222 ，所所求求雙雙曲曲線線的的方方程程為為：2ay)cx(y)cx(2222 1byax2222 則則：1、雙曲線定義：、雙曲線定義：|MF1|-|MF2|=2a(若只若只為正或只為負，則表示雙曲線的一支為正或只為負，則表示雙曲線的一支)2、ca0；c2=a2+b2 (橢圓橢圓a2=b2+c2) 3、焦點在、焦點在x軸上，軸上，F(xiàn)1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)0)b01(abxayy2222 ，軸軸的的雙雙曲曲線線標標準準方方程程：焦焦點點在在1、c2=a2+b22、焦點坐標：、焦點坐標：F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)0)b01(abyax2222 ，雙雙曲曲線線的的標標準準方

4、方程程為為：例例1 1 已知雙曲線的兩焦點為已知雙曲線的兩焦點為(-5,0),(5,0)(-5,0),(5,0)，雙曲，雙曲線上任一點線上任一點P P到兩焦點的距離的差的絕對值等于到兩焦點的距離的差的絕對值等于6 6，求此雙曲線的標準方程。求此雙曲線的標準方程。116y9x22 解：由已知得：解：由已知得：c=5c=5，2a=6,2a=6,即：即：a=3a=3bb2 2=c=c2 2-a-a2 2=25-9=16=25-9=16所求的雙曲線方程為：所求的雙曲線方程為：練習(xí)：寫出適合下列條件的雙曲線的標準方程：練習(xí)：寫出適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1) (1) a=2a=2，b=1b=1，

5、焦點在，焦點在x x軸上；軸上；(2)(2)兩個焦點的坐標分別是兩個焦點的坐標分別是(0(0，-6)-6)，(0(0，6) 6) ，并，并且經(jīng)過點且經(jīng)過點(2(2，-5) -5) ；(3)(3)焦點坐標分別為焦點坐標分別為(0(0，-5)-5)，(0(0，5) 5) ，a=4a=4；(4)a+c=10(4)a+c=10，c-a=4c-a=4；(5) (5) 52c , 6ba 練習(xí)：練習(xí)：P48 1P48 1、2 2例例2 2：已知：已知A A、B B兩地相距兩地相距800m800m，在，在A A地聽到炮彈爆炸聲比在地聽到炮彈爆炸聲比在B B地晚地晚2s2s，且聲速為，且聲速為340m/s34

6、0m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程，求炮彈爆炸點的軌跡方程分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學(xué)原理：由聲速及分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學(xué)原理：由聲速及A A、B B兩地聽到爆炸聲的時間差，即可知兩地聽到爆炸聲的時間差，即可知A A、B B兩地與爆炸兩地與爆炸點的距離差為定值由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點點的距離差為定值由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點的軌跡方程的軌跡方程2a=3402a=3402=6802=680所以爆炸點的軌跡方程為：所以爆炸點的軌跡方程為： 從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型。從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型。 a=340a=340又又c=400c=400bb2 2=c=c2 2-a-a2

7、2=400=4002 2-340-3402 2=44400=44400144400y115600 x22 )0 x( xAyOBM 1 1、已知橢圓的方程為已知橢圓的方程為 ，求以此橢圓的頂點為焦，求以此橢圓的頂點為焦點、焦點為頂點的雙曲線的標準方程點、焦點為頂點的雙曲線的標準方程. .2 2、求下列動圓的圓心求下列動圓的圓心M M的軌跡方程：的軌跡方程：與與CC:(x+2):(x+2)2 2+y+y2 2=2=2內(nèi)切，且過點內(nèi)切，且過點(2,0)(2,0)；與與CC1 1: :x x2 2 +(y-1)+(y-1)2 2=1=1和和CC2 2: :x x2 2 +(y-1)+(y-1)2 2

