《2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題27 快速解決直線與圓錐曲線綜合問題的解題技巧》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題27 快速解決直線與圓錐曲線綜合問題的解題技巧（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題27 快速解決直線與圓錐曲線綜合問題的解題技巧一命題陷阱1.不用韋達定理與用韋達定理的選擇陷阱2.范圍不完備陷阱3.圓錐曲線中三角形面積公式選取陷阱4不用定義直接化簡的陷阱（圓錐曲線定義的靈活運用）5.圓錐曲線中的求定點、定直線只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱6.圓錐曲線中的求定值只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱二、知識回顧1.橢圓的標準方程(1) ，焦點，其中(2) ，焦點，其中2.雙曲線的標準方程(1) ，焦點，其中(2) ，焦點，其中3拋物線的標準方程(1) 對應(yīng)的焦點分別為：.三典例分析1.不用韋達定理與用韋達定理的選擇陷阱例1. 設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線
2、的焦點，到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.【答案】 （1）， .（2），或.（）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點異于點，可得點.由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因為的面積為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.【陷阱防范】：分析題目條件與所求關(guān)系，恰當(dāng)選取是否使用韋達定理練習(xí)1. 已知橢圓，且橢圓上任意一點到左焦點的最大距離為，最小距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的動直線交橢圓于兩點
3、，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得以線段為直徑的圓恒過點?若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由.【答案】(1) 橢圓方程為;(2) 以線段為直徑的圓恒過點.下面證明為所求：若直線的斜率不存在，上述己經(jīng)證明. 若直線的斜率存在，設(shè)直線， ，由得， .，即以線段為直徑的圓恒過點.練習(xí)2.設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.【答案】 （1）， .（2），或.【解析】（）設(shè)的坐標為.依題意，解得，于是.所以
4、，橢圓的方程為，拋物線的方程為.練習(xí)3. 已知橢圓： ，曲線上的動點滿足：.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)為坐標原點，第一象限的點分別在和上， ，求線段的長.【答案】(1) ;(2) .【解析】（1）由已知，動點到點， 的距離之和為，且，所以動點的軌跡為橢圓，而， ，所以，故橢圓的方程為. （2）兩點的坐標分別為，由及（1）知， 三點共線且點不在軸上，因此可設(shè)直線的方程為.將代入中，得，所以，將代入中，得，所以，又由，得，即，解得，故2.范圍不完備陷阱例2. 已知橢圓： 的離心率為，以橢圓長、短軸四個端點為頂點為四邊形的面積為.（）求橢圓的方程；（）如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為、，當(dāng)動點在
5、定直線上運動時，直線分別交橢圓于兩點、，求四邊形面積的最大值.【答案】（）；（） .【解析】（）由題設(shè)知， ，又，解得，故橢圓的方程為.故四邊形的面積為 .由于，且在上單調(diào)遞增，故，從而，有.當(dāng)且僅當(dāng)，即，也就是點的坐標為時，四邊形的面積取最大值6.【陷阱防范】：涉及含參數(shù)問題，求最值或范圍時要注意運用均值不等式還是運用函數(shù)的單調(diào)性.練習(xí)1.設(shè)點，動圓經(jīng)過點且和直線相切，記動圓的圓心的軌跡為曲線. （1）求曲線的方程；（2）設(shè)曲線上一點的橫坐標為，過的直線交于一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點，若是的切線，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】(1)過點作直線垂直于直線于點，由題意得，所
6、以動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線.所以拋物線得方程為.，解得，或.而拋物線在點的切線斜率， ， 是拋物線的切線， ，整理得，解得（舍去），或.練習(xí)2. 已知雙曲線的離心率為，點(，0)是雙曲線的一個頂點。(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過雙曲線右焦點作傾斜角為的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點，求的長?！敬鸢浮浚?）（2）【解析】（1）因為雙曲線的離心率為，點(，0)是雙曲線的一個頂點，所以，即（2）經(jīng)過雙曲線右焦點作傾斜角為的直線 與雙曲線聯(lián)立方程組消y得 ，由弦長公式解得 練習(xí)3. 已知橢圓的方程為，雙曲線的一條漸近線與軸所成的夾角為，且雙曲線的焦距為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)
7、分別為橢圓的左，右焦點，過作直線 (與軸不重合)交橢圓于， 兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)一條漸近線與軸所成的夾角為知，即，又，所以，解得， ，所以橢圓的方程為.(2)由(1)知，設(shè)， ，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得，由得，又，所以直線的斜率.當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，即.綜合可知，直線的斜率的取值范圍是.練習(xí)4.如圖，在平面直角坐標系中，已知直線，拋物線（1）若直線過拋物線的焦點，求拋物線的方程；（2）已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點和.求證：線段的中點坐標為；求的取值范圍.【答案】（1）（2）詳見解析，由消去得因為P 和Q是拋物線C上的相
