高中數(shù)學(xué)第2輪總復(fù)習(xí) 專題7 第5課時(shí) 軌跡問(wèn)題課件 理 新人教B版

專 題 七 121()2345軌跡定義：軌跡是符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形，或者說(shuō)，符合一定條件的點(diǎn)的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡求軌跡的一般步驟建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)-解析法 坐標(biāo)法 尋求動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式幾何關(guān)系將動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)坐標(biāo)代入幾何關(guān)系代數(shù)化化簡(jiǎn)整理方程簡(jiǎn)化證明所得方程為所求的軌跡方程完成其充要性 312求軌跡方程應(yīng)注意的問(wèn)題求軌跡方程后一定要注意軌跡的純粹性和完備性，以保證方程的解與曲線上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，尤其是題中涉及三角形、斜率、參數(shù)方程中參數(shù)的限制，否則使方程產(chǎn)生增根要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念1,01_FlxPPlQQP QFFP FQPC 如圖，已知點(diǎn)，直線：， 為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) 作直線的垂線，垂足為 ，且，則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的方程為例1：考點(diǎn)1 直接法與定義法求軌跡()P xyQP QFFP FQP 設(shè)， ，因?yàn)槭潜绢}條件中最關(guān)鍵的一個(gè)條件等式，所以只須用 點(diǎn)的坐標(biāo)及已知條件將此等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式即可得分析：到結(jié)論22()( 1)1,0(2)(1) ( 2)4 .4 .P xyQyQP QFFP FQxyxyyyxPCyx 設(shè)點(diǎn)， ，則， 由，得， ，化簡(jiǎn)所以動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的為析方程解：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)，考查利用“直接法”求點(diǎn)的軌跡方程最基本【評(píng)析】的方法122121,01,02(01)sin.PABddAPBd dPCC 設(shè)動(dòng)點(diǎn) 到點(diǎn)和的距離分別為 和 ，且存在常數(shù) ，使得證明：動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 為雙曲線，并求出變?cè)囶}的方程225121222121212122222222cos244sin44sin22() 2| 2 1()222 1111.1.1PABABddddddddddddPAPBABPCA BaacbaxyC 在中，則，即常數(shù) ，即常數(shù)，故點(diǎn) 的軌跡 是以 ， 為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的解析：雙曲線，所以，則故所求軌跡 的方程為： (0)2,01(1)212FDAPPAM已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)， 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程考點(diǎn)2 代入法與參數(shù)法求軌跡 12ab第小題直接應(yīng)用焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求得 、 ；第小題屬于主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，利用代入法分析：即可解決 22222222210,01.2,02.(3 0)3.11.4OxxyabDaFcabcbxy由于橢圓的中心在，焦點(diǎn)在 軸上，則設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由于右頂點(diǎn)為，則因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)為，所以由，得，故橢圓方程為解析：13 00000022222()()1212221.122211(2)14211()4()124MxyPxyxxMPAyyxxPPyyxyxyM 令，與之相應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即又點(diǎn)在橢圓上，將點(diǎn) 的坐標(biāo)代入橢圓方程，得，即為所求點(diǎn)的軌跡方程00“”x yxy本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查 代入法 求點(diǎn)的軌跡的基本方法及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想利用“代入法”求點(diǎn)的軌跡方程的關(guān)鍵是用從動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) 、 來(lái)表示主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) 、 ，其表示的途徑主要有：利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式；利用向量相等等有關(guān)知識(shí)；利用圓錐曲線的定義；利用對(duì)【評(píng)析】稱知識(shí)2221,0()_xyFFABCMCMCACBCOOM 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為 ，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于 ， 兩點(diǎn)，點(diǎn) 的坐標(biāo)是，若動(dòng)點(diǎn)滿足其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為變?cè)囶}112211221212()()()(1)(1)(1)1,013M xyA xyB xyCMxy CAxyCBxyCOxxxCMCACBCOyyy 設(shè)， ，則， ，解由得析，：，121222222221222.2 (1)21442041xxxABxyyyAByk