2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題05 冪指對函數(shù)性質(zhì)活用

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1、專題05 冪指對函數(shù)性質(zhì)活用一命題陷阱描述指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)兩個重要的基本函數(shù)，初學(xué)者往往不能深刻理解指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的有關(guān)概念、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.關(guān)于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的試題在命制時，主要有概念類、分類討論、轉(zhuǎn)化不等價、隱含條件、迷惑性等幾類陷阱.其中：1.概念類陷阱，包括指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)找不到化簡方向、指數(shù)函數(shù)的底數(shù)討論，指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的定義中對底數(shù)的限制及對數(shù)對真數(shù)的限制； （1）指數(shù)冪的運(yùn)算.注意幾個運(yùn)算公式的使用.（2）指數(shù)函數(shù)底數(shù)討論. 當(dāng)時函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)是增函數(shù).（3）指數(shù)函數(shù)定義.函數(shù)必須嚴(yán)格具備形式的函數(shù)是指數(shù)函數(shù).（4）對數(shù)的底數(shù)和真數(shù),它們都必須大于0

2、，底數(shù)還要不等于1.2.隱含條件陷阱，對含有的式子，隱含著.3. 迷惑性陷阱，含有邏輯聯(lián)結(jié)詞.把任意和存在轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題或方程的有解問題.4.分類討論陷阱，含參數(shù)對數(shù)函數(shù)的定義域值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)問題.在處理式要對參數(shù)進(jìn)行討論要做到不重不漏.5. 等價轉(zhuǎn)化陷阱，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合問題.6.定義域?yàn)镽與值域?yàn)镽及特定定義域陷阱7.冪指對函數(shù)中的倒序求和二陷阱類型1.冪指對運(yùn)算（運(yùn)算馬虎陷阱）例1.【答案】（1）-6；（2）.【解析】(1）原式 ;（2）原式 .【防陷阱措施】主要問題是記清公式，不要隨意創(chuàng)造公式練習(xí)1設(shè)， ，下列命題匯總正確的是（ ）A. 若，則

3、B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】B練習(xí)2若， 且，則的值（ ）A. B. C. D. 不是常數(shù)【答案】C【解析】， ，故選C.練習(xí)3求值：（1）；（2）【答案】（1）（2）1【解析】（1）原式，（2）原式練習(xí)4化簡下列代數(shù)式并求值：； .【答案】（1）（2）練習(xí)5計(jì)算：（1）；（2）【答案】(1)100；(2)-1.【解析】(1) 原式 (2) . 練習(xí)6計(jì)算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）。 （2）練習(xí)7化簡求值：（1）；（2）.【答案】（1）;（2）-1.【解析】（1）原式；（2）原式 .練習(xí)8計(jì)算：（1）；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.

4、試題解析：（1）原式= （2）由已知可得： 原式=2.利用性質(zhì)比較大?。ㄐ再|(zhì)混淆陷阱）例2設(shè)， ， ，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【 防陷阱措施】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間 ）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.練習(xí)1已知，則的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】， 又指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)故選A練習(xí)2若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】20=1，0=log1b=log3log=1， lo

5、g21=0，abc故選A練習(xí)3已知， ， ，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意可得： ，則： .本題選擇D選項(xiàng).練習(xí)4若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D故選D.練習(xí)5已知， ， ， ，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因?yàn)?，所以?根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可得， 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得， 所以，故選D.練習(xí)6已知，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】B練習(xí)7已知，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】又， ， ， ， 故選B練習(xí)8下列式子中，成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D故選D練習(xí)9三個數(shù)， ， 之間的大小關(guān)系是（

6、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】：0a=0.221，b=0，c=20.21，bac故選B練習(xí)10若，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】， 。故選C。練習(xí)11已知 ，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以，故選A。練習(xí)12已知則（ ）A. B C. D 【答案】A【解析】， 又故選：A練習(xí)13若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B練習(xí)14已知， ， ，則的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因?yàn)椋?， ，所以 ，故選A.3.三個函數(shù)的概念及定義域陷阱例3己知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A.

7、 B. C. D. 【答案】B【解析】,函數(shù)為減函數(shù)，要使函數(shù)在上是減函數(shù)，需滿足 ，解得。實(shí)數(shù)的取值范圍是。選B。【防陷阱措施】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的性質(zhì)，解答本題時要注意題目的隱含條件，即且，并由此得到函數(shù)為減函數(shù)，進(jìn)一步可得。同時還應(yīng)注意定義域的限制，對數(shù)的真數(shù)要滿足大于零的條件，這一點(diǎn)在解題中很容易忽視。練習(xí)1.冪函數(shù)在為增函數(shù)，則的值為（ ）A. 1或3 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D練習(xí)2若函數(shù)為冪函數(shù)，且當(dāng)時， 是增函數(shù)，則函數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函數(shù)為冪函數(shù)，即解得.當(dāng)時， ，在是減函數(shù)，不合題意。當(dāng)時， ，在是增函數(shù)，符合題意。

