第講 概率、隨機(jī)變量及其分布列

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1、第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列【自主學(xué)習(xí)】第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列(本講對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第7274頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1. (選修2-3 P45例1改編)設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取1，2，3，n，若P(X4)=0.3，則n的值為.【答案】10【解析】“X4”的含義為X=1，2，3，所以P(X4)=0.3，所以n=10.2. (選修2-3 P67例2改編)現(xiàn)有一大批產(chǎn)品，其中不合格品占10%.若從這批產(chǎn)品中任取5件產(chǎn)品，記X為這5件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，則X的概率分布列是.(只需寫(xiě)出關(guān)系式)【答案】P(X=k)=0.1k(1-0.1)5-k，k=0，1，2，3，4，5【解析】由題知，隨機(jī)變量XB(

2、5，0.1)，則有P(X=k)=0.1k(1-0.1)5-k，k=0，1，2，3，4，5.3. (選修2-3 P67習(xí)題4改編)某單位有一臺(tái)電話交換機(jī)，其中有8個(gè)分機(jī).設(shè)每個(gè)分機(jī)在1 h內(nèi)平均占線10 min，并且各個(gè)分機(jī)是否占線是相互獨(dú)立的，則任一時(shí)刻占線的分機(jī)數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為.【答案】【解析】由題意知，隨機(jī)變量XB，所以E(X)=np=8=.4. (選修2-3 P71習(xí)題3改編)某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.9，現(xiàn)連續(xù)射擊4次，則擊中目標(biāo)的次數(shù)的方差為.【答案】0.36【解析】由題意知，隨機(jī)變量XB(4，0.9)，所以擊中目標(biāo)的次數(shù)的方差為V(X)=np(1-p)=40.9(1-0.9

3、)=0.36.5. (選修2-3 P51練習(xí)2改編)已知在50件商品中有15件一等品，其余為二等品.現(xiàn)從中隨機(jī)選購(gòu)2件，若X為所購(gòu)2件中的一等品的件數(shù)，則P(X1)= .【答案】【解析】由題知，隨機(jī)變量XH(2，15，50)，則P(X=r)=H(r；2，15，50)=，r=0，1，2，所以P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=+=+=.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破離散型隨機(jī)變量及超幾何分布例1(2014蘇北四市期末)某品牌汽車4S店經(jīng)銷A，B，C三種排量的汽車，其中A，B，C三種排量的汽車依次有5，4，3款不同車型.某單位計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)該品牌3輛不同車型的汽車，且購(gòu)買(mǎi)每款車型等可能.(1) 求該單

4、位購(gòu)買(mǎi)的3輛汽車均為B種排量汽車的概率；(2) 記該單位購(gòu)買(mǎi)的3輛汽車的排量種數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【分析】(1) 古典概型，利用組合數(shù)公式即可.(2) 中先確定隨機(jī)變量X的所有可能取值，然后求出各取值的概率，列出分布列.【解答】(1) 設(shè)“該單位購(gòu)買(mǎi)的3輛汽車均為B種排量的汽車”為事件M，則P(M)=，所以該單位購(gòu)買(mǎi)的3輛汽車均為B種排量的汽車的概率為.(2) 隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3.則P(X=1)=，P(X=3)=，P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=.所以X的概率分布列為：X123P數(shù)學(xué)期望E(X)=1+2+3=.【點(diǎn)評(píng)】求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟：(

5、1) 找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i=1，2，3，n)；(2) 求出各取值的概率P(X=xi)=pi；(3) 列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確.變式(2015南京調(diào)研)某商店為了吸引顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球小游戲，顧客從裝有1個(gè)紅球、1個(gè)白球、3個(gè)黑球的袋中一次隨機(jī)地摸2個(gè)球，設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)方式如下表：結(jié)果獎(jiǎng)勵(lì)1紅1白10元1紅1黑5元2黑2元1白1黑不獲獎(jiǎng)(1) 某顧客在一次摸球中獲得獎(jiǎng)勵(lì)X元，求X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望；(2) 某顧客參與兩次摸球，求他能中獎(jiǎng)的概率.【解答】(1) 因?yàn)镻(X=10)=，P(X=5)=，P(X=2)=，P(X=0)=，所以X的概率分