8、異兩點，所以從而，化簡得.方程（*）的兩根為，從而因為在直線上，所以因此，線段PQ的中點坐標為因為在直線上所以，即由知，于是，所以因此的取值范圍為【方法總結(jié)】在利用代數(shù)法解決范圍問題時常從以下五個方面考慮：(1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系；(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍3.圓錐曲線中三角形面積公式選取陷阱例3. 已知圓，圓心為，定點， 為圓上一點，線段上一點滿足，直
9、線上一點，滿足（）求點的軌跡的方程；（）為坐標原點， 是以為直徑的圓，直線與相切，并與軌跡交于不同的兩點當(dāng)且滿足時，求面積的取值范圍【答案】（）；（） .設(shè)橢圓的標準方程為， 則， ，.點的軌跡的方程為。（）圓與直線相切，即，由，消去.直線與橢圓交于兩個不同點，將代入上式，可得，設(shè)， ，則， ， ，解得.滿足。又，設(shè)，則. ，故面積的取值范圍為?！鞠葳宸婪丁浚荷婕暗饺切蚊娣e時用弦長公式還是用把三角形分成兩個或幾個三角形求面積練習(xí)1. 設(shè)， 是橢圓上的兩點，橢圓的離心率為，短軸長為2，已知向量， ，且， 為坐標原點.（1）若直線過橢圓的焦點，（ 為半焦距），求直線的斜率的值；（2）試問： 的面
10、積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）見解析.（2）直線斜率不存在時，即， ，即 又點在橢圓上 ，即 ， ，故的面積為定值1當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立得： ， ， 所以三角形的面積為定值1.練習(xí)2.設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.【答案】 （1）， .（2），或.【解析】（）設(shè)的坐標為.依題意，解得，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（）解：設(shè)直線的方程
11、為，與直線的方程聯(lián)立，可得點，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點異于點，可得點.由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因為的面積為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.4不用定義直接化簡的陷阱（圓錐曲線定義的靈活運用）例4. 已知橢圓與拋物線共焦點，拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于，且橢圓與拋物線的交點Q滿足（I）求拋物線的方程和橢圓的方程；（II）過拋物線上的點作拋物線的切線交橢圓于、 兩點，設(shè)線段AB的中點為，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）拋物線上的點到軸的距離等于，點M到直線的距離等于點到焦點的距離，得是拋物線的準線，即，解得，拋物線的方程為；可
12、知橢圓的右焦點，左焦點，由得，又，解得，由橢圓的定義得，又，得，橢圓的方程為【陷阱防范】：涉及圓錐曲線方程時要考慮定義的幾何意義，往往可以簡化解題步驟.練習(xí)1. 已知雙曲線的漸近線方程為: ，右頂點為.（）求雙曲線的方程；（）已知直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點為，當(dāng)時，求的值?！敬鸢浮浚?） （2）【解析】（1）因為雙曲線的漸近線方程為: ，所以 ，又右頂點為，所以，即 （2）直線與雙曲線聯(lián)立方程組消y得 的值為練習(xí)2. 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，其焦距為，點在橢圓的外部，點是橢圓上的動點，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】點在橢圓的外
13、部,則，解得，即。由橢圓的定義得 ，,恒成立，解得，即.所以橢圓離心率的取值范圍是.選D.5.圓錐曲線中的求定點定直線（只考慮一般情況不考慮特殊位置）陷阱例5. 已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且.（1）求該拋物線的方程；（2）已知拋物線上一點，過點作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點？并說明理由.【答案】（1）；（2）定點【解析】（1）拋物線的焦點 ，直線的方程為: .聯(lián)立方程組，消元得: ，. 解得.拋物線的方程為： .（2）由（1）可得點，可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為： ，聯(lián)立，得，則.設(shè)，則. 即，得： ，即或，代人式檢驗均滿足，直線的方程為： 或.直線過
14、定點（定點不滿足題意，故舍去）.【陷阱防范】：1.定點與定值問題的解決，一般通過取極端位置(即特定位置)探索出定點或定值，然后再進行一般性證明.2.解決定值定點方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算.練習(xí)1已知拋物線，直線交于兩點， 是的中點，過作軸的垂線交于點.（1）證明：拋物線在點處的切線與平行；（2）是否存在實數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過點？若存在，求出的值；若不存在，
15、請說明理由.【答案】(1)見解析;(2) 存在實數(shù)使以為直徑的圓經(jīng)過點.【解析】（1）證明：設(shè)， ，把代入得.所以， ，所以.因為，所以拋物線在點處的切線斜率為，故該切線與平行.（2）假設(shè)存在實數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過點，則.由（1）知 ，又因為垂直于軸，所以，而 .所以，解得.所以，存在實數(shù)使以為直徑的圓經(jīng)過點.練習(xí)2. 已知命題：方程表示焦點在軸上的橢圓；命題：雙曲線的離心率，若是真命題，求實數(shù)的取值范圍【答案】或為真，則6.圓錐曲線中的求定值只考慮一般情況不考慮特殊位置陷阱例6. 在平面直角坐標系中，點，直線與動直線的交點為，線段的中垂線與動直線的交點為（1）求動點的軌跡的方程；（2）過動
16、點作曲線的兩條切線，切點分別為， ，求證： 的大小為定值【答案】（1）曲線的方程為（2）詳見解析（2）由題意，過點的切線斜率存在，設(shè)切線方程為，聯(lián)立 得，所以，即（*），因為，所以方程（*）存在兩個不等實根，設(shè)為，因為，所以，為定值【陷阱防范】：1.定值問題的解決，一般通過取極端位置(即特定位置)探索出定值，然后再進行一般性證明.2.解決定值方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明定值與變量無關(guān)；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定值.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算.練習(xí)1. 點是雙曲線上的
