第講 概率、隨機(jī)變量及其分布列

第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列【自主學(xué)習(xí)】第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列(本講對應(yīng)學(xué)生用書第7274頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1. (選修2-3 P45例1改編)設(shè)隨機(jī)變量X等可能地取1，2，3，n，若P(X<4)=0.3，則n的值為.【答案】10【解析】“X<4”的含義為X=1，2，3，所以P(X<4)=0.3，所以n=10.2. (選修2-3 P67例2改編)現(xiàn)有一大批產(chǎn)品，其中不合格品占10%.若從這批產(chǎn)品中任取5件產(chǎn)品，記X為這5件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，則X的概率分布列是.(只需寫出關(guān)系式)【答案】P(X=k)=0.1k(1-0.1)5-k，k=0，1，2，3，4，5【解析】由題知，隨機(jī)變量XB(5，0.1)，則有P(X=k)=0.1k(1-0.1)5-k，k=0，1，2，3，4，5.3. (選修2-3 P67習(xí)題4改編)某單位有一臺電話交換機(jī)，其中有8個(gè)分機(jī).設(shè)每個(gè)分機(jī)在1 h內(nèi)平均占線10 min，并且各個(gè)分機(jī)是否占線是相互獨(dú)立的，則任一時(shí)刻占線的分機(jī)數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為.【答案】【解析】由題意知，隨機(jī)變量XB，所以E(X)=np=8×=.4. (選修2-3 P71習(xí)題3改編)某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.9，現(xiàn)連續(xù)射擊4次，則擊中目標(biāo)的次數(shù)的方差為.【答案】0.36【解析】由題意知，隨機(jī)變量XB(4，0.9)，所以擊中目標(biāo)的次數(shù)的方差為V(X)=np(1-p)=4×0.9×(1-0.9)=0.36.5. (選修2-3 P51練習(xí)2改編)已知在50件商品中有15件一等品，其余為二等品.現(xiàn)從中隨機(jī)選購2件，若X為所購2件中的一等品的件數(shù)，則P(X1)= .【答案】【解析】由題知，隨機(jī)變量XH(2，15，50)，則P(X=r)=H(r；2，15，50)=，r=0，1，2，所以P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=+=+=.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破離散型隨機(jī)變量及超幾何分布例1(2014·蘇北四市期末)某品牌汽車4S店經(jīng)銷A，B，C三種排量的汽車，其中A，B，C三種排量的汽車依次有5，4，3款不同車型.某單位計(jì)劃購買該品牌3輛不同車型的汽車，且購買每款車型等可能.(1) 求該單位購買的3輛汽車均為B種排量汽車的概率；(2) 記該單位購買的3輛汽車的排量種數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【分析】(1) 古典概型，利用組合數(shù)公式即可.(2) 中先確定隨機(jī)變量X的所有可能取值，然后求出各取值的概率，列出分布列.【解答】(1) 設(shè)“該單位購買的3輛汽車均為B種排量的汽車”為事件M，則P(M)=，所以該單位購買的3輛汽車均為B種排量的汽車的概率為.(2) 隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3.則P(X=1)=，P(X=3)=，P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=.所以X的概率分布列為：X123P數(shù)學(xué)期望E(X)=1×+2×+3×=.【點(diǎn)評】求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟：(1) 找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i=1，2，3，n)；(2) 求出各取值的概率P(X=xi)=pi；(3) 列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確.變式(2015·南京調(diào)研)某商店為了吸引顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球小游戲，顧客從裝有1個(gè)紅球、1個(gè)白球、3個(gè)黑球的袋中一次隨機(jī)地摸2個(gè)球，設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)方式如下表：結(jié)果獎(jiǎng)勵(lì)1紅1白10元1紅1黑5元2黑2元1白1黑不獲獎(jiǎng)(1) 某顧客在一次摸球中獲得獎(jiǎng)勵(lì)X元，求X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望；(2) 某顧客參與兩次摸球，求他能中獎(jiǎng)的概率.【解答】(1) 因?yàn)镻(X=10)=，P(X=5)=，P(X=2)=，P(X=0)=，所以X的概率分布列為：X10520P所以E(X)=10×+5×+2×+0×=3.1(元).