2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸專題 四邊形（含解析）

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1、四邊形1【習(xí)題再現(xiàn)】課本中有這樣一道題目：如圖1，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，M分別是AB，CD，BD的中點，ADBC求證：EFMFEM（不用證明）【習(xí)題變式】（1）如圖2，在“習(xí)題再現(xiàn)”的條件下，延長AD，BC，EF，AD與EF交于點N，BC與EF交于點P求證：ANEBPE（2）如圖3，在ABC中，ACAB，點D在AC上，ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，連接EF并延長，交BA的延長線于點G，連接GD，EFC60求證：AGD90【習(xí)題變式】解：（1）F，M分別是CD，BD的中點，MFBP，MFEBPEE，M分別是AB，BD的中點，MEAN，MEFANEADBC，MEMF，EFMFEM，

2、ANEBPE（2）連接BD，取BD的中點H，連接EH，F(xiàn)HH，F(xiàn)分別是BD和AD的中點，HFBG，HFEFGAH，E分別是BD，BC的中點，HEAC，HEFEFC60ABCD，HEHF，HFEEFC60，AGF60，AFGEFC60，AFG為等邊三角形AFGF，AFFD，GFFD，F(xiàn)GDFDG30，AGD60+30902（1）問題：如圖1，在RtABC中，BAC90，ABAC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），連接AD，過點A作AEAD，并滿足AEAD，連接CE則線段BD和線段CE的數(shù)量關(guān)系是BDCE，位置關(guān)系是BDCE（2）探索：如圖2，當(dāng)D點為BC邊上一點（不與點B，C重合），RtAB

3、C與RtADE均為等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE試探索線段BD2、CD2、DE2之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，ABCACBADC45，若BD3，CD1，請直接寫出線段AD的長解：（1）問題：在RtABC中，ABAC，BACB45，BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），故答案為：BDCE，BDCE；（2）探索：結(jié)論：DE2BD2+CD2，理由是：如圖2中，連接ECBACDAE90，BADCAE，在ABD和ACE中，BADCAE（SAS），BDCE，BACE45，B

4、CEACB+ACE45+4590，DE2CE2+CD2，DE2BD2+CD2；（3）拓展：如圖3，將AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至AG，連接CG、DG，則DAG是等腰直角三角形，ADG45，ADC45，GDC90，同理得：BADCAG，CGBD3，RtCGD中，CD1，DG2，DAG是等腰直角三角形，ADAG23如圖1，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接BE、DG（1）BE和DG的數(shù)量關(guān)系是BEDG，BE和DG的位置關(guān)系是BEDG；（2）把正方形ECGF繞點C旋轉(zhuǎn)，如圖2，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，寫出證明過程，若不成立，請說明理由；（3）設(shè)正方形ABCD的邊長為4，正

5、方形ECGF的邊長為3，正方形ECGF繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，若A、C、E三點共線，直接寫出DG的長解：（1）BEDGBEDG；理由如下：四邊形ABCD和四邊形CEFG為正方形，CDBC，CECG，BCEDCG90，在BEC和DGC中，BECDGC（SAS），BEDG；如圖1，延長GD交BE于點H，BECDGC，DGCBEC，DGC+EBCBEC+EBC90，BHG90，即BEDG；故答案為：BEDG，BEDG（2）成立，理由如下：如圖2所示：同（1）得：DCGBCE（SAS），BEDG，CDGCBE，DMEBMC，CBE+BMC90，CDG+DME90，DOB90，BEDG；（3）由（2）得：DG

6、EB，分兩種情況：如圖3所示：正方形ABCD的邊長為4，正方形ECGF的邊長為3，ACBD，BDACAB4，OAOCOBAC2，CE3，AEACCE，OEOAAE，在RtBOE中，由勾股定理得：DGBE；如圖4所示：OECE+OC2+35，在RtBOE中，由勾股定理得：DGBE；綜上所述，若A、C、E三點共線，DG的長為或4如圖，在ABC中，B90，AB6cm，BC8cm，動點D從點C出發(fā)，沿CA方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；同時，動點E從點A出發(fā)，沿AB方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；當(dāng)一個點停止運(yùn)動，另一個點也停止運(yùn)動設(shè)點D，E運(yùn)動的時間是t（s）（0t5）過點D作DFBC于點F，連接D

