中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二章方程與不等式 第7課 一元二次方程課件

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1、第7課一元二次方程 1定義： 只含有 ，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 ，這樣的整式方程叫做一元二次方程通常可寫(xiě)成如下的一般形式： ，其中a、b、c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)2解法： ； ； ； 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理一個(gè)未知數(shù)一個(gè)未知數(shù)2ax2bxc0(a、b、c是已知數(shù)，是已知數(shù)，a0)直接開(kāi)平方法直接開(kāi)平方法因式分解法因式分解法配方法配方法公式法公式法3公式： 一元二次方程ax2bxc0的求根公式：4簡(jiǎn)單的高次方程、二次根式方程的概念、解法： (1)高次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)大于2的整式方程 (2)無(wú)理方程：根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程 (3)解高次方程的思想是“降次”，即

2、把高次方程通過(guò)因式分解、換元等方法轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程 (4)解無(wú)理方程的思想是通過(guò)方程左右兩邊平方、換元等方法去根號(hào)轉(zhuǎn)化為整式方程，要注意驗(yàn)根，舍去增根x (b24ac0)b b24ac2a 5二元二次方程組的概念及解法： (1)二元二次方程組：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程所組成的方程組或由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組 (2)解二元二次方程組的思想是“消元”，即把多元通過(guò)加減、代入、換元等方法轉(zhuǎn)化為一元方程來(lái)解，或“降次”利用因式分解轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元一次方程來(lái)解1正確理解并掌握一元二次方程的概念 識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件： (1)整式方

3、程；(2)含有一個(gè)未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.滿足上述三個(gè)條件的方程才是一元二次方程，不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，即三個(gè)條件缺一不可 在確定方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明各項(xiàng)系數(shù)時(shí)不要漏掉前面的符號(hào)一元二次方程的一般形式不是唯一的，但習(xí)慣上把二次項(xiàng)系數(shù)化為正整數(shù) 難點(diǎn)正本難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源疑點(diǎn)清源 2正確使用各種方法解一元二次方程 一元二次方程的解法有四種，在解方程時(shí)，要注意靈活選擇直接開(kāi)平方法、因式分解法只適用于特殊形式的方程；而公式法則是最普遍的方法；配方法用的不多，一般根據(jù)方程的特征靈活運(yùn)用 解一元二次方程要根據(jù)方程的特點(diǎn)，選擇合適的方法解

4、題，但一般順序?yàn)椋褐苯娱_(kāi)平方法因式分解法公式法，一般沒(méi)有特別要求的不用配方法 用直接開(kāi)平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義；因式分解法解方程的依據(jù)是：若ab0，則a0，或b0，方程的右邊一定要化為0，才能用因式分解法求解 運(yùn)用公式法之前一定要確認(rèn)兩點(diǎn)：其一，該方程是一元二次方程，其二，方程的判別式非負(fù)，滿足這兩點(diǎn)即可使用求根公式 配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它既是恒等變形的重要手段，又是研究相等關(guān)系、討論不等關(guān)系的常用方法，在配方前，先將二次項(xiàng)系數(shù)a提出來(lái)，使括號(hào)中的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后通過(guò)配方分離出一個(gè)完全平方式1(2011嘉興)一元二次方程x(x1)0的解是() Ax0 Bx1

5、Cx0或x1 Dx0或x1 解析：x(x1)0，x0或x10，即x0或x1.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)C2(2011南充)方程(x1)(x2)x1的解是() A2 B3 C1,2 D1,3 解析：(x1)(x2)x1， (x1)(x2)(x1)0， (x1)(x3)0. x11，x23.D3(2011江西)已知x1是方程x2bx20的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是() A1 B2 C2 D1 解析：當(dāng)x1時(shí)，1b20，b1. x2x20，x11，x22，另一個(gè)根是2.C4(2011大理)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程 x26x80的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是() A9 B11 C13 D11

6、或13 解析：方程x26x80的根為x2或4，而第三邊3x9， 故x4，三角形周長(zhǎng)為36413.C5(2011武漢)若x1，x2是一元二次方程x24x30的兩個(gè)根， 則x1x2的值是() A4 B3 C4 D3 解析：方程x24x30，x11，x23， 所以x1x2(1)(3)3. (或根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系直接得出x1x2 3.) B31 題型一一元二次方程的解法【例 1】 解下列方程： (1)3x2750 解：3x2750，x225，x5，x15，x25. (2)x(x5)24 解：x(x5)24，x25x240，x18，x23.題型分類(lèi)題型分類(lèi) 深度剖析深度剖析(3)(y3)(13y)12y