(2) 記“該顧客一次摸球中獎(jiǎng)”為事件A，由(1)知，P(A)=，從而他兩次摸球中至少有一次中獎(jiǎng)的概率P=1-1-P(A)2=.答：他兩次摸球中至少有一次中獎(jiǎng)的概率為.離散型隨機(jī)變量及二項(xiàng)分布例2(2015·泰州二模)某班組織的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動中，通過抽獎(jiǎng)產(chǎn)生了5名幸運(yùn)之星.這5名幸運(yùn)之星可獲得A，B兩種獎(jiǎng)品中的一種，并規(guī)定：每個(gè)人通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己最終獲得哪一種獎(jiǎng)品(骰子的六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn))，拋擲點(diǎn)數(shù)小于3的獲得A獎(jiǎng)品，拋擲點(diǎn)數(shù)不小于3的獲得B獎(jiǎng)品.(1) 求這5名幸運(yùn)之星中獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得B獎(jiǎng)品的人數(shù)的概率；(2) 設(shè)X，Y分別為獲得A，B兩種獎(jiǎng)品的人數(shù)，并記=|X-Y|，求隨機(jī)變量的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.【分析】對于(1)，先考慮獲得A獎(jiǎng)品與獲得B獎(jiǎng)品的概率，再求得獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得B獎(jiǎng)品的人數(shù)的概率.(2)中找到的值，然后再求分布列.【解答】這5名幸運(yùn)之星中，每人獲得A獎(jiǎng)品的概率為=，獲得B獎(jiǎng)品的概率為=.(1) 要獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得B獎(jiǎng)品的人數(shù)，則獲得A獎(jiǎng)品的人數(shù)可能為3，4，5，則所求概率為P=+=.(2) 由題知的所有可能取值為1，3，5，且P(=1)=+·=，P(=3)=+·=，P(=5)=+=，所以的概率分布列為：135P故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()=1×+3×+5×=.【點(diǎn)評】在處理n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題時(shí)要從三個(gè)方面考慮：一是每次試驗(yàn)在相同條件下進(jìn)行；二是各次試驗(yàn)下的條件是相互獨(dú)立的；三是每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，n，其中p是一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率.變式(2015·蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào))已知某人投籃投中的概率為，該人進(jìn)行四次投籃實(shí)驗(yàn)，且每次投籃相互獨(dú)立，設(shè)表示四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)投中次數(shù)與沒有投中次數(shù)之差的絕對值.(1) 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()；(2) 設(shè)“函數(shù)f(x)=x2-x-1在區(qū)間(2，3)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P(A).【解答】(1) 由題意知的可能取值為0，2，4.因?yàn)椤?0”指的是實(shí)驗(yàn)成功2次、失敗2次，所以P(=0)=6××=.因?yàn)椤?2”指的是實(shí)驗(yàn)成功3次、失敗1次或?qū)嶒?yàn)成功1次、失敗3次，所以P(=2)=+=4××+4××=.因?yàn)椤?4”指的是實(shí)驗(yàn)成功4次、失敗0次或?qū)嶒?yàn)成功0次、失敗4次，所以P(=4)=+4=+=.則E()=0×+2×+4×=.答：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.(2) 由題意知f(2)f(3)=(3-2)(8-3)<0，故<<，所以P(A)=P=P(=2)=，故事件A發(fā)生的概率P(A)=.離散型隨機(jī)變量的均值與方差例3甲、乙兩名射手各射擊了10發(fā)子彈，其中甲擊中的環(huán)數(shù)與次數(shù)如下表：環(huán)數(shù)5678910次數(shù)111124乙射擊的概率分布列如下表：環(huán)數(shù)78910次數(shù)0.20.3P0.1(1) 若甲、乙各打一槍，求擊中8環(huán)的概率及P的值；(2) 分析甲、乙射擊環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差，比較甲、乙射擊水平的優(yōu)劣.【分析】利用古典概型求出概率，并利用數(shù)學(xué)期望和方差比較優(yōu)劣.【解答】(1) 甲射擊一槍，擊中8環(huán)的概率為0.1，乙射擊一槍，擊中8環(huán)的概率為0.3，所以P的值為1-0.2-0.3-0.1=0.4.