7、E，EF（1）t為何值時，DEAC？（2）設(shè)四邊形AEFC的面積為S，試求出S與t之間的關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻t，使得S四邊形AEFC：SABC17：24，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（4）當(dāng)t為何值時，ADE45？解：（1）B90o，AB6 cm，BC8 cm，AC10（cm），若DEAC，EDA90，EDAB，AA，ADEABC，即：，t，當(dāng)ts時，DEAC；（2）DFBC，DFC90，DFCB，CC，CDFCAB，即，CF，BF8，BEABAE6t，SSABCSBEFABBCBFBE68（8t）（6t）t2+t；（3）若存在某一時刻t，使得S四邊形AEFC：SABC

8、17：24，根據(jù)題意得：t2+t68，解得：t1，t2（不合題意舍去），當(dāng)ts時，S四邊形AEFC：SABC17：24；（4）過點E作EMAC與點M，如圖所示：則EMAB90，AA，AEMACB，即，EMt，AMt，DM102tt10t，在RtDEM中，當(dāng)DMME時，ADE45，10tt，t當(dāng)ts時，ADE455我們定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且項角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”因為頂點相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”例如，如圖（1），ABC與ADE都是等腰三角形，其中BACDAE，則ABDACE（SAS）（1）熟悉模型：如圖（2），已知A

9、BC與ADE都是等腰三角形，ABAC，ADAE，且BACDAE，求證：BDCE；（2）運(yùn)用模型：如圖（3），P為等邊ABC內(nèi)一點，且PA：PB：PC3：4：5，求APB的度數(shù)小明在解決此問題時，根據(jù)前面的“手拉手全等模型”，以BP為邊構(gòu)造等邊BPM，這樣就有兩個等邊三角形共頂點B，然后連結(jié)CM，通過轉(zhuǎn)化的思想求出了APB的度數(shù)，則APB的度數(shù)為150度；（3）深化模型：如圖（4），在四邊形ABCD中，AD4，CD3，ABCACBADC45，求BD的長（1）證明：BACDAE，BAC+CADDAE+CAD，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE；（2）解：以BP為邊

10、構(gòu)造等邊BPM，連接CM，如圖（3）所示：ABC與BPM都是等邊三角形，ABBC，BPBMPM，ABCPBMBMP60，ABCPBCPBMPBC，即ABPCBM，在ABP和CBM中，ABPCBM（SAS），APCM，APBCMB，PA：PB：PC3：4：5，CM：PM：PC3：4：5，PC2CM2+PM2，CMP是直角三角形，PMC90，CMBBMP+PMC60+90150，APB150，故答案為：150；（3）解：過點A作EAAD，且AEAD，連接CE，DE，如圖（4）所示：則ADE是等腰直角三角形，EAD90，DEAD4，EDA45，ADC45，EDC45+4590，在RtDCE中，CE，

11、ACBABC45，BAC90，ABAC，BAC+CADEAD+CAD，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE6（1）某學(xué)?！皩W(xué)習(xí)落實”數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個題目如圖，在ABC中，點O在線段BC上，BAO30，OAC75，AO，BO：CO2：1，求AB的長經(jīng)過數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B作BDAC，交AO的延長線于點D，通過構(gòu)造ABD就可以解決問題（如圖2）請回答：ADB75，AB3（2）請參考以上解決思路，解決問題：如圖3在四邊形ABCD中對角線AC與BD相交于點0，ACAD，AO，ABCACB75，BO：OD2：1，求DC的長解：（1）如圖2中，過點B作BDA

12、C，交AO的延長線于點D，BDAC，ADBOAC75BODCOA，BODCOA，2，又AO，OD2AO2，ADAO+OD3BAD30，ADB75，ABD180BADADB75ADB，ABAD3；故答案為75，3（2）如圖3中，過點B作BEAD交AC于點EACAD，BEAD，DACBEA90AODEOB，AODEOB，2BO：OD1：3，AO，EO2，AE3ABCACB75，BAC30，ABAC，AB2BE在RtAEB中，BE2+AE2AB2，即（4BE2）2+BE2（2BE）2，解得：BE3，ABAC6，AD在RtCAD中，AC2+AD2CD2，即62+（）2CD2，解得：CD（負(fù)根已經(jīng)舍棄）