8、所以。選D。練習(xí)3函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，且，滿足，若，且， ，則的值（ ）A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 無法判斷【答案】A【解析】函數(shù)f（x）=（m2-m-1）x4m+3是冪函數(shù)，對任意x1，x2（0，+），且x1x2，滿足， a，bR，且a+b0，ab0f（a）+f（b）=a11+b110故選A練習(xí)4是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）A. 2 B. -1 C. 4 D. 2或-1【答案】A練習(xí)5已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且即且?又則實(shí)數(shù)的取值范圍是故選練習(xí)6已知函數(shù) 的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系

9、是（ ）A. B. C. D. 【答案】A練習(xí)7函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】設(shè)，由，得，函數(shù)在上遞減， 在遞增， 單調(diào)減區(qū)間是，故選B.4.與不等式的綜合例4.已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)，都有， 則的值為（ ）A. B. C. 1 D. 0【答案】A【解析】 因?yàn)楹瘮?shù)是上的單調(diào)函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)，都有， 所以恒成立，且，即，解得，所以，所以，故選C.【防陷阱措施】：本題主要考查了函數(shù)解析式的求法和函數(shù)值的求解問題，其中解答中涉及到函數(shù)的恒成立問題的計(jì)算，函數(shù)解析式的應(yīng)用等知識點(diǎn)的綜合考查，解答中熟記實(shí)數(shù)指數(shù)冪和對數(shù)的運(yùn)算時是解答的關(guān)鍵，著重考

10、查學(xué)生的運(yùn)算、求解能力，試題比較基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題.練習(xí)1.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D故選D練習(xí)2.函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中均大于0，則的最小值為_【答案】【解析】函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A(-3,-1),則,即.練習(xí)3已知是任意實(shí)數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為_【答案】【解析】解得： ，所以不等式的解集為.練習(xí)4設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是_.【答案】 ，解得 當(dāng) 時， ，解得 綜上， 的取值范圍是 故答案為5.冪指對的性質(zhì)的應(yīng)用例5. 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【防陷阱措施】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)則：若兩個簡

11、單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，即“同增異減”.練習(xí)1.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，又，且當(dāng)時， 恒成立，則函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】 定義在奇函數(shù)滿足： ，當(dāng)時， 恒成立，在時函數(shù)是減函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以也是奇函數(shù)， 時，函數(shù)也是減函數(shù)，畫出函數(shù) 與的草圖，如圖，由圖可知 與的圖象有三個交點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為 ，故選B.練習(xí)2.已知函數(shù) 滿足對任意的實(shí)數(shù)都有 成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. (0,1) B. C. D. 【答案】D【解析】由條件知，分段函數(shù) 在R上單調(diào)

12、遞減，則 所以有 ，所以有，故選D練習(xí)3已知函數(shù)，若，且，則（ ）A. B. C. D. 隨值變化【答案】A【解析】不妨設(shè) ，則令 ，則 或 ；故 故故選A練習(xí)4.設(shè)曲線 (N*)在(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為 ().A. B. 1 C. D. 1【答案】B練習(xí)5設(shè)，若， ，則的大小關(guān)系為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】，則,所以0ln ln ln ,所以 ,又，lnb0,所以即故選A練習(xí)6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.（）求函數(shù)的定義域；（）求實(shí)數(shù)的值；（）若函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn),試求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（）.（）.（）【解析】（）由計(jì)算得出

13、，所以函數(shù)的定義域?yàn)?（）根據(jù)題意，可以知道為偶函數(shù)，所以，即 ，即，即在上恒成立，所以.點(diǎn)睛：本題以對數(shù)型函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調(diào)性和定義域，函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點(diǎn)定理，屬于中檔題；要使對數(shù)函數(shù)有意義需滿足真數(shù)部分大于0，函數(shù)為偶函數(shù)可得在恒成立，當(dāng)開口向上的二次函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有兩個零點(diǎn)時，只需滿足端點(diǎn)處函數(shù)值大于0，對稱軸在區(qū)間之內(nèi)即可.練習(xí)7已知函數(shù) 的圖象過點(diǎn)。（1）求的值并求函數(shù)的值域；（2）若關(guān)于的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)， ，則是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最大值為0？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮浚?），值域?yàn)椋?）（3）（2）因?yàn)殛P(guān)于的方程有

14、實(shí)根，即方程有實(shí)根即函數(shù)與函數(shù)有交點(diǎn)，令，則函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)又5分任取，則，所以，所以所以 所以在R上是減函數(shù)。（或由復(fù)合函數(shù)判斷為單調(diào)遞減）因?yàn)椋运詫?shí)數(shù)的取值范圍是 （3）由題意知， 令，則 當(dāng)時， ，所以當(dāng)時， ，所以（舍去）綜上，存在使得函數(shù)的最大值為0練習(xí)8.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)且，滿足，則的取值范圍是_【答案】【解析】 畫出函數(shù)的圖象（如圖所示），且，且,，。故所求范圍為。答案： 點(diǎn)睛：本題借助于函數(shù)的圖象進(jìn)行解題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，解題時要注意畫圖時要準(zhǔn)確，另外利用圖形時要注意觀察圖象的特征，由此得到函數(shù)的性質(zhì)，如在本題中由圖象的對稱性得到的， 等，都成了解題的關(guān)

