【名校資料】高考數學理一輪資源庫 第8章學案41

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1、+二一九高考數學學習資料+學案41空間的垂直關系導學目標： 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面、面面垂直的有關性質與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題自主梳理1直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條_直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也_這個平面(2)直線和平面垂直的性質直線垂直于平面，則垂直于平面內_直線垂直于同一個平面的兩條直線_垂直于同一直線的兩個平面_2直線與平面所成的角平面的一條斜線與它在這

2、個平面內的_所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角一條直線垂直于平面，說它們所成的角為_；直線l或l，說它們所成的角是_角3平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法定義法利用判定定理：如果一個平面經過另一個平面的_，那么這兩個平面互相垂直(2)平面與平面垂直的性質如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們_的直線垂直于另一個平面4二面角的平面角以二面角的棱上的任意一點為端點，在兩個面內分別作_棱的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角自我檢測1(2010浙江改編)設l，m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是_(填序號)若lm，m，則l；若l，lm，則m；若l，m，

3、則lm；若l，m，則lm.2對于不重合的兩個平面與，給定下列條件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直線l，直線m，使得lm；存在異面直線l、m，使得l，l，m，m.其中，可以判定與平行的條件有_個3(2009四川卷改編)如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結論正確的序號是_PBAD；平面PAB平面PBC；直線BC平面PAE；直線PD與平面ABC所成的角為45.4如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足_時，平面MBD平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)5

4、(2011大綱全國，16)已知點E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_探究點一線面垂直的判定與性質例1RtABC所在平面外一點S，且SASBSC，D為斜邊AC的中點(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC.求證：BD平面SAC.變式遷移1四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC底面ABCD.已知ABC45，SASB.證明：SABC.探究點二面面垂直的判定與性質例2如圖所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD內

5、的射影是O.求證：平面O1DC平面ABCD.變式遷移2(2011江蘇)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點求證：(1)直線EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.探究點三直線與平面、平面與平面所成的角例3(2009湖北)如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2a，ADa，點E是SD上的點，且DEa(02)(1)求證：對任意的(0,2，都有ACBE；(2)設二面角CAED的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若tan tan 1，求的值變式遷移3(2009北京)如圖，在三棱錐PABC中，PA底面AB

6、C，PAAB，ABC60，BCA90，點D、E分別在棱PB、PC上，且DEBC.(1)求證：BC 平面PAC.(2)當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成角的正弦值(3)是否存在點E使得二面角ADEP為直二面角？并說明理由轉化與化歸思想例(14分)已知四棱錐PABCD，底面ABCD是A60的菱形，又PD底面ABCD，點M、N分別是棱AD、PC的中點. (1)證明：DN平面PMB；(2)證明：平面PMB平面PAD.【答題模板】證明(1)取PB中點Q，連結MQ、NQ，因為M、N分別是棱AD、PC的中點，所以QNBCMD，且QNMD，故四邊形QNDM是平行四邊形，于是DNMQ.4分又MQ平面PM

7、B，DN平面PMBDN平面PMB.7分(2)PD平面ABCD，MB平面ABCD，PDMB.9分又因為底面ABCD是A60的菱形，且M為AD中點，所以MBAD.又ADPDD，所以MB平面PAD.12分又MB平面PMB，平面PMB平面PAD.14分【突破思維障礙】1立體幾何中平行與垂直的證明充分體現(xiàn)了轉化與化歸的思想，其轉化關系如圖2在解決線面、面面平行或垂直的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線”到“線面”，再到“面面”；而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”1證明線面垂直的方法：(1)定義：a與內任何直線都垂直

8、a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性質：，aa；(5)面面垂直的性質：，l，a，ala.2證明線線垂直的方法：(1)定義：兩條直線的夾角為90；(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質：a，bab；(4)線面垂直的性質：a，bab.3證明面面垂直的方法：(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a. (滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010揚州月考)已知直線a，b和平面，且a，b，那么是ab的_條件2已知兩個不同的平面、和兩條不重合的直線m、n，有下列四個命題：若mn，m，則n；若m，m