6、布列為：X10520P所以E(X)=10+5+2+0=3.1(元).(2) 記“該顧客一次摸球中獎(jiǎng)”為事件A，由(1)知，P(A)=，從而他兩次摸球中至少有一次中獎(jiǎng)的概率P=1-1-P(A)2=.答：他兩次摸球中至少有一次中獎(jiǎng)的概率為.離散型隨機(jī)變量及二項(xiàng)分布例2(2015泰州二模)某班組織的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)中，通過(guò)抽獎(jiǎng)產(chǎn)生了5名幸運(yùn)之星.這5名幸運(yùn)之星可獲得A，B兩種獎(jiǎng)品中的一種，并規(guī)定：每個(gè)人通過(guò)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己最終獲得哪一種獎(jiǎng)品(骰子的六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn))，拋擲點(diǎn)數(shù)小于3的獲得A獎(jiǎng)品，拋擲點(diǎn)數(shù)不小于3的獲得B獎(jiǎng)品.(1) 求這5名幸運(yùn)之星中

7、獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得B獎(jiǎng)品的人數(shù)的概率；(2) 設(shè)X，Y分別為獲得A，B兩種獎(jiǎng)品的人數(shù)，并記=|X-Y|，求隨機(jī)變量的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.【分析】對(duì)于(1)，先考慮獲得A獎(jiǎng)品與獲得B獎(jiǎng)品的概率，再求得獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得B獎(jiǎng)品的人數(shù)的概率.(2)中找到的值，然后再求分布列.【解答】這5名幸運(yùn)之星中，每人獲得A獎(jiǎng)品的概率為=，獲得B獎(jiǎng)品的概率為=.(1) 要獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得B獎(jiǎng)品的人數(shù)，則獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)可能為3，4，5，則所求概率為P=+=.(2) 由題知的所有可能取值為1，3，5，且P(=1)=+=，P(=3)=+=，P(=5)=+=，所以的概率分布列為：135P故隨機(jī)變量

8、的數(shù)學(xué)期望E()=1+3+5=.【點(diǎn)評(píng)】在處理n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題時(shí)要從三個(gè)方面考慮：一是每次試驗(yàn)在相同條件下進(jìn)行；二是各次試驗(yàn)下的條件是相互獨(dú)立的；三是每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，n，其中p是一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率.變式(2015蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))已知某人投籃投中的概率為，該人進(jìn)行四次投籃實(shí)驗(yàn)，且每次投籃相互獨(dú)立，設(shè)表示四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)投中次數(shù)與沒(méi)有投中次數(shù)之差的絕對(duì)值.(1) 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()；(2) 設(shè)“函數(shù)f(x)=x2-x-1在區(qū)間(2，3)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事

9、件A發(fā)生的概率P(A).【解答】(1) 由題意知的可能取值為0，2，4.因?yàn)椤?0”指的是實(shí)驗(yàn)成功2次、失敗2次，所以P(=0)=6=.因?yàn)椤?2”指的是實(shí)驗(yàn)成功3次、失敗1次或?qū)嶒?yàn)成功1次、失敗3次，所以P(=2)=+=4+4=.因?yàn)椤?4”指的是實(shí)驗(yàn)成功4次、失敗0次或?qū)嶒?yàn)成功0次、失敗4次，所以P(=4)=+4=+=.則E()=0+2+4=.答：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.(2) 由題意知f(2)f(3)=(3-2)(8-3)0，故P2，所以選擇方案1通過(guò)測(cè)試的概率更大.8. (1) 10萬(wàn)元資金投資甲項(xiàng)目，一年后可能獲利1萬(wàn)元，可能損失1萬(wàn)元，可能不賠不賺.所以X的所有可能取值分別為1，0，-1，所以X的分布列為X1-10P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1+(-1)+0=(萬(wàn)元).(2) 把10萬(wàn)元資金投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利2萬(wàn)元，可能損失2萬(wàn)元.設(shè)Y表示10萬(wàn)元資金投資乙項(xiàng)目的收益，則Y的分布列為Y2-2P所以E(Y)=2-2=2-2(1-)=4-2(萬(wàn)元).由題意得E(Y)E(X)，即4-2，解得.由概率的意義知01，所以的取值范圍是.