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1、返回返回 曲線運動曲線運動 最一般的情最一般的情形為三維變速曲形為三維變速曲線運動線運動 曲線運動曲線運動 最一般的情最一般的情形為三維變速曲線形為三維變速曲線運動運動OrrrPPPrvPPP= f1(t)= f2(t)= f3(t) 如果已知點的軌跡，則可在軌跡如果已知點的軌跡，則可在軌跡上任取一點為原點，運動的點上任取一點為原點，運動的點P至原至原點的弧長點的弧長sOP，并且規(guī)定：原點，并且規(guī)定：原點O的某一側弧長為正；另一側為負。這的某一側弧長為正；另一側為負。這種具有確定正負號的弧長種具有確定正負號的弧長s稱為稱為P點的點的弧坐標弧坐標(arc coordinate of a dire
2、cted curve)?；∽鴺?。弧坐標s完全確定了動點完全確定了動點P在在軌跡上的位置。軌跡上的位置。點運動時，其弧坐標隨時間而變化：點運動時，其弧坐標隨時間而變化：這就是動點這就是動點P P的弧坐標形式的運動方程。的弧坐標形式的運動方程。 )(tss 1. 有坐標原點有坐標原點(一般在軌跡上一般在軌跡上任選一參考點作為坐標原點任選一參考點作為坐標原點)；2. 有正、負方向有正、負方向(一般以點的一般以點的運動方向作為正向運動方向作為正向)；3. 有相應的坐標系。有相應的坐標系。ddddddrrvsstts 0dlim1drrtss ddrs vstsddvv 點的速度在切線軸上的投影等于弧坐
3、標對時間的一階導數(shù)。點的速度在切線軸上的投影等于弧坐標對時間的一階導數(shù)。stddytdldlxsinsincos2cos2tddytdldlxsinsincos2cos2 半徑為半徑為R的圓盤沿直線軌道無滑的圓盤沿直線軌道無滑動地滾動（純滾動），設圓盤在鉛動地滾動（純滾動），設圓盤在鉛垂面內(nèi)運動，且輪心垂面內(nèi)運動，且輪心A的速度為的速度為v0(t) 1分析圓盤邊緣一點分析圓盤邊緣一點M的運動，并求當?shù)倪\動，并求當M點與地面接觸時點與地面接觸時的速度和加速度以及的速度和加速度以及M點運動到最高處時，軌跡的曲率半徑；點運動到最高處時，軌跡的曲率半徑； 2討論當輪心的速度為常數(shù)時，輪邊緣上各點的速度
4、和加討論當輪心的速度為常數(shù)時，輪邊緣上各點的速度和加速度分布。速度分布。Rv0AcossinAMACyAMOCx(sin )(1 cos )xRyRRCMOCxA 取點取點M所在的一個最低位置為所在的一個最低位置為原點原點O，設在任意時刻，設在任意時刻t圓盤的轉過圓盤的轉過的角度為的角度為CAM，為時間為時間t的的函數(shù)，函數(shù)，C是圓盤與軌道的接觸點，是圓盤與軌道的接觸點，由于圓盤作純滾動，所以：由于圓盤作純滾動，所以：cossinAMACyAMOCx(sin )(1 cos )xRyR點點M的速度分量為：的速度分量為：(1 cos )sinxRyR22(1 cos )sinsincosxRRy
5、RR加速度分量為：加速度分量為：于是于是M點的運動方程為：點的運動方程為：AxOCR將其對將其對 t 求一次導數(shù)，可得求一次導數(shù)，可得 0AxRv 因為圓盤沿直線軌道作純滾動，因為圓盤沿直線軌道作純滾動，故輪心故輪心A點作水平直線運動，所以點作水平直線運動，所以有有再對再對 t 求一次導數(shù)，可得求一次導數(shù)，可得 這對于沿直線軌跡滾動的物體都是正確的。這對于沿直線軌跡滾動的物體都是正確的。0AxRv00AxRva引入引入 則有則有 RaRv00即輪上即輪上M點的速度大小與點的速度大小與M點到點到C點（輪上與地面接觸點）點（輪上與地面接觸點）的距離成正比。其方向由下式確定：的距離成正比。其方向由下
6、式確定： coscos2v, jyvvcossin2v,ixvvcos1222RyxvMCv2sin20M點的速度大小為點的速度大小為 2建立建立 和和 與圓盤中心與圓盤中心A點點的速度的速度v0(t)之間的關系之間的關系于是，純滾動時輪上各點的速度如于是，純滾動時輪上各點的速度如圖所示。圖所示。v MC 當當 = 0和和 = 2時，時，M點與地面點與地面接觸，此時接觸，此時M點的速度為零。點的速度為零。 從圖中的幾何關系可以證明：從圖中的幾何關系可以證明：任意點的速度矢量垂直于滾動時輪任意點的速度矢量垂直于滾動時輪與地面接觸點的連線，即，與地面接觸點的連線，即，22(1 cos )sinsi
7、ncosxRRyRRja2R220nvaRR這時這時M點的速度為點的速度為v =2v0，于是，軌跡在最高處的曲率半徑為：，于是，軌跡在最高處的曲率半徑為： RRvvav4)2(2020n2iv02v22aijRR M點軌跡在最高點處的切線方向與點軌跡在最高點處的切線方向與i 同同向；曲線向下彎曲，所以主法線方向與向；曲線向下彎曲，所以主法線方向與j 同向。于是，法向加速度的大小為：同向。于是，法向加速度的大小為： 由于當由于當 = 時，時，M點的速度和加速點的速度和加速度分別為：度分別為： 若若v0為常矢量，則為常矢量，則為常量，故，此時由式為常量，故，此時由式M點加速度大小恒為：點加速度大小
