2020年中考數學二輪復習 壓軸專題 四邊形（含解析）

四邊形1【習題再現】課本中有這樣一道題目：如圖1，在四邊形ABCD中，E，F，M分別是AB，CD，BD的中點，ADBC求證：EFMFEM（不用證明）【習題變式】（1）如圖2，在“習題再現”的條件下，延長AD，BC，EF，AD與EF交于點N，BC與EF交于點P求證：ANEBPE（2）如圖3，在ABC中，ACAB，點D在AC上，ABCD，E，F分別是BC，AD的中點，連接EF并延長，交BA的延長線于點G，連接GD，EFC60°求證：AGD90°【習題變式】解：（1）F，M分別是CD，BD的中點，MFBP，MFEBPEE，M分別是AB，BD的中點，MEAN，MEFANEADBC，MEMF，EFMFEM，ANEBPE（2）連接BD，取BD的中點H，連接EH，FHH，F分別是BD和AD的中點，HFBG，HFEFGAH，E分別是BD，BC的中點，HEAC，HEFEFC60°ABCD，HEHF，HFEEFC60°，AGF60°，AFGEFC60°，AFG為等邊三角形AFGF，AFFD，GFFD，FGDFDG30°，AGD60°+30°90°2（1）問題：如圖1，在RtABC中，BAC90°，ABAC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），連接AD，過點A作AEAD，并滿足AEAD，連接CE則線段BD和線段CE的數量關系是BDCE，位置關系是BDCE（2）探索：如圖2，當D點為BC邊上一點（不與點B，C重合），RtABC與RtADE均為等腰直角三角形，BACDAE90°，ABAC，ADAE試探索線段BD2、CD2、DE2之間滿足的等量關系，并證明你的結論；（3）拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，ABCACBADC45°，若BD3，CD1，請直接寫出線段AD的長解：（1）問題：在RtABC中，ABAC，BACB45°，BACDAE90°，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），故答案為：BDCE，BDCE；（2）探索：結論：DE2BD2+CD2，理由是：如圖2中，連接ECBACDAE90°，BADCAE，在ABD和ACE中，BADCAE（SAS），BDCE，BACE45°，BCEACB+ACE45°+45°90°，DE2CE2+CD2，DE2BD2+CD2；（3）拓展：如圖3，將AD繞點A逆時針旋轉90°至AG，連接CG、DG，則DAG是等腰直角三角形，ADG45°，ADC45°，GDC90°，同理得：BADCAG，CGBD3，RtCGD中，CD1，DG2，DAG是等腰直角三角形，ADAG23如圖1，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接BE、DG（1）BE和DG的數量關系是BEDG，BE和DG的位置關系是BEDG；（2）把正方形ECGF繞點C旋轉，如圖2，（1）中的結論是否還成立？若成立，寫出證明過程，若不成立，請說明理由；（3）設正方形ABCD的邊長為4，正方形ECGF的邊長為3，正方形ECGF繞點C旋轉過程中，若A、C、E三點共線，直接寫出DG的長解：（1）BEDGBEDG；理由如下：四邊形ABCD和四邊形CEFG為正方形，CDBC，CECG，BCEDCG90°，在BEC和DGC中，BECDGC（SAS），BEDG；如圖1，延長GD交BE于點H，BECDGC，DGCBEC，DGC+EBCBEC+EBC90°，BHG90°，即BEDG；故答案為：BEDG，BEDG（2）成立，理由如下：如圖2所示：同（1）得：DCGBCE（SAS），BEDG，CDGCBE，DMEBMC，CBE+BMC90°，CDG+DME90°，DOB90°，BEDG；（3）由（2）得：DGEB，分兩種情況：如圖3所示：正方形ABCD的邊長為4，正方形ECGF的邊長為3，ACBD，BDACAB4，OAOCOBAC2，CE3，AEACCE，OEOAAE，在RtBOE中，由勾股定理得：DGBE；如圖4所示：OECE+OC2+35，在RtBOE中，由勾股定理得：DGBE；綜上所述，若A、C、E三點共線，DG的長為或4如圖，在ABC中，B90°，AB6cm，BC8cm，動點D從點C出發(fā)，沿CA方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，動點E從點A出發(fā)，沿AB方向勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動，另一個點也停止運動設點D，E運動的時間是t（s）（0t5）過點D作DFBC于點F，連接DE，EF（1）t為何值時，DEAC？（2）設四邊形AEFC的面積為S，試求出S與t之間的關系式；（3）是否存在某一時刻t，使得S四邊形AEFC：SABC17：24，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（4）當t為何值時，ADE45°？