高中數(shù)學第2輪總復習 專題7 第5課時 軌跡問題課件 理 新人教B版

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1、專 題 七 121()2345軌跡定義：軌跡是符合一定條件的動點所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌跡求軌跡的一般步驟建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，設出軌跡上任一點的坐標-解析法 坐標法 尋求動點與已知點滿足的關系式幾何關系將動點與已知點坐標代入幾何關系代數(shù)化化簡整理方程簡化證明所得方程為所求的軌跡方程完成其充要性 312求軌跡方程應注意的問題求軌跡方程后一定要注意軌跡的純粹性和完備性，以保證方程的解與曲線上的點具有一一對應的關系，尤其是題中涉及三角形、斜率、參數(shù)方程中參數(shù)的限制，否則使方程產生增根要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念1,01

2、_FlxPPlQQP QFFP FQPC 如圖，已知點，直線：， 為平面上的動點，過 作直線的垂線，垂足為 ，且，則動點 的軌跡 的方程為例1：考點1 直接法與定義法求軌跡()P xyQP QFFP FQP 設， ，因為是本題條件中最關鍵的一個條件等式，所以只須用 點的坐標及已知條件將此等式轉化為代數(shù)等式即可得分析：到結論22()( 1)1,0(2)(1) ( 2)4 .4 .P xyQyQP QFFP FQxyxyyyxPCyx 設點， ，則， 由，得， ，化簡所以動點 的軌跡 的為析方程解：本題主要考查平面向量的坐標運算、數(shù)量積運算拋物線的基礎知識，考查利用“直接法”求點的軌跡方程最基本【

3、評析】的方法122121,01,02(01)sin.PABddAPBd dPCC 設動點 到點和的距離分別為 和 ，且存在常數(shù) ，使得證明：動點 的軌跡 為雙曲線，并求出變試題的方程225121222121212122222222cos244sin44sin22() 2| 2 1()222 1111.1.1PABABddddddddddddPAPBABPCA BaacbaxyC 在中，則，即常數(shù) ，即常數(shù)，故點 的軌跡 是以 ， 為焦點，實軸長的解析：雙曲線，所以，則故所求軌跡 的方程為： (0)2,01(1)212FDAPPAM已知在平面直角坐標系中的一個橢圓的中心在原點，左焦點，右頂點，設

4、點， 求該橢圓的標準方程；若 是橢圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程考點2 代入法與參數(shù)法求軌跡 12ab第小題直接應用焦點坐標及頂點坐標即可求得 、 ；第小題屬于主動點與從動點的軌跡問題，利用代入法分析：即可解決 22222222210,01.2,02.(3 0)3.11.4OxxyabDaFcabcbxy由于橢圓的中心在，焦點在 軸上，則設橢圓的標準方程為由于右頂點為，則因為左焦點為，所以由，得，故橢圓方程為解析：13 00000022222()()1212221.122211(2)14211()4()124MxyPxyxxMPAyyxxPPyyxyxyM 令，與之相應的動點為，因為為的中

5、點，所以，即又點在橢圓上，將點 的坐標代入橢圓方程，得，即為所求點的軌跡方程00“”x yxy本題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質、中點坐標公式，考查 代入法 求點的軌跡的基本方法及轉化的數(shù)學思想利用“代入法”求點的軌跡方程的關鍵是用從動點的坐標 、 來表示主動點的坐標 、 ，其表示的途徑主要有：利用定比分點坐標公式；利用向量相等等有關知識；利用圓錐曲線的定義；利用對【評析】稱知識2221,0()_xyFFABCMCMCACBCOOM 已知雙曲線的右焦點為 ，過點的動直線與雙曲線相交于 ， 兩點，點 的坐標是，若動點滿足其中為坐標原點，則點的軌跡方程為變試題112211221212()()()

6、(1)(1)(1)1,013M xyA xyB xyCMxy CAxyCBxyCOxxxCMCACBCOyyy 設， ，則， ，解由得析，：，121222222221222.2 (1)21442041xxxABxyyyAByk xkxykxk xkkxxk 即當直線不與 軸垂直時，設直線的方程是，代入，有，則，1122112221212122222()()()(1)(1)(1)1,044144(4).11M xyA xyB xyCMxy CAxyCBxyCOkxxyyk xxkkkkkk 設，則，則，由得222221222442114.22,04.kkxykkkxyABxxxMMxy，由消去參

