2020年中考數(shù)學(xué)考點總動員 第08講 分式方程及其應(yīng)用（含解析）

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1、第8講分式方程及其應(yīng)用1分式方程定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程2分式方程解法分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解方程，求出解，代入最簡公分母進行檢驗，得出分式方程的解3分式方程的增根 使最簡公分母為0的根 注意：分式方程的增根和無解并非同一個概念，分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根4分式方程的實際應(yīng)用(1)分式方程的實際應(yīng)用常見類型及關(guān)系：工程問題：工作效率；工作時間；銷售問題：售價標價折扣；行程問題：時間.(2)解分式方程的實際應(yīng)用問題的一般步驟： 審：審清題意； 設(shè)：設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)(直接設(shè)未知數(shù)或

2、者間接設(shè)未知數(shù))； 找：找出各量之間的等量關(guān)系； 列：根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程； 解：解這個分式方程； 驗：檢驗所求的解是否是原分式方程的解，是否滿足題意； 答：寫出答案審清題意是前提，找等量關(guān)系是關(guān)鍵，列出方程是重點考點1：分式方程的解法【例題1】解方程：1.【解答】解：方法一：去分母，得42(3x1)3.解得x.檢驗：當x時，2(3x1)0，x是原分式方程的解方法二：設(shè)3x1y則原方程可化為1，去分母，得42y 3.解得y.3x1.解得x.檢驗：當x時，6x20，x是原分式方程的解方法三：移項，得1.通分，得1.由分式的性質(zhì)，得6x21.解得x.檢驗：當x時，6x20，x是原分式方程的解

3、歸納：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再按照解整式方程的步驟解題，不同的是解分式方程需要驗根考點2：分式方程的應(yīng)用【例題2(2018吉林)如圖是學(xué)習(xí)分式方程應(yīng)用時，老師板書的問題和兩名同學(xué)所列的方程解分式方程：甲、乙兩個工程隊，甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等，乙隊每天比甲隊多修20米，求甲隊每天修路的長度冰冰：慶慶：20根據(jù)以上信息，解答下列問題(1)冰冰同學(xué)所列方程中的x表示甲隊每天修路的長度；慶慶同學(xué)所列方程中的y表示甲隊修路400米所用時間；(2)兩個方程中任選一個，并寫出它的等量關(guān)系；(3)解(2)中你所選擇的方程，并回答老師提出的問題【解析】：(2)冰冰用的等量關(guān)系是：甲隊

4、修路400米所用時間乙隊修路600米所用時間；慶慶用的等量關(guān)系是：乙隊每天修路的長度甲隊每天修路的長度20米(選擇一個即可)(3)選冰冰的方程：，解得x40.經(jīng)檢驗，x40是原方程的根答：甲隊每天修路的長度為40米選慶慶的方程：20，解得y10.經(jīng)檢驗，y10是原方程的根40.答：甲隊每天修路的長度為40米歸納：列方程解實際問題時，必須驗根，既要檢查所求解是否為分式方程的增根，又要檢查看是否滿足應(yīng)用題的實際意義考點3：分式方程與其它問題的綜合應(yīng)用【例題3】（2019山東濰坊10分）扶貧工作小組對果農(nóng)進行精準扶貧，幫助果農(nóng)將一種有機生態(tài)水果拓寬了市場與去年相比，今年這種水果的產(chǎn)量增加了1000千

5、克，每千克的平均批發(fā)價比去年降低了1元，批發(fā)銷售總額比去年增加了20%（1）已知去年這種水果批發(fā)銷售總額為10萬元，求這種水果今年每千克的平均批發(fā)價是多少元？（2）某水果店從果農(nóng)處直接批發(fā)，專營這種水果調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克的平均銷售價為41元，則每天可售出300千克；若每千克的平均銷售價每降低3元，每天可多賣出180千克，設(shè)水果店一天的利潤為w元，當每千克的平均銷售價為多少元時，該水果店一天的利潤最大，最大利潤是多少？（利潤計算時，其它費用忽略不計）【分析】（1）由去年這種水果批發(fā)銷售總額為10萬元，可得今年的批發(fā)銷售總額為10（120%）12萬元，設(shè)這種水果今年每千克的平均批發(fā)價是x元，則去年