解：（1）B90o，AB6 cm，BC8 cm，AC10（cm），若DEAC，EDA90°，EDAB，AA，ADEABC，即：，t，當ts時，DEAC；（2）DFBC，DFC90°，DFCB，CC，CDFCAB，即，CF，BF8，BEABAE6t，SSABCSBEF×ABBC×BFBE×6×8×（8t）×（6t）t2+t；（3）若存在某一時刻t，使得S四邊形AEFC：SABC17：24，根據題意得：t2+t××6×8，解得：t1，t2（不合題意舍去），當ts時，S四邊形AEFC：SABC17：24；（4）過點E作EMAC與點M，如圖所示：則EMAB90°，AA，AEMACB，即，EMt，AMt，DM102tt10t，在RtDEM中，當DMME時，ADE45°，10tt，t當ts時，ADE45°5我們定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且項角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”因為頂點相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”例如，如圖（1），ABC與ADE都是等腰三角形，其中BACDAE，則ABDACE（SAS）（1）熟悉模型：如圖（2），已知ABC與ADE都是等腰三角形，ABAC，ADAE，且BACDAE，求證：BDCE；（2）運用模型：如圖（3），P為等邊ABC內一點，且PA：PB：PC3：4：5，求APB的度數小明在解決此問題時，根據前面的“手拉手全等模型”，以BP為邊構造等邊BPM，這樣就有兩個等邊三角形共頂點B，然后連結CM，通過轉化的思想求出了APB的度數，則APB的度數為150度；（3）深化模型：如圖（4），在四邊形ABCD中，AD4，CD3，ABCACBADC45°，求BD的長（1）證明：BACDAE，BAC+CADDAE+CAD，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE；（2）解：以BP為邊構造等邊BPM，連接CM，如圖（3）所示：ABC與BPM都是等邊三角形，ABBC，BPBMPM，ABCPBMBMP60°，ABCPBCPBMPBC，即ABPCBM，在ABP和CBM中，ABPCBM（SAS），APCM，APBCMB，PA：PB：PC3：4：5，CM：PM：PC3：4：5，PC2CM2+PM2，CMP是直角三角形，PMC90°，CMBBMP+PMC60°+90°150°，APB150°，故答案為：150；（3）解：過點A作EAAD，且AEAD，連接CE，DE，如圖（4）所示：則ADE是等腰直角三角形，EAD90°，DEAD4，EDA45°，ADC45°，EDC45°+45°90°，在RtDCE中，CE，ACBABC45°，BAC90°，ABAC，BAC+CADEAD+CAD，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE6（1）某學校“學習落實”數學興趣小組遇到這樣一個題目如圖，在ABC中，點O在線段BC上，BAO30°，OAC75°，AO，BO：CO2：1，求AB的長經過數學小組成員討論發(fā)現，過點B作BDAC，交AO的延長線于點D，通過構造ABD就可以解決問題（如圖2）請回答：ADB75°，AB3（2）請參考以上解決思路，解決問題：如圖3在四邊形ABCD中對角線AC與BD相交于點0，ACAD，AO，ABCACB75°，BO：OD2：1，求DC的長解：（1）如圖2中，過點B作BDAC，交AO的延長線于點D，BDAC，ADBOAC75°BODCOA，BODCOA，2，又AO，OD2AO2，ADAO+OD3BAD30°，ADB75°，ABD180°BADADB75°ADB，ABAD3；故答案為75，3（2）如圖3中，過點B作BEAD交AC于點EACAD，BEAD，DACBEA90°AODEOB，AODEOB，2BO：OD1：3，AO，EO2，AE3ABCACB75°，BAC30°，ABAC，AB2BE在RtAEB中，BE2+AE2AB2，即（4BE2）2+BE2（2BE）2，解得：BE3，ABAC6，AD在RtCAD中，AC2+AD2CD2，即62+（）2CD2，解得：CD（負根已經舍棄）7正方形ABCD中，AB4，點E、F分別在AB、BC邊上（不與點A、B重合）（1）如圖1，連接CE，作DMCE，交CB于點M若BE3，則DM5；（2）如圖2，連接EF，將線段EF繞點F順時針旋轉，當點E落在正方形上時，記為點G；再將線段FG繞點G順時針旋轉，當點F落在正方形上時，記為點H；依此操作下去，如圖3，線段EF經過兩次操作后拼得EFD，其形狀為等邊三角形，在此條件下，求證：AECF；若線段EF經過三次操作恰好拼成四邊形EFGH，（3）請判斷四邊形EFGH的形狀為正方形