7、2解：(y3)(13y)12y2，y3y239y12y2， 5y28y20，y ， y1 ，y2 .(4)(3x5)25(3x5)40解：(3x5)25(3x5)40， (3x51)(3x54)0， (3x4)(3x1)0， 3x40或3x10， x1 ，x2 .8 10425 4 265 4 265 4 265 13 43 (5)(1997x)2(x1996)21解：解法一：(1997x)2(x1996)210， (1997x)2(x1997)(x1995)0， (x1997)(x1997)(x1995)0， 2(x1997)(x1996)0， x11997，x21996.解法二：因?yàn)?19

8、97x)2(x1996)2 (1997x)(x1996)22(1997x)(x1996)， 所以原方程可化為：12(1997x)(x1996)1， 2(1997x)(x1996)0， x11997，x21996.探究提高 解一元二次方程要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解題，但一般順序?yàn)椋褐苯娱_(kāi)平方法因式分解法公式法一般沒(méi)有特別要求的不用配方法知能遷移1解方程：(1)(2x1)29(用直接開(kāi)平方法)；解：(2x1)29,2x13， x ，x12，x21.132 (2)x23x40(用配方法)；解：x23x40，x23x4， x23x 4 ，(x )2 ， x ，x ， x11，x24.(3)x22

9、x80(用因式分解法)；解：x22x80，(x4)(x2)0， x40或x20， x14，x22.94 94 32 32 254 52 32 52 (4)x(x1)2(x1)0.解：x(x1)2(x1)0，x2x2x20， x23x20，x . x1 ，x2 .3 1721 3 172 3 172 題型二配方法【例 2】 試說(shuō)明：代數(shù)式2x2x3的值不小于 .解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：2x2x32(x2 x)3 2x2 x( )2( )23 2(x )2 3 2(x )2 32(x )2 . 不論x取何實(shí)數(shù)，2(x )2 0， 2(x )2 . 即代數(shù)式2x2x3的值不小于 .

10、12 12 18 238 238 238 238 探究提高 配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它既是恒等變形的重要手段，又是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用方法，在配方前，先將二次項(xiàng)系數(shù)2提出來(lái)，使括號(hào)中的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后通過(guò)配方分離出一個(gè)完全平方式知能遷移2對(duì)于二次二項(xiàng)式x210 x36，小聰同學(xué)作出如下結(jié)論：無(wú)論x取什么實(shí)數(shù)，它的值都不可能等于11，你是否同意他的說(shuō)法？說(shuō)明你的理由 解：不同意小聰?shù)恼f(shuō)法 理由如下：x210 x36x210 x2511(x5)21111，當(dāng)x5時(shí)，x210 x36有最小值11.題型三應(yīng)用方程根的定義解題【例 3】(1)(2010綿陽(yáng))若實(shí)數(shù)m是方程x2 x1

11、0的一個(gè)根，則m4m4_. 解析： xm, m2 m10， m21 m，m ， 兩邊平方，得m22 10，m2 8， 再平方，得m42 64，m4 62， 即m4m462. 6210 10 1m 10 1m2 1m2 1m4 1m4 (2)已知a是方程x22009x10的一個(gè)根，試求a22008a 值 解：xa，a22009a10， a22008aa1，a212009a， . 原式a1 2008.20092009a 2009a21 1a 1a a2a1a a21 aa 2009aaa 2008aa 探究提高 1.利用方程根的概念，將方程的根代入原方程，再解關(guān)于待定系數(shù)的方程，就可以求出待定系數(shù)

12、的值 2采用整體的思想方法，結(jié)合一元二次方程根的定義及分式加減運(yùn)算的法則可得(2)中代數(shù)式的值知能遷移3(1)已知方程x2kx60的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值； 解：x2，42k60，2k2，k1. x2x60，x12，x23. 方程的另一個(gè)根是3，k1.(2)已知關(guān)于x的二次方程x2mxn0的一個(gè)解是2，另一個(gè)解是正數(shù)，且也是方程(x4)2523x的解你能求出m和n的值嗎？ 解：(x4)2523x，x25x360，x14，x29， x2mxn0的兩根是2和4， 即 解得 42mn0，164mn0， 2mn4，4mn16， m6，n8. (3)(2010廣州)已知關(guān)于x的一元二次方程a