8、恒為： RaRv0022(1 cos )sinsincosxRRyRR222axyRM點加速度的方向由下式確定：點加速度的方向由下式確定：cossina,ixaacoscosa, jyaa根據(jù)式根據(jù)式 所以，這時輪緣上所以，這時輪緣上M點的加速度方向點的加速度方向均指向輪心均指向輪心A，如圖中所示，此時的加，如圖中所示，此時的加速度既非切向加速度，也非法向加速度，速度既非切向加速度，也非法向加速度，而是這兩種加速度的矢量和。不過請注而是這兩種加速度的矢量和。不過請注意，若意，若v0不為常矢量，則加速度方向并不為常矢量，則加速度方向并不指向輪心。不指向輪心。 cossina,ixaacoscos
9、a, jyaa返回返回BABArrr根據(jù)平移的定義，根據(jù)平移的定義，rAB為常矢量，為常矢量， 0ddtBAr 剛體運動時，其上任意直線永遠剛體運動時，其上任意直線永遠平行于其初始位置，這種運動稱為平行于其初始位置，這種運動稱為剛體的剛體的平行移動（平行移動（translation）,簡簡稱平移或平動。在平移剛體內(nèi)任選稱平移或平動。在平移剛體內(nèi)任選兩點兩點A、B，令點令點A、B的矢徑分別的矢徑分別為為rA和和rB ，則兩條矢端曲線就是這，則兩條矢端曲線就是這兩點的軌跡。兩點的軌跡。BABArrr0ddtBArBArr vvABBAaa 平移時，同一瞬時，剛體上各點的速度相同，各點的加速度平移時
10、，同一瞬時，剛體上各點的速度相同，各點的加速度也相同。因此剛體平移時，可以用剛體上任一點（例如質心）的運也相同。因此剛體平移時，可以用剛體上任一點（例如質心）的運動表示剛體的運動。于是，研究平移剛體的運動可歸結為研究點的動表示剛體的運動。于是，研究平移剛體的運動可歸結為研究點的運動。運動。 根據(jù)平移的定義，為常矢量，根據(jù)平移的定義，為常矢量， 平移的實例平移的實例已知：已知：O1A O2B l；O1A桿的角速度桿的角速度 和角和角加速度加速度 。求：求：C點的運動軌跡、點的運動軌跡、速度和加速度速度和加速度解：解：板運動過程中，其上任板運動過程中，其上任意直線始終平行于它的初始意直線始終平行于
11、它的初始位置。因此，板作平移。位置。因此，板作平移。 C點的運動軌跡與點的運動軌跡與A、B兩兩點的運動軌跡形狀相同，即點的運動軌跡形狀相同，即以以O點為圓心點為圓心l為半徑的圓弧為半徑的圓弧線線。而不是以而不是以O1點為圓心、點為圓心、或以或以O3點為圓心的圓弧。點為圓心的圓弧。板運動過程中，其上板運動過程中，其上任意直線始終平行于它的任意直線始終平行于它的初始位置。因此，板作平初始位置。因此，板作平移。移。板運動過程中，其上任意板運動過程中，其上任意直線始終平行于它的初始位置。直線始終平行于它的初始位置。因此，板作平移。因此，板作平移。42 lt2n2()()CACCaaaat2n2()()
12、AAaa222)()(ll 需要注意的是：雖然平板需要注意的是：雖然平板上各點的運動軌跡均為圓，但上各點的運動軌跡均為圓，但是，平板并不作轉動，而是作是，平板并不作轉動，而是作平面平面曲線平移。由此，在分析平移。由此，在分析中，需要注意剛體運動與剛體中，需要注意剛體運動與剛體上點的運動的區(qū)別。上點的運動的區(qū)別。 定軸轉動剛體定軸轉動剛體)(tf)( lim :0代數(shù)量定義dtdtt若已知轉動方程f(t)(:tf 則單位單位 rad/s工程中常用單位： n = 轉/分(r / min)則則n與與 的關系為的關系為:)nnn(rad/s1030602考察三維定軸轉動剛體考察三維定軸轉動剛體 角速度
13、矢量、角加速度矢量角速度矢量、角加速度矢量ddtkk22ddddttkk 若剛體加速轉動，則若剛體加速轉動，則 與同與同 向向。 若減速轉動，則若減速轉動，則 與與 反向反向。 考察三維定軸轉動剛體考察三維定軸轉動剛體PPrvtttPPPPddddddrrva)(PPrrtnaaPPtnaaaPPPtPParn2PPar 定軸轉動剛體上某一點的加速定軸轉動剛體上某一點的加速度由兩部分組成，即切向加速度與度由兩部分組成，即切向加速度與法向加速度。法向加速度。 動系動系O1 x y z 繞繞 z軸轉動，角軸轉動，角速度為速度為 ，基，基矢量為矢量為(i ，j ， k )動系動系O1 x y z 繞繞 z軸轉動軸轉動OxyzyxzO1i j k P1P2P3 P1P3vP2單位向單位向量：量：i , j , k 角速度：角速度：返回返回 點沿著一螺旋線自外向內(nèi)運點沿著一螺旋線自外向內(nèi)運動。點所走過的弧長與時間的動。點所走過的弧長與時間的一次方成正比。請判斷點的運一次方成正比。請判斷點的運動性質：動性質：eea)2()(2 P返回返回
理論力學－第6章 運動分析基礎