，此時AE與BF的數量關系是AEBF；（4）以1中的結論為前提，設AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數關系式及面積y的取值范圍解：（1）如圖1中，四邊形ABCD是正方形，BDCM90°，BE3，BC4，CE5，DMEC，DMC+MCE90°，MCE+CEB90°，DMCCEB，BCCD，BCECDM（AAS），DMEC5故答案為5（2）如題圖3，由旋轉性質可知EFDFDE，則DEF為等邊三角形故答案為等邊三角形（2）四邊形EFGH的形狀為正方形，此時AEBF理由如下：依題意畫出圖形，如答圖1所示：連接EG、FH，作HNBC于N，GMAB于M由旋轉性質可知，EFFGGHHE，四邊形EFGH是菱形，由EGMFHN，可知EGFH，四邊形EFGH的形狀為正方形HEF90°1+290°，2+390°，133+490°，2+390°，24在AEH與BFE中，AEHBFE（ASA）AEBF故答案為正方形，AEBF（4）利用中結論，易證AEH、BFE、CGF、DHG均為全等三角形，BFCGDHAEx，AHBECFDG4xyS正方形ABCD4SAEH4×44×x（4x）2x28x+16y2x28x+16（0x4）y2x28x+162（x2）2+8，當x2時，y取得最小值8；當x0時，y16，y的取值范圍為：8y168已知：如圖1，在平面直角坐標系中，長方形OABC的頂點B的坐標是（6，4）（1）直接寫出A點坐標（6，0），C點坐標（0，4）；（2）如圖2，D為OC中點連接BD，AD，如果在第二象限內有一點P（m，1），且四邊形OADP的面積是ABC面積的2倍，求滿足條件的點P的坐標；（3）如圖3，動點M從點C出發(fā)，以每鈔1個單位的速度沿線段CB運動，同時動點N從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿線段AO運動，當N到達O點時，M，N同時停止運動，運動時間是t秒（t0），在M，N運動過程中當MN5時，直接寫出時間t的值解：（1）四邊形OABC是長方形，ABOC，BCOA，B（6，4），A（6，0），C（0，4），故答案為：6，0，0，4；（2）如圖2，由（1）知，A（6，0），C（0，4），OA6，OC4，四邊形OABC是長方形，S長方形OABCOAOC6×424，連接AC，AC是長方形OABC的對角線，SOACSABCS長方形OABC12，點D是OC的中點，SOADSOAC6，四邊形OADP的面積是ABC面積的2倍，S四邊形OADP2SABC24，S四邊形OADPSOAD+SODP6+SODP24，SODP18，點D是OC的中點，且OC4，ODOC2，P（m，1），SODPOD|m|×2|m|18，m18（由于點P在第二象限，所以，m小于0，舍去）或m18，P（18，1）；（3）如圖3，由（2）知，OA6，OC4，四邊形OABC是長方形，AOCOCB90°，BC6，由運動知，CMt，AN2t，ONOAAN62t，過點M作MHOA于H，OHM90°AOCOCB，四邊形OCMH是長方形，MHOC4，OHCMt，HN|ONCM|62tt|63t|，在RtMHN中，MN5，根據勾股定理得，HN2MN2MH2，|63t|252429，t1或t3，即：t的值為1或39綜合與實踐問題情境數學課上，李老師提出了這樣一個問題：如圖1，點P是正方形ABCD內一點，PA1，PB2，PC3你能求出APB的度數嗎？（1）小敏與同桌小聰通過觀察、思考、討論后，得出了如下思路：思路一：將BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到BP'A，連接PP'，求出APB的度數；思路二：將APB繞點B順時針旋轉90°，得到CP'B，連接PP'，求出APB的度數請參考以上思路，任選一種寫出完整的解答過程類比探究（2）如圖2，若點P是正方形ABCD外一點，PA3，PB1，求APB的度數拓展應用（3）如圖3，在邊長為的等邊三角形ABC內有一點O，AOC90°，BOC120°，則AOC的面積是解：（1）思路一，如圖1，將BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到BP'A，連接PP'，則ABP'CBP，AP'CP3，BP'BP2，PBP'90°BPP'45°，根據勾股定理得，AP1，AP2+P'P21+89，又P'A2329，AP2+P'P2P'A2，APP'是直角三角形，且APP'90°，APBAPP'+BPP'90°+45°135°思路二、同思路一的方法（2）如圖2，將BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到BP'A，連接PP'則ABP'CBP，BP'BP1，PBP'90°BPP'45°，根據勾股定理得，AP3，AP2+P'P29+211，又，AP2+P'P2P'A2，APP'是直角三角形，且APP'90°，APBAPP'BPP'