13、x2bx10(a0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求 的值分析：對(duì)于(3)，由于這個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，因此b24a0，可得出a、b之間的關(guān)系，然后將 化簡(jiǎn)后，用含b的代數(shù)式表示a，即可求出這個(gè)分式的值ab2 a2 2b24 解：ax2bx10(a0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， b24ac0，即b24a0，b24a. . a0， 4.ab2 a2 2b24 ab2a24a4b24 ab2a24ab2 ab2a2 ab2a2 b2a 4aa 題型四與幾何問(wèn)題的綜合【例 4】已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4，第三邊是方程x24x 30的解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng) 解：解方程x24x30得x11，x23. 又三角形的第

14、三邊a的范圍是2a0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，0時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根但在解題過(guò)程中，往往出現(xiàn)只有一個(gè)根的現(xiàn)象，這就表明遺失了一個(gè)根3規(guī)范解答，理解一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、求根公式法的規(guī)范步驟，才能避免失根. 方法與技巧1.關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)，當(dāng)b0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的條件是“a、c異號(hào)”用因式分解法解這個(gè)方程ax2c0時(shí)，只有當(dāng)a、c異號(hào)，二次式ax2c才是可以分解的；用開(kāi)平方法解這個(gè)方程x2 ，只有當(dāng)a、c異號(hào)時(shí)，正數(shù) 才有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根因此一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判別式b24ac，在a、c異號(hào)時(shí)，b24ac

15、0，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2. 關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0(a0) (1)當(dāng)b0，c0時(shí)，只考慮開(kāi)平方法，x2 ，x ， 其中a、c異號(hào)； (2)當(dāng)c0，b0時(shí)，用因式分解法(提取公因式x)，x10，x2 ； (3)當(dāng)b0，c0時(shí)，考慮因式分解(十字分解)法，或利用公式法 在進(jìn)行以上思考前，使a為正；把a(bǔ)、b、c都整理為整數(shù)；約去a、 b、c的公因數(shù)3. 解好利用“根的判別式”為工具的有關(guān)問(wèn)題當(dāng)給出了根的情況的結(jié)論，求a、b、c中所含字母的取值或取值范圍，先求出并化簡(jiǎn)根的判別式的表達(dá)式，然后根據(jù)所給的結(jié)論，以0或0或0，再解所得的不等式或方程失誤

16、與防范1. 對(duì)于最高次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)的方程，這并不能斷定該方程即為一元二次方程，解題時(shí)要分一元一次方程和一元二次方程加以討論對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)的方程，題設(shè)已交代了是一元二次方程，不能忽視二次項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)為非零實(shí)數(shù)，這是個(gè)隱含條件，最易被忽視任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程中有一個(gè)隱含條件：即二次項(xiàng)系數(shù)a0.2. 正確理解“方程有實(shí)根”的含義方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：如有一個(gè)實(shí)數(shù)根則原方程為一元一次方程；若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則原方程為一元二次方程在解題時(shí)，要特別注意“方程有實(shí)數(shù)根”、“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”等關(guān)鍵文字，要挖掘出它們的隱含條件，以免陷入關(guān)鍵字的“陷阱”3. 在運(yùn)用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的

17、解時(shí)，容易出現(xiàn)將平方根和算術(shù)平方根混淆的錯(cuò)誤，使得在解題時(shí)出現(xiàn)失根的現(xiàn)象例如將x290變形為x29后，根據(jù)平方根的意義得到方程的根應(yīng)該是x3，而非x3. 用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過(guò)移項(xiàng)的方式，將方程右邊化為0.配方法是指通過(guò)配方，利用完全平方式，將一元二次方程左邊化成一個(gè)含有未知數(shù)的整式的平方，方程右邊就是一個(gè)非負(fù)數(shù)的形式，然后再用直接開(kāi)平方法求解因此用配方法解方程必須注意以下幾點(diǎn)：一是要注意配方時(shí)必須在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的一半的平方，二是要注意在配方時(shí)所配系數(shù)必須是一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的一半的平方所有的一元二次方程都可以用公式法進(jìn)行求解，所以一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根，就取決于根的判別式的值，即b24ac的大小如果b24ac0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；如果b24ac0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；如果b24ac0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練 7