8、=4=4都外切；都外切；與與CC1 1: : (x+3)(x+3)2 2+y+y2 2=9=9外切，且與外切，且與CC2 2: : (x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1內(nèi)內(nèi)切切116y9x22 解析：這表面上看是圓的相切問題，實際上是雙解析：這表面上看是圓的相切問題，實際上是雙曲線的定義問題具體解：設(shè)動圓曲線的定義問題具體解：設(shè)動圓M M的半徑為的半徑為r r，消參法求解消參法求解雙曲線的雙曲線的標準方程標準方程注意注意)(x 0)b,01(abyax2222軸軸 )(y 0)b01(abxay2222軸軸， 1、定義：、定義：|MF1|-|MF2|=2a2、ca0； c2=a2+

9、b23、焦點坐標、焦點坐標 王王 彪彪1、橢圓的定義、橢圓的定義2、橢圓的標準方程、橢圓的標準方程平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點 ， 的距離之的距離之和等于常數(shù)（大于和等于常數(shù)（大于 ）的點軌）的點軌跡叫做橢圓跡叫做橢圓1F2F|21FF12222byax12222bxay或一、復(fù)習(xí)與回顧一、復(fù)習(xí)與回顧 兩個定點兩個定點F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點焦點; |F1F2|=2c 焦距焦距.oF2 2F1 1M 平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的距離的差 等于常數(shù)等于常數(shù) 的的 點的軌跡叫做點的軌跡叫做雙曲線雙曲線.的絕對值的絕對值2a （小于（小于F1F2）1、 2a |F

10、1F2 | 不表示任何圖像不表示任何圖像x xy yo設(shè)設(shè)P（x , y）,雙曲線的焦雙曲線的焦距為距為2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常數(shù)常數(shù)=2aF1F2P即即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a以以F1,F2所在的直線為所在的直線為X軸，軸，線段線段F1F2的中點為原點建立直角的中點為原點建立直角坐標系坐標系1. 建系建系. .2.設(shè)點設(shè)點3.列式列式|PF1 - PF2|= 2a4.4.代點化簡代點化簡. .三、雙曲線的標準方程移項兩邊平方后整理得：移項兩邊平方后整理得： 222cxaaxcy 兩邊再平方后整理得：兩邊再平方后整理得： 2

11、2222222caxa yaca由雙曲線定義知：由雙曲線定義知： 22caca220ca設(shè)設(shè) 2220cabb代入上式整理得：代入上式整理得： 222210,0 xyabab即：即：三、雙曲線的標準方程判斷下列方程是否表示雙曲線，若判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出其焦點的坐標是，求出其焦點的坐標四、標準方程應(yīng)用124) 1 (22yx122)2(22yx124)3(22yx3694)4(22 xy分析分析: :11222 mymx變式二變式二: :21m得0) 1)(2(mm由21mm或變式一變式一：如果方程如果方程 表示雙表示雙曲線，求曲線，求 的取值范圍的取值范圍. .11222my

12、mxm四、標準方程應(yīng)用 例例1、已知雙曲線的焦點為、已知雙曲線的焦點為F1(-5,0), F2(5,0)，雙曲線上一點，雙曲線上一點P到到F1、F2的距的距 離的差的絕對值等于離的差的絕對值等于8，求雙曲線，求雙曲線的的 標準方程標準方程. 191622yx)0, 0(12222 babyax解解: :五、典型例題1、已知、已知 ， 是橢圓是橢圓 的的兩個焦點，平面內(nèi)一個動點兩個焦點，平面內(nèi)一個動點 滿足滿足 則動點則動點 的軌跡是（的軌跡是（ ）A.雙曲線雙曲線 B.雙曲線的一個分支雙曲線的一個分支C.兩條射線兩條射線 D. 一條射線一條射線1F2FM2|21 MFMFM五、典型例題1342