9、，則；若m，mn，n，則；若m，n，則mn.其中正確命題是_(填序號)3設直線m與平面相交但不垂直，給出以下說法：在平面內有且只有一條直線與直線m垂直；過直線m有且只有一個平面與平面垂直；與直線m垂直的直線不可能與平面平行；與直線m平行的平面不可能與平面垂直其中錯誤的是_4(2009江蘇)設和為不重合的兩個平面，給出下列命題：若內的兩條相交直線分別平行于內的兩條直線，則平行于；若外一條直線l與內的一條直線平行，則l和平行；設和相交于直線l，若內有一條直線垂直于l，則和垂直；直線l與垂直的充分必要條件是l與內的兩條直線垂直上面命題中，真命題的序號是_(寫出所有真命題的序號)5如圖，在長方體ABC

10、DA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為_6(2011福建)三棱錐PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐PABC的體積為_7如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長是1，過A點作平面A1BD的垂線，垂足為點H，有下列三個命題：點H是A1BD的中心；AH垂直于平面CB1D1；AC1與B1C所成的角是90.其中正確命題的序號是_8正四棱錐SABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點，動點P在表面上運動，并且總保持PEAC，則動點P的軌跡的周長為_二、解答題(共42分)9(12分)(2011安徽)如圖，A

11、BEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形(1)證明直線BCEF；(2)求棱錐FOBED的體積10(14分)(2009天津)如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E為PC的中點，ADCD1，DB2.(1)證明PA平面BDE；(2)證明AC平面PBD；(3)求直線BC與平面PBD所成的角的正切值11(16分) 如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)設M是PC上的一點，證明平面MBD平面PAD.(2)

12、求四棱錐PABCD的體積學案41空間的垂直關系答案自主梳理1(1)相交垂直(2)任意平行平行2射影直角03.(1)一條垂線(2)交線4.垂直于自我檢測12.23.4.DMPC(或BMPC等)5.解析方法一如圖，建立空間直角坐標系設面ABC的法向量為n1(0,0,1)，面AEF的法向量為n2(x，y，z)設正方體的棱長為1，A(1,0,0)，E(1,1，)，F(xiàn)(0,1，)，(0,1，)，(1,0，)，則取x1，則y1，z3.故n2(1，1,3)，cosn1，n2，面AEF與面ABC所成的二面角的平面角滿足cos ，sin ，tan .方法二如圖，設正方體的棱長為3，則由題意知CF2，BE1，分別

13、延長FE、CB交于點M，連結AM，作BNAM于點N，連結EN.EB平面ABM，AM平面ABM，EBAM.又BNAM，EBBNB，AM平面BEN，AMEN.BNE即為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角BECF，即，MB3，AM3.由AMBNBMAB得BN.又EB平面ABM，EBBN，tanBNE.課堂活動區(qū)例1解題導引線面垂直的判定方法是：證明直線垂直平面內的兩條相交直線即從“線線垂直”到“線面垂直”證明(1)取AB中點E，連結SE，DE，在RtABC中，D、E分別為AC、AB的中點，故DEBC，且DEAB，SASB，SAB為等腰三角形，SEAB.SEAB，DEAB，SEDEE，AB面SDE

14、.而SD面SDE，ABSD.在SAC中，SASC，D為AC的中點，SDAC.又ACABA，SD平面ABC.(2)若ABBC，則BDAC，由(1)可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD.又SDACD，BD平面SAC.變式遷移1證明作SOBC，垂足為O，連結AO，由側面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD.因為SASB，所以AOBO.又ABC45，故AOB為等腰直角三角形，且AOBO，又SOBC，SOAOO，BC面SAO.又SA面SAO，SABC.例2解題導引證明面面垂直，可先證線面垂直，即設法先找到其中一個平面的一條垂線，再證明這條垂線在另一個平面內或與另一個平面內的一條直線平行證明如圖