(2) 甲射擊環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為：E(X)=5×0.1+6×0.1+7×0.1+8×0.1+9×0.2+10×0.4=8.4.乙射擊環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=7×0.2+8×0.3+9×0.4+10×0.1=8.4.由于E(X)=E(Y)，故還得考慮它們的方差.甲射擊環(huán)數(shù)的方差為：V(X)=(5-8.4)2×0.1+(6-8.4)2×0.1+(7-8.4)2×0.1+(8-8.4)2×0.1+(9-8.4)2×0.2+(10-8.4)2×0.4=3.04.乙射擊環(huán)數(shù)的方差為：V(X)=(7-8.4)2×0.2+(8-8.4)2×0.3+(9-8.4)2×0.4+(10-8.4)2×0.1=0.84.所以甲、乙兩人射擊的平均水平相當(dāng)，但乙比較穩(wěn)定，故乙射擊水平優(yōu)于甲.【點(diǎn)評】要能正確地運(yùn)用數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式，同時(shí)理解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差是對隨機(jī)變量的簡明描寫.變式如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示.(變式)(1) 若X=8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2) 若X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【解答】(1) 當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，所以平均數(shù)為=，方差為s2=×2+2+2+=.(2) 當(dāng)X=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21.事件“Y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此，P(Y=17)=.同理可得P(Y=18)=，P(Y=19)=，P(Y=20)=，P(Y=21)=.所以隨機(jī)變量Y的分布列為：Y1718192021PE(Y)=17×+18×+19×+20×+21×=19.1. 某處有供水龍頭5個(gè)，調(diào)查表明每個(gè)龍頭被打開的可能為0.1，隨機(jī)變量X表示同時(shí)被打開的水龍頭的個(gè)數(shù)，則P(X=3)=.【答案】0.008 1【解析】P(X=3)=×0.13×0.92=0.008 1.2. 盒子中有4個(gè)白球、5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則抽出1個(gè)白球和2個(gè)紅球的概率是.【答案】【解析】P=.3. (2014·蘇州模擬)已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=(i=1，2，3)，則P(X=2)=.【答案】【解析】由分布列的性質(zhì)知+=1，所以a=3，所以P(X=2)=.4. (2014·蘇錫常鎮(zhèn)連徐調(diào)研)甲、乙兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，已知他們每一次投籃投中的概率均為，且各次投籃的結(jié)果互不影響.甲同學(xué)決定投5次，乙同學(xué)決定投中1次就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃次數(shù)不超過5.(1) 求甲同學(xué)至少有4次投中的概率；(2) 求乙同學(xué)投籃次數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【解答】(1) 設(shè)甲同學(xué)在5次投籃中，“至少有4次投中”的概率為P，則P=P(x=4)+P(x=5)=·+0=.(2) 由題意知，=1，2，3，4，5.P(=1)=，P(=2)=×=，P(=3)=××=，P(=4)=×=，P(=5)=.所以的概率分布列為：12345P數(shù)學(xué)期望E()=1×+2×+3×+4×+5×=.5. (2014·南京學(xué)情調(diào)研)將編號為1，2，3，4的四個(gè)小球分別放入編號為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中有且僅有一個(gè)小球.若小球的編號與盒子的編號相同，得1分，否則得0分.記為四個(gè)小球得分總和.(1) 求=2時(shí)的概率；(2) 求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.【解答】(1) 當(dāng)=2時(shí)，則編號為1，2，3，4的四個(gè)小球中有且僅有兩個(gè)小球的編號與盒子的編號相同，故P(=2)=，即=2時(shí)的概率為.(2) 由題知的可能取值有0，1，2，4，則P(=1)=，P(=2)=，P(=4)=，P(=0)=1-=.故的概率分布列為：0124P所以E()=0×+1×+2×+4×=1.溫馨提示：趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)第45-46頁.【課后檢測】第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列1. 