13、2 yx2、過雙曲線、過雙曲線 左焦點左焦點 的的直線交雙曲線的左支于直線交雙曲線的左支于 、 兩點，兩點， 為其右焦點，則為其右焦點，則13422yx1FMN2F_|22MNNFMF五、典型例題五、典型例題1ABC一邊的兩個端點是一邊的兩個端點是B(0,6)和和C(0,6)，另兩邊所在直線的斜率，另兩邊所在直線的斜率之積是之積是 ，求頂點，求頂點A的軌跡的軌跡94小 結(jié)與作業(yè)1、雙曲線的定義、雙曲線的定義2、雙曲線的標準方程及應(yīng)用、雙曲線的標準方程及應(yīng)用3、求解雙曲線的方程、求解雙曲線的方程作業(yè)作業(yè) 同步導(dǎo)學(xué)同步導(dǎo)學(xué)P42-43練習(xí)：已知動圓練習(xí)：已知動圓 過定點過定點 與圓與圓 內(nèi)切，求動

14、圓圓心內(nèi)切，求動圓圓心 的軌跡方程的軌跡方程.五、典型例題M)0 , 5(2F36)5(:221 yxFM1.若雙曲線若雙曲線 上的點上的點 到點到點 的距離是的距離是15，則點，則點 到點到點 的的距離是（距離是（ ）A.7 B. 23 C. 5或或25 D. 7或或23191622 yxP)0 , 5(P)0 , 5( 2.若橢圓若橢圓 和雙曲和雙曲線線 有相同的焦點有相同的焦點 、 點點 為橢圓與雙曲線的公共點，則為橢圓與雙曲線的公共點，則 等于（等于（ ）A. B. C. D. 122 nymx)0( nm122 byax)0( ba1F2FP|21PFPF am )(21am 22a

15、m am 這兩個定點叫做這兩個定點叫做橢圓的焦點橢圓的焦點;兩焦點的距離叫做兩焦點的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距。 平面內(nèi)到兩個定點平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于的距離之和等于常數(shù)常數(shù)2a（2a |F1F2|=2c）的點的軌跡叫做橢圓。）的點的軌跡叫做橢圓。1 1橢圓的定義橢圓的定義當(dāng)當(dāng)2a=2c時時,當(dāng)當(dāng)2ab0ab0 xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2P42 A 7|)OA|r ( r|QP|QO|QA|QO| lPQoA為為長長軸軸長長的的橢橢圓圓為為焦焦點點的的軌軌跡跡是是以以點點，rA,OQP42 A 81875. 2y525. 5x875. 2b

16、525. 3a563. 5ca486. 1ca2222 得得P42 A 9 88104712. 1ca105288. 1ca 。Fcax: l，) 0 , c (F.M,acecax: l0, cFy, xM22的的準準線線稱稱為為相相應(yīng)應(yīng)于于焦焦點點直直線線是是橢橢圓圓的的一一個個焦焦點點定定點點是是橢橢圓圓的的軌軌跡跡則則點點的的距距離離的的比比是是常常數(shù)數(shù)的的距距離離和和它它到到直直線線與與定定點點若若點點 xyOFMHdl1212 .圖圖橢圓第二定義橢圓第二定義的的軌軌跡跡就就是是集集合合點點根根據(jù)據(jù)題題意意的的距距離離到到直直線線是是點點設(shè)設(shè)解解法法一一P,8x: lPd： xyOF

17、PHdl1212 .圖圖P42 B 2 .21x8y2x22 由此得由此得. 112y16x,22 得得并化簡并化簡將上式兩邊平方將上式兩邊平方的的橢橢圓圓分分別別為為的的軌軌跡跡是是長長軸軸、短短軸軸長長點點所所以以34、8M,.21d|PF|PP ：解解法法二二xyOFPHdl1212 .圖圖P42 B 2 的的橢橢圓圓離離心心率率為為的的準準線線為為相相應(yīng)應(yīng)于于焦焦點點直直線線為為焦焦點點定定點點是是以以的的軌軌跡跡點點21eF8x: l，) 0 , 2(FM 12cab, 2c , 4a8ca2c2222 解得解得則則112y16xM,22 的的軌軌跡跡方方程程是是點點所所以以題組訓(xùn)練