15、所示，連結AC，BD，A1C1，則O為AC，BD的交點，O1為A1C1，B1D1的交點由棱柱的性質知：A1O1OC，且A1O1OC，四邊形A1OCO1為平行四邊形，A1OO1C，又A1O平面ABCD，O1C平面ABCD，又O1C平面O1DC，平面O1DC平面ABCD.變式遷移2證明(1)如圖，在PAD中，因為E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，所以EFPD.又因為EF平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF平面PCD.(2)連結BD.因為ABAD，BAD60，所以ABD為正三角形因為F是AD的中點，所以BFAD.因為平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面P

16、AD.又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.例3解題導引高考中對直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點之一有時在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查根據線面角的定義或二面角的平面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找)認(指)求(1)證明如圖所示，連結BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD.SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE.(2)解如圖所示，由SD平面ABCD，CD平面ABCD，SDCD.又底面ABCD是正方形，CDAD.又SDADD，CD平面SAD.過點D在平面SAD內作DFAE于F，連結CF，則CFAE，故CFD是二面角CAED的

17、平面角，即CFD.在RtBDE中，BD2a，DEa，tan .在RtADE中，ADaCD，DEa，AEa，從而DF.在RtCDF中，tan ，由tan tan 1，得1222.由(0,2，解得.變式遷移3(1)證明PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC.又ACPAA，BC平面PAC.(2)解D為PB的中點，DEBC，DEBC.又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點E.DAE是AD與平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB.又PAAB，ABP為等腰直角三角形ADAB.在RtABC中，ABC60，BCAB.在RtADE中，sinDAE.AD與平面PAC所成角的正弦值為.

18、(3)解DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP為二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一點E，使得AEPC.這時，AEP90，故存在點E使得二面角ADEP是直二面角課后練習區(qū)1充要2.3.4.5.6.解析PA底面ABC，PA為三棱錐PABC的高，且PA3.底面ABC為正三角形且邊長為2，底面面積為22sin 60，VPABC3.78.9.(1)證明方法一(綜合法)如圖所示，設G是線段DA延長線與線段EB延長線的交點由于OAB與ODE都是正三角形，且OD2，所以OB綊DE，(3分)O

19、GOD2.(5分)同理，設G是線段DA延長線與線段FC延長線的交點，有OC綊DF，OGOD2.又由于G和G都在線段DA的延長線上，所以G與G重合(10分)在GED和GFD中，由OB綊DE和OC綊DF，可知B、C分別是GE和GF的中點，所以BC是GEF的中位線，故BCEF.(12分)方法二(向量法)過點F作FQAD，交AD于點Q，連結QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，從而FQQE，F(xiàn)QDQ.以Q為坐標原點，為x軸正方向，為y軸正方向，為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系(4分)由條件知E(，0,0)，F(xiàn)(0,0，)，B(，0)，C(0，)，則(，0，)，(，0，)所以2

20、，即BCEF.(7分)(2)由OB1，OE2，EOB60，知SOBE，而OED是邊長為2的正三角形，故SOED.所以S四邊形OBEDSOBESOED.(10分)過點F作FQAD，交AD于點Q，由平面ABED平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高，且FQ，所以VFOBEDFQS四邊形OBED.(12分)10(1)證明設ACBDH，連結EH.在ADC中，因為ADCD，且DB平分ADC，所以H為AC的中點，又由題設，知E為PC的中點，故EHPA.又EH平面BDE，且PA平面BDE，所以PA平面BDE.(4分)(2)證明因為PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC.由(1)可得，DBAC

21、.又PDDBD，故AC平面PBD.(8分)(3)解由AC平面PBD可知，BH為BC在平面PBD內的射影，所以CBH為直線BC與平面PBD所成的角由ADCD，ADCD1，DB2，可得DHCH，BH.在RtBHC中，tanCBH.所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為.(14分)11(1)證明在ABD中，由于AD4，BD8，AB4，所以AD2BD2AB2.故ADBD.(2分)又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD.又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD.(6分)(2)解過點P作POAD交AD于點O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.(8分)因此PO為四棱錐PABCD的高又PAD是邊長為4的等邊三角形，因此PO42.(10分)在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四邊形ABCD是梯形，在RtADB中，斜邊AB上的高為，此即為梯形ABCD的高，所以四邊形ABCD的面積為S24.故VPABCD24216.(16分)高考數學復習精品高考數學復習精品