13、7正方形ABCD中，AB4，點E、F分別在AB、BC邊上（不與點A、B重合）（1）如圖1，連接CE，作DMCE，交CB于點M若BE3，則DM5；（2）如圖2，連接EF，將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E落在正方形上時，記為點G；再將線段FG繞點G順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點F落在正方形上時，記為點H；依此操作下去，如圖3，線段EF經(jīng)過兩次操作后拼得EFD，其形狀為等邊三角形，在此條件下，求證：AECF；若線段EF經(jīng)過三次操作恰好拼成四邊形EFGH，（3）請判斷四邊形EFGH的形狀為正方形，此時AE與BF的數(shù)量關(guān)系是AEBF；（4）以1中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)

14、關(guān)系式及面積y的取值范圍解：（1）如圖1中，四邊形ABCD是正方形，BDCM90，BE3，BC4，CE5，DMEC，DMC+MCE90，MCE+CEB90，DMCCEB，BCCD，BCECDM（AAS），DMEC5故答案為5（2）如題圖3，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知EFDFDE，則DEF為等邊三角形故答案為等邊三角形（2）四邊形EFGH的形狀為正方形，此時AEBF理由如下：依題意畫出圖形，如答圖1所示：連接EG、FH，作HNBC于N，GMAB于M由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，EFFGGHHE，四邊形EFGH是菱形，由EGMFHN，可知EGFH，四邊形EFGH的形狀為正方形HEF901+290，2+390，133+490

15、，2+390，24在AEH與BFE中，AEHBFE（ASA）AEBF故答案為正方形，AEBF（4）利用中結(jié)論，易證AEH、BFE、CGF、DHG均為全等三角形，BFCGDHAEx，AHBECFDG4xyS正方形ABCD4SAEH444x（4x）2x28x+16y2x28x+16（0x4）y2x28x+162（x2）2+8，當(dāng)x2時，y取得最小值8；當(dāng)x0時，y16，y的取值范圍為：8y168已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形OABC的頂點B的坐標(biāo)是（6，4）（1）直接寫出A點坐標(biāo)（6，0），C點坐標(biāo)（0，4）；（2）如圖2，D為OC中點連接BD，AD，如果在第二象限內(nèi)有一點P（m，1），

16、且四邊形OADP的面積是ABC面積的2倍，求滿足條件的點P的坐標(biāo)；（3）如圖3，動點M從點C出發(fā)，以每鈔1個單位的速度沿線段CB運(yùn)動，同時動點N從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿線段AO運(yùn)動，當(dāng)N到達(dá)O點時，M，N同時停止運(yùn)動，運(yùn)動時間是t秒（t0），在M，N運(yùn)動過程中當(dāng)MN5時，直接寫出時間t的值解：（1）四邊形OABC是長方形，ABOC，BCOA，B（6，4），A（6，0），C（0，4），故答案為：6，0，0，4；（2）如圖2，由（1）知，A（6，0），C（0，4），OA6，OC4，四邊形OABC是長方形，S長方形OABCOAOC6424，連接AC，AC是長方形OABC的對角線，SOACSA

17、BCS長方形OABC12，點D是OC的中點，SOADSOAC6，四邊形OADP的面積是ABC面積的2倍，S四邊形OADP2SABC24，S四邊形OADPSOAD+SODP6+SODP24，SODP18，點D是OC的中點，且OC4，ODOC2，P（m，1），SODPOD|m|2|m|18，m18（由于點P在第二象限，所以，m小于0，舍去）或m18，P（18，1）；（3）如圖3，由（2）知，OA6，OC4，四邊形OABC是長方形，AOCOCB90，BC6，由運(yùn)動知，CMt，AN2t，ONOAAN62t，過點M作MHOA于H，OHM90AOCOCB，四邊形OCMH是長方形，MHOC4，OHCMt，H

18、N|ONCM|62tt|63t|，在RtMHN中，MN5，根據(jù)勾股定理得，HN2MN2MH2，|63t|252429，t1或t3，即：t的值為1或39綜合與實踐問題情境數(shù)學(xué)課上，李老師提出了這樣一個問題：如圖1，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA1，PB2，PC3你能求出APB的度數(shù)嗎？（1）小敏與同桌小聰通過觀察、思考、討論后，得出了如下思路：思路一：將BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到BPA，連接PP，求出APB的度數(shù)；思路二：將APB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90，得到CPB，連接PP，求出APB的度數(shù)請參考以上思路，任選一種寫出完整的解答過程類比探究（2）如圖2，若點P是正方形ABCD外一點，PA3