18、：題組訓(xùn)練：1、2005年年10月月17日，神州六號載人飛船帶著億萬中日，神州六號載人飛船帶著億萬中華兒女千萬年的夢想與希望，遨游太空返回地面。其華兒女千萬年的夢想與希望，遨游太空返回地面。其運行的軌道是以地球中心為一焦點的橢圓，設(shè)其近地運行的軌道是以地球中心為一焦點的橢圓，設(shè)其近地點距地面點距地面m(km)，遠地點距地面，遠地點距地面n(km)，地球半徑，地球半徑R(km)，則載人飛船運行軌道的短軸長為（，則載人飛船運行軌道的短軸長為（ ）A. mn(km) B. 2mn(km)()Ckm(m+R)(n+R) (km) D2 (m+R)(n+R)D()Ckm(m+R)(n+R) (km) D

19、2 (m+R)(n+R)Rm)(Rn(2ca2b2Rmca,Rnc：a22 分析分析 .M,555x: l0, 1Fy, xM. 2的的軌軌跡跡求求點點的的距距離離的的比比是是線線的的距距離離和和它它到到直直與與定定點點點點 14y5xM55|5x|y)1x(),y, x(M：2222 的軌跡方程是的軌跡方程是化簡得化簡得則則設(shè)設(shè)直接法直接法題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：14y5xM,4b5acba1c5ca,5x，)0 , 1(FM：22222222 的的軌軌跡跡方方程程是是解解得得則則為為準準線線的的橢橢圓圓直直線線為為焦焦點點的的軌軌跡跡是是以以點點定定義義法法題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：3.（2009四

20、川卷文）四川卷文） 已知橢圓已知橢圓 的左、右焦點分別的左、右焦點分別為為 ，離心率，離心率 ，右準線方程為，右準線方程為 。（1）求橢圓的標準方程；）求橢圓的標準方程；2221(0)xyabab 12FF、22e 2x 分析：分析：由已知得由已知得 ，解得，解得 所求橢圓的方程為所求橢圓的方程為 2222caac2,1ac221bac2212xy題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：5.（2010廣東文數(shù)）若一個橢圓長軸的廣東文數(shù)）若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是則該橢圓的離心率是 題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：)b, 0(B離離

21、心心率率是是則則率率是是橢橢圓圓的的的的連連線線平平行行于于和和短短軸軸的的端端點點此此時時橢橢圓圓的的長長軸軸的的端端恰恰好好通通過過橢橢圓圓的的一一個個點點軸軸作作垂垂線線向向上上一一點點從從橢橢圓圓,OPBA，xP) 0ba( 1byax. 62222 )ab, c(P2 )0 , c(F1 )0 , a(Ax0ycbacbabOP/AB2 22e 題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：2222:1(0)xyCabab分析：依題意，有分析：依題意，有可得可得 ，即，即 ，故有，故有b3。2222121214|18|2|cPFPFPFPFaPFPF|PF|PF|2|PF|PF|)PF|PF(|2122212

22、21 22a436c4 9ca22 7.（2009上海卷文）已知上海卷文）已知 是橢圓是橢圓 的兩個焦點，的兩個焦點，P為橢圓為橢圓C上的一點，且上的一點，且 ，若，若 的的面積為面積為9，則，則 . 12F、F12PFFb 90PFF21題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：2222:1(0)xyCabab分析：依題意，有分析：依題意，有可得可得|PF|PF|2|PF|PF|)PF|PF(|212221221 60cos|PF|PF|2|PF|PF|)c2(960sin|PF|PF|21, a2|PF|PF|212221221218.（2009上海卷文）已知上海卷文）已知 是橢圓是橢圓 的兩個焦點，的兩個焦點，P為橢圓為橢圓C上的一點，且上的一點，且 ，若，若 的的面積為面積為9，則，則 . 12F、F12PFF 60PFF21 2b39b2 題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：9.（2009北京文）橢圓北京文）橢圓 的焦的焦點為點為 ，點，點P在橢圓上，若在橢圓上，若 則則 ； 的大小為的大小為 .22192xy12,F F1| 4PF 2|PF 12FPF229,3ab22927cab122 7FF 1124,26PFPFPFa22PF 22212242 71cos2 2 42FPF 12120F PF題組訓(xùn)練：題組訓(xùn)練：P42 A 1，6 P68 A 2 B 1，2