7、數(shù) ，得當與 軸垂直時，求得，也滿足上述方程，綜上所述，所求點的軌跡方程是240ypx pOAOBOABM 過拋物線的頂點作互相垂直的兩弦，求備選例拋物線的頂點 在直線上的射影的軌題跡方程ABABOMM設出 ， 兩點坐標，然后根據(jù)條件和這兩個的坐標確定出的直線方程與的直線方程，最后將這兩個方程聯(lián)立消元可求得點的軌分析：跡方程22222222404()()444.116.()4444016ABABOAAOBOAOBBABABAAABABABABA Bypx pyypAyBykppypkOAOBkkyy ypAByyyyyxyypppyyypxy yy yp點 ， 在拋物線上，設，所以，由垂直，得

8、，得又的方程為，解析：即，把代入，222222222416044024.24.ABABABAByyypxpyyOMyxyypxypxxpypMxpyp得的方程為，又的方程為，由消去得，即得，即所以點 的軌跡方程為本題是利用交軌法求軌跡方程用交軌法求交點的軌跡方程時，不一定非要求出交點坐標，只要能消去參數(shù)，得到交點的兩個坐標間的關系即可交軌法實際上是參數(shù)法中的一種特【評析】殊情況1()xy直接法：如果題設條件給出或通過分析圖形性質得出的動點所滿足的幾何關系，則只須把這種關系轉化成含有 ， 的表達式，通過化簡整理便可得到曲線的軌跡方程這種求軌跡方程的方法我們稱之為直接法2定義法：利用所學橢圓的定義

9、、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法這種方法要求題設中有定點與定直線或兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件00000003()()()()0()()()()P x yQ xyxyxyxf x yyg x yQ xyP代入法：對某些探求涉及多個動點且較復雜的點的軌跡問題，如果所求軌跡的動點，稱為從動點隨已知曲線上的動點，稱為主動點運動而運動，則可利用已知中的其他條件用 ，表示 ， ，即， ， ，再將，點的坐標代入已知曲線的方程，化簡后即可得 點的軌跡方程，這種方法稱為代入法或相關點法4()x yx y參數(shù)法：如果所求軌跡的動點

10、的運動常常受到另一個變量的制約，或者說用這個變量可以將動點坐標 ， 中的 ， 表示出來我們可以取這個變數(shù)為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法如果需要得到軌跡的普通方程，需要將參數(shù)消去5交軌法：求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程可以說是參數(shù)法的一種特殊情況22310 A A1.(201BC1D)CxyyC設圓廣東卷與圓外切，與直線相切，則 的圓心軌跡為拋物線雙曲線橢圓圓2222()31.3101.011A.CxyCrxyACxyyCArCydrCAdCAyC 設 的坐標為 ， ，圓

11、的半徑為 ，圓的圓心為 因為圓 與圓外切，與直線相切，所以又 到直線的距離，所以，即動點 到定點 的距離等于到定直線的距離由拋物線的定義知： 的軌跡為拋物線解故選析：2.(2011)2.xOylxxAPlMOPMPOAOPPlME 在平面直角坐標系中，直線 ：交 軸于點 ，設 是 上一點，是線段的垂直平分線上一點，且滿足當點 在廣東上運動時，求點的軌跡卷的方程2221.241 (1)2().MQOPOPQMPQAOPMPlMOMPxyxyxxMAOPMQOPMPQMOQ 如圖 ，設為線段的垂直平分線，交于點因為，所以，且因此，即另一種情況，見圖 即點和 位于直線的同側因為為線段的垂直平分線，所以解析：2222.,0,0( 2)()(2)111.,0401.41 1.0 1MPQAOPMOQAOPMxMxM xxPalaMOMPxxaxaM xyxMExxyx R又因為，所以因此在 軸上，此時，記的坐標為分析中 的變化范圍，設，為 上任意一點由即，得故的軌跡方程為，綜合和得，點的軌跡 的方程為12112222221()110.20111202212.1yk xPxyyk xykxxk kykxyyxyxxPxy交點 的坐標，滿足，故知從而，代入，得整理后，得，所以交點 在橢方：圓法上