19、，PB1，求APB的度數(shù)拓展應(yīng)用（3）如圖3，在邊長為的等邊三角形ABC內(nèi)有一點O，AOC90，BOC120，則AOC的面積是解：（1）思路一，如圖1，將BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到BPA，連接PP，則ABPCBP，APCP3，BPBP2，PBP90BPP45，根據(jù)勾股定理得，AP1，AP2+PP21+89，又PA2329，AP2+PP2PA2，APP是直角三角形，且APP90，APBAPP+BPP90+45135思路二、同思路一的方法（2）如圖2，將BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到BPA，連接PP則ABPCBP，BPBP1，PBP90BPP45，根據(jù)勾股定理得，AP3，AP2+PP29+

20、211，又，AP2+PP2PA2，APP是直角三角形，且APP90，APBAPPBPP904545（3）如圖，將ABO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60，得到BCE，連接OE則BAOBCE，AOBBEC36090120150，BOE是等邊三角形，BEOBOE60，OEC90，OEC1206060，sin60，設(shè)ECk，OC2k，則OAECk，AOC90，OA2+OC2AC2，3k2+4k27，k1或1（舍棄），OA，OC2，SAOCOAOC2故答案為10如圖1，在矩形ABCD中，點P是BC邊上一點，連接AP交對角線BD于點E，BPBE作線段AP的中垂線MN分別交線段DC，DB，AP，AB于點M，G，F(xiàn)，N（

21、1）求證：BAPBGN；（2）若AB6，BC8，求；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接CF，求tanCFM的值（1）證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，ABC90，BAPAPB90BPBE，APBBEPGEF，MN垂直平分線段AP，GFE90，BGN+GEF90，BAPBGN（2）解：四邊形ABCD是矩形，BADABP90，ADBC，ADBC8，BD10，ADBC，DAEAPB，APBBEPDEA，DAEDEA，DADE8，BEBPBDDE1082，PA2，MN垂直平分線段AP，AFPF，PBAD，PEPA，EFPFPE，（3）解：如圖3中，連接AM，MP設(shè)CMx四邊形ABCD是矩形，AD

22、MMCP90，ABCD6，ADBC8，MN垂直平分線段AP，MAMP，AD2+DM2PC2+CM2，82+（6x）262+x2，x，PFMPCM90，P，F(xiàn)，M，C四點共圓，CFMCPM，tanCFMtanCFM11在利用構(gòu)造全等三角形來解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在ABC中，AB8，AC6，點D是BC邊上的中點，怎樣求AD的取值范圍呢？我們可以延長AD到點E，使ADDE，然后連接BE（如圖），這樣，在ADC和EDB中，由于，ADCEDB，ACEB，接下來，在ABE中通過AE的長可求出AD的取值范圍請你回答：（1）在圖中，中線AD的取值范圍是1AD7（2）應(yīng)用上述方法，

23、解決下面問題如圖，在ABC中，點D是BC邊上的中點，點E是AB邊上的一點，作DFDE交AC邊于點F，連接EF，若BE4，CF2，請直接寫出EF的取值范圍如圖，在四邊形ABCD中，BCD150，ADC30，點E是AB中點，點F在DC上，且滿足BCCF，DFAD，連接CE、ED，請判斷CE與ED的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：（1）延長AD到點E，使ADDE，連接BE，如圖所示：點D是BC邊上的中點，BDCD，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），ACEB6，在ABE中，ABBEAEAB+BE，86AE8+6，即2AE14，1AD7，故答案為：1AD7；（2）延長ED到點N，使EDDN，連接C

24、N、FN，如圖所示：點D是BC邊上的中點，BDCD，在NDC和EDB中，中，NDCEDB（SAS），BECN4，DFDE，EDDN，EFFN，在CFN中，CNCFFNCN+CF，42FN4+2，即2FN6，2EF6；CEED；理由如下：延長CE與DA的延長線交于點G，如圖所示：點E是AB中點，BEAE，BCD150，ADC30，DGBC，GAECBE，在GAE和CBE中，GAECBE（ASA），GECE，AGBC，BCCF，DFAD，CF+DFBC+ADAG+AD，即：CDGD，GECE，CEED12如圖，在平行四邊形ABCD中，ABAC，對角線AC、BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)

25、一個角度（090），分別交線段BC、AD于點E、F，已知AB1，連接BF（1）如圖，在旋轉(zhuǎn)的過程中，請寫出線段AF與EC的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖，當(dāng)45時，請寫出線段BF與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖，當(dāng)90時，求BOF的面積解：（1）AFCE；理由如下：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，AOCO，F(xiàn)AOECO，在AFO與CEO中，AFOCEO（ASA），AFEC；（2）BFDF；理由如下：ABAC，BAC90，AC2，四邊形ABCD是平行四邊形，BODO，AOCOAC1，ABAO，又ABAC，AOB45，45，AOF45，BOFAOB+AOF45+4590，EFBD，BODO