90°45°45°（3）如圖，將ABO繞點B順時針旋轉60°，得到BCE，連接OE則BAOBCE，AOBBEC360°90°120°150°，BOE是等邊三角形，BEOBOE60°，OEC90°，OEC120°60°60°，sin60°，設ECk，OC2k，則OAECk，AOC90°，OA2+OC2AC2，3k2+4k27，k1或1（舍棄），OA，OC2，SAOCOAOC××2故答案為10如圖1，在矩形ABCD中，點P是BC邊上一點，連接AP交對角線BD于點E，BPBE作線段AP的中垂線MN分別交線段DC，DB，AP，AB于點M，G，F，N（1）求證：BAPBGN；（2）若AB6，BC8，求；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接CF，求tanCFM的值（1）證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，ABC90°，BAPAPB90°BPBE，APBBEPGEF，MN垂直平分線段AP，GFE90°，BGN+GEF90°，BAPBGN（2）解：四邊形ABCD是矩形，BADABP90°，ADBC，ADBC8，BD10，ADBC，DAEAPB，APBBEPDEA，DAEDEA，DADE8，BEBPBDDE1082，PA2，MN垂直平分線段AP，AFPF，PBAD，PEPA，EFPFPE，（3）解：如圖3中，連接AM，MP設CMx四邊形ABCD是矩形，ADMMCP90°，ABCD6，ADBC8，MN垂直平分線段AP，MAMP，AD2+DM2PC2+CM2，82+（6x）262+x2，x，PFMPCM90°，P，F，M，C四點共圓，CFMCPM，tanCFMtanCFM11在利用構造全等三角形來解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在ABC中，AB8，AC6，點D是BC邊上的中點，怎樣求AD的取值范圍呢？我們可以延長AD到點E，使ADDE，然后連接BE（如圖），這樣，在ADC和EDB中，由于，ADCEDB，ACEB，接下來，在ABE中通過AE的長可求出AD的取值范圍請你回答：（1）在圖中，中線AD的取值范圍是1AD7（2）應用上述方法，解決下面問題如圖，在ABC中，點D是BC邊上的中點，點E是AB邊上的一點，作DFDE交AC邊于點F，連接EF，若BE4，CF2，請直接寫出EF的取值范圍如圖，在四邊形ABCD中，BCD150°，ADC30°，點E是AB中點，點F在DC上，且滿足BCCF，DFAD，連接CE、ED，請判斷CE與ED的位置關系，并證明你的結論解：（1）延長AD到點E，使ADDE，連接BE，如圖所示：點D是BC邊上的中點，BDCD，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），ACEB6，在ABE中，ABBEAEAB+BE，86AE8+6，即2AE14，1AD7，故答案為：1AD7；（2）延長ED到點N，使EDDN，連接CN、FN，如圖所示：點D是BC邊上的中點，BDCD，在NDC和EDB中，中，NDCEDB（SAS），BECN4，DFDE，EDDN，EFFN，在CFN中，CNCFFNCN+CF，42FN4+2，即2FN6，2EF6；CEED；理由如下：延長CE與DA的延長線交于點G，如圖所示：點E是AB中點，BEAE，BCD150°，ADC30°，DGBC，GAECBE，在GAE和CBE中，GAECBE（ASA），GECE，AGBC，BCCF，DFAD，CF+DFBC+ADAG+AD，即：CDGD，GECE，CEED12如圖，在平行四邊形ABCD中，ABAC，對角線AC、BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉一個角度（0°90°），分別交線段BC、AD于點E、F，已知AB1，連接BF（1）如圖，在旋轉的過程中，請寫出線段AF與EC的數量關系，并證明；（2）如圖，當45°時，請寫出線段BF與DF的數量關系，并證明；（3）如圖，當90°時，求BOF的面積解：（1）AFCE；理由如下：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，AOCO，FAOECO，在AFO與CEO中，AFOCEO（ASA），AFEC；（2）BFDF；理由如下：ABAC，BAC90°，AC2，四邊形ABCD是平行四邊形，BODO，AOCOAC1，ABAO，又ABAC，AOB45°，45°，AOF45°，BOFAOB+AOF45°+45°90°，EFBD，BODO，BFDF；（3）ABAC，CAB90°，CABAOF90°，ABEF，四邊形ABCD是平行四邊形，AFBE，四邊形ABEF是平行四邊形，ABEF1，由（1）得：AFOCEO，OFOEEF，由（2）得：AO1，ABEF，AOEF，SBOFSAOFAOOF×1×13綜合與實踐（1）問題發(fā)現如