一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以X表示取出球的最大號碼，求X的概率分布列.2. 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和.假設(shè)兩人是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.(1) 求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率.(2) 假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則停止射擊.問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少?3. 甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束. 除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是. 假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1) 分別求甲隊(duì)以30，31，32獲勝的概率.(2) 若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分、對方得1分. 求甲隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.4. (2014·蘇州期末)設(shè)為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，=0；當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，的值為四點(diǎn)組成的四面體的體積.(1) 求概率P(=0)；(2) 求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E().5. 袋中共有8個(gè)球，其中有3個(gè)白球，5個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.從袋中隨機(jī)取出一球，若取出白球，則把它放回袋中；若取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補(bǔ)一個(gè)相同的白球放入袋中，重復(fù)上述過程n次后，袋中白球的個(gè)數(shù)記為Xn.(1) 求隨機(jī)變量X2的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X2)；(2) 求隨機(jī)變量Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)關(guān)于n的表達(dá)式.6. 為了配合市中學(xué)生運(yùn)動會的開幕，當(dāng)?shù)啬硨W(xué)校招募了8名男志愿者和12名女志愿者.將這20名志愿者的身高制成如下的莖葉圖(單位：cm)：(第6題)若身高在180cm以上(包括180cm)定義為“高個(gè)子”，身高在180cm以下(不包括180cm)定義為“非高個(gè)子”，且只有“女高個(gè)子”才能擔(dān)任“禮儀小姐”.(1) 如果用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少?(2) 若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望.7. (2015·揚(yáng)州期末)射擊測試有兩種方案.方案1：先在甲靶射擊一次，以后都在乙靶射擊；方案2：始終在乙靶射擊.某射手命中甲靶的概率為，命中一次得3分；命中乙靶的概率為，命中一次得2分，若沒有命中則得0分.用隨機(jī)變量表示該射手一次測試?yán)塾?jì)得分，如果的值不低于3分就認(rèn)為通過測試，立即停止射擊；否則繼續(xù)射擊，但一次測試最多打靶3次，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.(1) 如果該射手選擇方案1，求其測試結(jié)束后所得總分的分布列和數(shù)學(xué)期望E()；(2) 該射手選擇哪種方案通過測試的可能性大?請說明理由.8. (2015·蘇州期末)某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20%，可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為和(+=1).(1) 如果把10萬元投資甲項(xiàng)目，用X表示投資收益(收益=回收資金-投資資金)，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；(2) 若10萬元資金投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【課后檢測答案】第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列1. X的可能取值為3，4，5，6.P(X=3)=，P(X=4)=，P(X=5)=，P(X=6)=，所以X的概率分布列為：X3456P2. (1) 設(shè)“甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次”為事件B，則P(B)=×××××=.