17、點， 是其焦點，雙曲線的離心率是，且,若的面積是9，則的值等于( )A. 4 B. 7 C. 6 D. 5【答案】B【解析】雙曲線的離心率是 ， 的面積 在 中，由勾股定理可得 故選 C練習(xí)2. 如圖，拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且.（）求雙曲線的方程；（）以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切，圓.已知點，過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為.試探索是否為定值？請說明理由.【答案】（）；（）為定值.【解析】（）拋物線的焦點為，雙曲線的焦點為.設(shè)在拋物線上，且.由拋物線的定義得，.，.又點在雙曲線上，由雙曲線定義得，.雙曲線的方程
18、為：.（）為定值.下面給出說明：設(shè)圓的方程為：，雙曲線的漸近線方程為：.圓與漸近線相切，圓的半徑為.故圓.依題意的斜率存在且均不為零，所以設(shè)的方程為，即，設(shè)的方程為，即，點到直線的距離為，點到直線的距離為，直線被圓截得的弦長，直線被圓截得的弦長，故為定值.四真題再現(xiàn)1.平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.()求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓 于兩點，射線 交橢圓于點.( i )求的值；（ii）求面積的最大值.【答案】（I）；（II）( i )2；（ii） .（II）由（I）知橢圓
19、E的方程為,（i）設(shè)， ，由題意知 因為,又 ，即 ,所以 ，即 .（ii）設(shè) 將代入橢圓E的方程，可得由 ，可得 則有 所以 因為直線與軸交點的坐標為 所以的面積 令 ,將 代入橢圓C的方程可得 由 ，可得 由可知 因此 ,故 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時取得最大值 由（i）知， 面積為 ,所以面積的最大值為 .2.已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為（I）求橢圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的方程【答案】（I）；（II）【解析】（I）過點，的直線方程為，則原點到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1)依題意
20、，圓心是線段的中點，且.易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得故橢圓的方程為.解法二：由（I）知，橢圓的方程為. (2)依題意，點，關(guān)于圓心對稱，且.設(shè)則，兩式相減并結(jié)合得.易知，不與軸垂直，則，所以的斜率因此直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.3.如圖，設(shè)橢圓（a1）.（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；（II）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）；（II）【解析】（I）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得，故，因此（II）假設(shè)圓與橢圓的公共點有個，由對稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有
21、兩個不同的點，滿足記直線，的斜率分別為，且，由（I）知，故，所以由于，得，因此， 因為式關(guān)于，的方程有解的充要條件是，所以因此，任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點的充要條件為，由得，所求離心率的取值范圍為5. 已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為 ()證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由【答案】()詳見解析；（）能，或【解析】()設(shè)直線，將代入得，故，于是直線的斜率，即所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值（）四邊形能為平行四邊形因為直線過點，所以不過原點且與有兩個交點的充
22、要條件是，由()得的方程為設(shè)點的橫坐標為由得，即將點的坐標代入直線的方程得，因此四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即于是解得，因為，所以當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r，四邊形為平行四邊形6.已知橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于兩點，點在上，（）當(dāng)時，求的面積；（）當(dāng)時，求的取值范圍【答案】（）；（）.【解析】（I）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時，的方程為，.由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.將代入得.解得或，所以.因此的面積.（II）由題意，.將直線的方程代入得.由得，故.由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得，即.7.如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線
23、與橢圓相交于A，B兩點，當(dāng)直線平行與軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.(1)求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q點的坐標為.（2）當(dāng)直線與軸平行時，設(shè)直線與橢圓相交于C、D兩點.如果存在定點Q滿足條件，則，即.所以Q點在y軸上，可設(shè)Q點的坐標為.當(dāng)直線與軸垂直時，設(shè)直線與橢圓相交于M、N兩點.則，由，有，解得或.所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標只可能為.下面證明：對任意的直線，均有.當(dāng)直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標分別為.聯(lián)立得.其判別式，所以，.因此.易知，點B關(guān)于y軸對稱的點的坐標為.又，所以，即三點共線.所以.故存在與P不同的定點，使得恒成立.33
2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題27 快速解決直線與圓錐曲線綜合問題的解題技巧