15、鍵。6.定義域?yàn)镽與值域?yàn)镽及特定定義域陷阱例6.已知若，求函數(shù)的定義域；當(dāng)時，函數(shù)有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】(1)當(dāng)則要 解得即所以 的定義域?yàn)樗浴痉老葳宕胧浚汉愠闪⒌膯栴}常用方法：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若 就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可轉(zhuǎn)化為（最值需同時取到） .練習(xí)1.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】令，則的值域必須包含區(qū)間當(dāng)時，則當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，不符合題意；當(dāng)時，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案選練

16、習(xí)1已知，設(shè)成立； 成立. 如果“”為真，“”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】練習(xí)2若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】若函數(shù)在上單調(diào)遞減則在上單調(diào)遞增，且恒為正，由的圖象開口向下，且以直線為對稱軸則解得故答案為練習(xí)3.練習(xí)若函數(shù)的定義域是R, 則的取值范圍是.【答案】7.冪指對函數(shù)中的倒序求和例7. 若，則=（ ）A. 1000 B. 600 C. 550 D. 500【答案】D【解析】 所以 .故選D.【防陷阱措施】注意這種題型利用對稱性，找到常數(shù)，倒序求和練習(xí)1. 設(shè)函數(shù).（1）解方程：；（2）令，求的值.（3）若是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值

17、范圍.【答案】（1）2（2）1008（3）【解析】（1）.（2）.因?yàn)樗裕?）因?yàn)槭菍?shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，所以.，在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞增.由得，又因?yàn)槭菍?shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，,又因?yàn)樵趯?shí)數(shù)集上單調(diào)遞增，所以,即對任意的都成立，即對任意的都成立，.練習(xí)設(shè)函數(shù)且，若，則的值等于_.【答案】三高考真題演練1.【2017北京，理5】已知函數(shù)，則（A）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】試題分析：，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)， 是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，故選A.2.【

18、2017北京，理8】根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg30.48）（A）1033 （B）1053（C）1073 （D）1093【答案】D【解析】試題分析：設(shè) ，兩邊取對數(shù)，所以，即最接近，故選D.3.【2016課標(biāo)3理數(shù)】已知，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，故選A4. 【2015高考山東，理10】設(shè)函數(shù)則滿足的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】C5. 【2015高考新課標(biāo)2，理5】設(shè)函數(shù),( )A3 B6 C9 D12

19、【答案】C【解析】由已知得，又，所以，故，故選C6.【2015高考天津，理7】已知定義在 上的函數(shù) （為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，記 ，則 的大小關(guān)系為( )（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以所以，故選C.7.【2017天津，理6】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，則a，b，c的大小關(guān)系為（A）（B）（C）（D）【答案】 【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是增函數(shù)，所以在時，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則，所以即，所以，故選C8. 【2015高考浙江，理10】已知函數(shù)，則 ，的最小值是 【答案】，.【解析】，當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，等

20、號成立，故最小值為.9. 【2016高考江蘇卷】設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上， 其中 若 ，則的值是 .【答案】【解析】，因此10. 【2016高考江蘇卷】函數(shù)y=的定義域是 .【答案】【解析】試題分析：要使函數(shù)有意義，必須，即，故答案應(yīng)填：，11. 【2016年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù).若，則的最大值為_；若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】，.【解析】試題分析：如圖作出函數(shù)與直線的圖象，它們的交點(diǎn)是，由，知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，當(dāng)時，因此的最大值是；由圖象知當(dāng)時，有最大值是；只有當(dāng)時，由，因此無最大值，所求的范圍是，故填：，12.【2015高考福建，理14】若函數(shù) （ 且 ）的值域

21、是 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 【答案】【解析】當(dāng)，故，要使得函數(shù)的值域?yàn)?，只需（）的值域包含于，故，所以，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是13. 【2015高考山東，理14】已知函數(shù) 的定義域和值域都是 ，則 .【答案】 【解析】若 ，則 在上為增函數(shù),所以 ，此方程組無解；若 ，則在上為減函數(shù),所以 ，解得 ，所以.14. 【2015高考浙江，理18】已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值.（1） 證明：當(dāng)時，；（2）當(dāng)，滿足，求的最大值.【答案】（1）詳見解析；（2）.試題解析：（1）由，得對稱軸為直線，由，得，故在上單調(diào)，當(dāng)時，由，得，即，當(dāng)時，由，得，即，綜上，當(dāng)時，；（2）由得，故，由，得，當(dāng)，時，且在上的最大值為，即，的最大值為.32