(2) 設(shè)“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C，由于乙恰好射擊5次后被中止射擊，故必然是最后兩次未擊中目標(biāo)，第三次擊中目標(biāo)，第一次及第二次至多有一次未擊中目標(biāo).故P(C)=××=.3. (1) 記甲隊(duì)以30，31，32獲勝分別為事件A，B，C.由題意得P(A)=，P(B)=××=，P(C)=×××=.(2) X的可能取值為0，1，2，3.P(X=3)=P(A)+P(B)=；P(X=2)=P(C)=，P(X=1)=××=，P(X=0)=1-P(1X3)=.所以X的分布列為：X0123P從而E(X)=0×+1×+2×+3×=. 答：甲隊(duì)以30，31，32獲勝的概率分別為；甲隊(duì)得分X的數(shù)學(xué)期望為.4. (1) 從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，共有=70種不同取法.其中共面的情況共有12種(6個(gè)側(cè)面，6個(gè)對角面).則P(=0)=.(2) 任取四個(gè)點(diǎn)，當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，四面體的體積只有以下兩種情況：四點(diǎn)在相對面且異面的對角線上，體積為1-4×=.這樣的取法共有2種.四點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)側(cè)面上，另一個(gè)點(diǎn)在相對側(cè)面上，體積為.這樣的取法共有70-12-2=56種.所以的分布列為：0P所以E()=×+×=.5. (1) 由題意可知X2=3，4，5.當(dāng)X2=3時(shí)，即兩次摸球均摸到白球，其概率是P(X2=3)=×=；當(dāng)X2=4時(shí)，即兩次摸球恰好摸到一個(gè)白球，一個(gè)黑球，其概率是P(X2=4)=+=；當(dāng)X2=5時(shí)，即兩次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2=5)=.所以隨機(jī)變量X2的概率分布列為：X2345P數(shù)學(xué)期望E(X2)=3×+4×+5×=.(2) 設(shè)P(Xn=3+k)=pk，k=0，1，2，3，4，5.則p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5.P(Xn+1=3)=p0，P(Xn+1=4)=p0+p1，P(Xn+1=5)=p1+p2，P(Xn+1=6)=p2+p3，P(Xn+1=7)=p3+p4，P(Xn+1=8)=p4+p5，所以E(Xn+1)=3×p0+4×+5×（p1+p2）+6×+7×（p3+p4）+8×（p4+p5）=p0+p1+p2+p3+p4+p5=(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+p0+p1+p2+p3+p4+p5=E(Xn)+1.由此可知E(Xn+1)-8=E(Xn)-8.又E(X1)-8=，所以E(Xn)=8-·.6. (1) 根據(jù)莖葉圖，有“高個(gè)子”8人，“非高個(gè)子”12人，用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率是=，所以抽取的5人中“高個(gè)子”有8×=2(人)，“非高個(gè)子”有12×=3(人).用事件A表示“至少有一名高個(gè)子被選中”，則它的對立事件表示“沒有一名”高個(gè)子被選中”，則P(A)=1-=1-=.因此，至少有一人是“高個(gè)子”的概率是.(2) 依題意知所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)X的取值分別為0，1，2，3.P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=.因此，X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.7. 在甲靶射擊命中記作A，不中記作；在乙靶射擊命中記作B，不中記作，其中P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P()=1-=.(1) 的所有可能取值為0，2，3，4，則P(=0)= =P()P()P()=××=，P(=2)=P(B)+P(B)=P()P(B)P()+P()P()P(B)=××+××=，P(=3)=P(A)=，P(=4)=P(BB)=P()P(B)P(B)=××=.所以的分布列為：0234P所以E()=0×+2×+3×+4×=3.(2) 設(shè)射手選擇方案1通過測試的概率為P1，選擇方案2通過測試的概率為P2，P1=P(3)=+=；P2=P(3)=P(BB)+P(BB)+P(BB)=××+××+×=.因?yàn)镻1>P2，所以選擇方案1通過測試的概率更大.8. (1) 10萬元資金投資甲項(xiàng)目，一年后可能獲利1萬元，可能損失1萬元，可能不賠不賺.所以X的所有可能取值分別為1，0，-1，所以X的分布列為X1-10P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×+(-1)×+0×=(萬元).(2) 把10萬元資金投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利2萬元，可能損失2萬元.設(shè)Y表示10萬元資金投資乙項(xiàng)目的收益，則Y的分布列為Y2-2P所以E(Y)=2-2=2-2(1-)=4-2(萬元).由題意得E(Y)E(X)，即4-2，解得.由概率的意義知01，所以的取值范圍是.