26、，BFDF；（3）ABAC，CAB90，CABAOF90，ABEF，四邊形ABCD是平行四邊形，AFBE，四邊形ABEF是平行四邊形，ABEF1，由（1）得：AFOCEO，OFOEEF，由（2）得：AO1，ABEF，AOEF，SBOFSAOFAOOF113綜合與實踐（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE請寫出AEB的度數(shù)及線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（2）類比探究如圖2，ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACBDCE90，點A，D，E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE填空：AEB的度數(shù)為90；線段CM，AE，BE之間的

27、數(shù)量關(guān)系為AEBE+2CM（3）拓展延伸在（2）的條件下，若BE4，CM3，則四邊形ABEC的面積為35解：（1）AEB60，ADBE，理由如下：ACB和DCE均為等邊三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60ACDBCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）ADCBECADBE，DCE為等邊三角形，CDECED60點A，D，E在同一直線上，ADC120BEC120AEBBECCED60（2）猜想：AEB90，AEBE+2CM理由如下：ACB和DCE均為等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90ACDBCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）ADBE，ADCBECDCE為

28、等腰直角三角形，CDECED45點A，D，E在同一直線上，ADC135BEC135AEBBECCED90CDCE，CMDE，DMMEDCE90，DMMECMAEAD+DEBE+2CM故答案為：90，AEBE+2CM；（3）由（2）得：AEB90，ADBE4，DCE均為等腰直角三角形，CM為DCE中DE邊上的高，CMAE，DE2CM6，AEAD+DE4+610，四邊形ABEC的面積ACE的面積+ABE的面積AECM+AEBE103+10435；故答案為：3514如圖，正方形OABC的邊長為8，P為OA上一點，OP2，Q為OC邊上的一個動點，分別以O(shè)PPQ為邊在正方形OABC內(nèi)部作等邊三角形OPD

29、和等邊三角形PQE（1）證明：DEOQ；（2）直線ED與OC交于點F，點Q在運(yùn)動過程中EFC的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出這個角的度數(shù)；若改變，說明理由；連結(jié)AE，求AE的最小值（1）證明：如圖1中，OPD和PQE是等邊三角形，POPD，PQPE，OPDQPE60，OPQDPE，OPQDPE（SAS），DEOQ（2）OPQDPE，EDPPOQ90，DOPODP60FDOFDO30，EFCFOC+FDO60如圖2中，當(dāng)點Q與點C重合時，以PQ為邊作正三角形PQMEFC60為定值，點E的運(yùn)動路徑為線段DM，過點P作PHEA，垂足為H，當(dāng)AEDE時，AE的值最小PDEDEHPHE90，四邊形PDE

30、H是矩形，DPH90，EHPD2，EHDP2，在PHA中，AHP90，HPA30AHPA3，AEEH+AH2+3515我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂直四邊形（1）如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，問四邊形ABCD是垂直四邊形嗎？請說明理由；（2）如圖2，四邊形ABCD是垂直四邊形，求證：AD2+BC2AB2+CD2；（3）如圖3，RtABC中，ACB90，分別以AC、AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC4，BC3，求GE長（1）解：四邊形ABCD是垂直四邊形；理由如下：ABAD，點A在線段BD的垂直平分線上，CBCD，點C在線段BD的垂

31、直平分線上，直線AC是線段BD的垂直平分線，ACBD，即四邊形ABCD是垂直四邊形；（2）證明：設(shè)AC、BD交于點E，如圖2所示：ACBD，AEDAEBBECCED90，由勾股定理得：AD2+BC2AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2AE2+BE2+DE2+CE2，AD2+BC2AB2+CD2；（3）解：連接CG、BE，如圖3所示：正方形ACFG和正方形ABDE，AGAC，ABAE，CGAC4，BEAB，CAGBAE90，CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE，在GAB和CAE中，GABCAE（SAS），ABGAEC，又AEC+CEB+ABE90，ABG+CEB+ABE90，即CEBG，四邊形CGEB是垂直四邊形，由（2）得，CG2+BE2BC2+GE2，AC4，BC3，AB5，BEAB5，GE2CG2+BE2BC2（4）2+（5）23273，GE