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE請寫出AEB的度數及線段AD，BE之間的數量關系，并說明理由（2）類比探究如圖2，ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACBDCE90°，點A，D，E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE填空：AEB的度數為90°；線段CM，AE，BE之間的數量關系為AEBE+2CM（3）拓展延伸在（2）的條件下，若BE4，CM3，則四邊形ABEC的面積為35解：（1）AEB60°，ADBE，理由如下：ACB和DCE均為等邊三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60°ACDBCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）ADCBECADBE，DCE為等邊三角形，CDECED60°點A，D，E在同一直線上，ADC120°BEC120°AEBBECCED60°（2）猜想：AEB90°，AEBE+2CM理由如下：ACB和DCE均為等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90°ACDBCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）ADBE，ADCBECDCE為等腰直角三角形，CDECED45°點A，D，E在同一直線上，ADC135°BEC135°AEBBECCED90°CDCE，CMDE，DMMEDCE90°，DMMECMAEAD+DEBE+2CM故答案為：90°，AEBE+2CM；（3）由（2）得：AEB90°，ADBE4，DCE均為等腰直角三角形，CM為DCE中DE邊上的高，CMAE，DE2CM6，AEAD+DE4+610，四邊形ABEC的面積ACE的面積+ABE的面積AE×CM+AE×BE×10×3+×10×435；故答案為：3514如圖，正方形OABC的邊長為8，P為OA上一點，OP2，Q為OC邊上的一個動點，分別以OPPQ為邊在正方形OABC內部作等邊三角形OPD和等邊三角形PQE（1）證明：DEOQ；（2）直線ED與OC交于點F，點Q在運動過程中EFC的度數是否發(fā)生改變？若不變，求出這個角的度數；若改變，說明理由；連結AE，求AE的最小值（1）證明：如圖1中，OPD和PQE是等邊三角形，POPD，PQPE，OPDQPE60°，OPQDPE，OPQDPE（SAS），DEOQ（2）OPQDPE，EDPPOQ90°，DOPODP60°FDOFDO30°，EFCFOC+FDO60°如圖2中，當點Q與點C重合時，以PQ為邊作正三角形PQMEFC60°為定值，點E的運動路徑為線段DM，過點P作PHEA，垂足為H，當AEDE時，AE的值最小PDEDEHPHE90°，四邊形PDEH是矩形，DPH90°，EHPD2，EHDP2，在PHA中，AHP90°，HPA30°AHPA3，AEEH+AH2+3515我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂直四邊形（1）如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，問四邊形ABCD是垂直四邊形嗎？請說明理由；（2）如圖2，四邊形ABCD是垂直四邊形，求證：AD2+BC2AB2+CD2；（3）如圖3，RtABC中，ACB90°，分別以AC、AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC4，BC3，求GE長（1）解：四邊形ABCD是垂直四邊形；理由如下：ABAD，點A在線段BD的垂直平分線上，CBCD，點C在線段BD的垂直平分線上，直線AC是線段BD的垂直平分線，ACBD，即四邊形ABCD是垂直四邊形；（2）證明：設AC、BD交于點E，如圖2所示：ACBD，AEDAEBBECCED90°，由勾股定理得：AD2+BC2AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2AE2+BE2+DE2+CE2，AD2+BC2AB2+CD2；（3）解：連接CG、BE，如圖3所示：正方形ACFG和正方形ABDE，AGAC，ABAE，CGAC4，BEAB，CAGBAE90°，CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE，在GAB和CAE中，GABCAE（SAS），ABGAEC，又AEC+CEB+ABE90°，ABG+CEB+ABE90°，即CEBG，四邊形CGEB是垂直四邊形，由（2）得，CG2+BE2BC2+GE2，AC4，BC3，AB5，BEAB5，GE2CG2+BE2BC2（4）2+（5）23273，GE