xkxykxk xkkxxk 即當(dāng)直線不與 軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是，代入，有，則，1122112221212122222()()()(1)(1)(1)1,044144(4).11M xyA xyB xyCMxy CAxyCBxyCOkxxyyk xxkkkkkk 設(shè)，則，則，由得222221222442114.22,04.kkxykkkxyABxxxMMxy，由消去參數(shù) ，得當(dāng)與 軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程，綜上所述，所求點(diǎn)的軌跡方程是240ypx pOAOBOABM 過(guò)拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦，求備選例拋物線的頂點(diǎn) 在直線上的射影的軌題跡方程ABABOMM設(shè)出 ， 兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)條件和這兩個(gè)的坐標(biāo)確定出的直線方程與的直線方程，最后將這兩個(gè)方程聯(lián)立消元可求得點(diǎn)的軌分析：跡方程22222222404()()444.116.()4444016ABABOAAOBOAOBBABABAAABABABABA Bypx pyypAyBykppypkOAOBkkyy ypAByyyyyxyypppyyypxy yy yp點(diǎn) ， 在拋物線上，設(shè)，所以，由垂直，得，得又的方程為，解析：即，把代入，222222222416044024.24.ABABABAByyypxpyyOMyxyypxypxxpypMxpyp得的方程為，又的方程為，由消去得，即得，即所以點(diǎn) 的軌跡方程為本題是利用交軌法求軌跡方程用交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間的關(guān)系即可交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中的一種特【評(píng)析】殊情況1()xy直接法：如果題設(shè)條件給出或通過(guò)分析圖形性質(zhì)得出的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何關(guān)系，則只須把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化成含有 ， 的表達(dá)式，通過(guò)化簡(jiǎn)整理便可得到曲線的軌跡方程這種求軌跡方程的方法我們稱之為直接法2定義法：利用所學(xué)橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫(xiě)出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線或兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件00000003()()()()0()()()()P x yQ xyxyxyxf x yyg x yQ xyP代入法：對(duì)某些探求涉及多個(gè)動(dòng)點(diǎn)且較復(fù)雜的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，如果所求軌跡的動(dòng)點(diǎn)，稱為從動(dòng)點(diǎn)隨已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)，稱為主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，則可利用已知中的其他條件用 ，表示 ， ，即， ， ，再將，點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知曲線的方程，化簡(jiǎn)后即可得 點(diǎn)的軌跡方程，這種方法稱為代入法或相關(guān)點(diǎn)法4()x yx y參數(shù)法：如果所求軌跡的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量的制約，或者說(shuō)用這個(gè)變量可以將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) ， 中的 ， 表示出來(lái)我們可以取這個(gè)變數(shù)為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法如果需要得到軌跡的普通方程，需要將參數(shù)消去5交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來(lái)建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程可以說(shuō)是參數(shù)法的一種特殊情況22310 A A1.(201BC1D)CxyyC設(shè)圓廣東卷與圓外切，與直線相切，則 的圓心軌跡為拋物線雙曲線橢圓圓2222()31.3101.011A.CxyCrxyACxyyCArCydrCAdCAyC 設(shè) 的坐標(biāo)為 ， ，圓 的半徑為 ，圓的圓心為 因?yàn)閳A 與圓外切，與直線相切，所以又 到直線的距離，所以，即動(dòng)點(diǎn) 到定點(diǎn) 的距離等于到定直線的距離由拋物線的定義知： 的軌跡為拋物線解故選析：2.(2011)2.xOylxxAPlMOPMPOAOPPlME 在平面直角坐標(biāo)系中，直線 ：交 軸于點(diǎn) ，設(shè) 是 上一點(diǎn)，是線段的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足當(dāng)點(diǎn) 在廣東上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡卷的方程2221.241 (1)2().MQOPOPQMPQAOPMPlMOMPxyxyxxMAOPMQOPMPQMOQ 如圖 ，設(shè)為線段的垂直平分線，交于點(diǎn)因?yàn)?，所以，且因此，即另一種情況，見(jiàn)圖 即點(diǎn)和 位于直線的同側(cè)因?yàn)闉榫€段的垂直平分線，所以解析：2222.,0,0( 2)()(2)111.,0401.41 1.0 1MPQAOPMOQAOPMxMxM xxPalaMOMPxxaxaM xyxMExxyx R又因?yàn)?，所以因此?軸上，此時(shí)，記的坐標(biāo)為分析中 的變化范圍，設(shè)，為 上任意一點(diǎn)由即，得故的軌跡方程為，綜合和得，點(diǎn)的軌跡 的方程為12112222221()110.20111202212.1yk xPxyyk xykxxk kykxyyxyxxPxy交點(diǎn) 的坐標(biāo)，滿足，故知從而，代入，得整理后，得，所以交點(diǎn) 在橢方：圓法上