6、的批發(fā)價為（x+1）元，可列出方程：，求得x即可（2）根據(jù)總利潤（售價成本）數(shù)量列出方程，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求最大值【解答】解：（1）由題意，設(shè)這種水果今年每千克的平均批發(fā)價是x元，則去年的批發(fā)價為（x+1）元，今年的批發(fā)銷售總額為10（120%）12萬元整理得x219x1200解得x24或x5（不合題意，舍去）故這種水果今年每千克的平均批發(fā)價是24元（2）設(shè)每千克的平均售價為m元，依題意由（1）知平均批發(fā)價為24元，則有w（m24）（180+300）60m2+4200m66240整理得w60（m35）2+7260a600拋物線開口向下當m35元時，w取最大值即每千克的平均銷售價為35元

7、時，該水果店一天的利潤最大，最大利潤是7260元歸納：最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，根據(jù)每天的利潤一件的利潤銷售件數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題一、選擇題：1. （2019，山東淄博，4分）解分式方程2時，去分母變形正確的是（）A1+x12（x2）B1x12（x2）C1+x1+2（2x）D1x12（x2）【答案】D【解答】解：去分母得：1x12（x2），故選：D2. （2019山東省聊城市3分）如果分式的值為0，那么x的值為（）A1B1C1或1D1或0【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，得|x|10且x+10，

8、解得，x1故選：B3. （2018海南）（3.00分）分式方程=0的解是（）A1B1C1D無解【答案】B【解答】兩邊都乘以x+1，得：x21=0，解得：x=1或x=1，當x=1時，x+10，是方程的解；當x=1時，x+1=0，是方程的增根，舍去；所以原分式方程的解為x=1，故選：B4. （2019湖南株洲3分）關(guān)于x的分式方程0的解為（）A3B2C2D3【答案】B【解答】解：去分母得：2x65x0，解得：x2，經(jīng)檢驗x2是分式方程的解，故選：B5. 若數(shù)使關(guān)于x的不等式組有且只有四個整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程的解為非負數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)的和為( )A -3 B -2 C1 D2【答案】C解

9、析：解不等式，由于不等式有四個整數(shù)解，根據(jù)題意A點為，則，解得。解分式方程得，又需排除分式方程無解的情況，故且.結(jié)合不等式組的結(jié)果有a的取值范圍為，又a為整數(shù),所以a的取值為,和為1.故選C二、填空題：6. （2019湖南岳陽4分）分式方程的解為x1【答案】1【解答】解：方程兩邊同乘x（x+1），得x+12x，解得x1將x1代入x（x+1）20所以x1是原方程的解7. （2018黑龍江齊齊哈爾）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為 【答案】1或5或【解答】解：去分母得：x+4+m（x4）=m+3，可得：（m+1）x=5m1，當m+1=0時，一元一次方程無解，此時m=1，當m+10時，則x= =4，解

10、得：m=5或，綜上所述：m=1或5或，故答案為：1或5或8. （2019，四川巴中，4分）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為1【答案】1【解答】解：方程兩邊都乘x2，得x2m2m（x2）原方程有增根，最簡公分母x20，解得x2，當x2時，m1故m的值是1，故答案為1三、解答題：9. 解分式方程：1.【解析】：方程兩邊同乘(x5)，得x1x52x， 整理得，2x6， 解得x3.檢驗：當x3時，x50，則x3是原分式方程的解10. (2018宜賓)我市經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)某智能手機有限公司接到生產(chǎn)300萬部智能手機的訂單，為了盡快交貨，增開了一條生產(chǎn)線，實際每月生產(chǎn)能力比原計劃提高了50%，結(jié)果比原計

11、劃提前5個月完成交貨，求每月實際生產(chǎn)智能手機多少萬部【解析】：設(shè)原計劃每月生產(chǎn)智能手機x萬部，則實際每月生產(chǎn)智能手機(150%)x萬部，根據(jù)題意，得5，解得x20.經(jīng)檢驗，x20是原方程的解，且符合題意(150%)x30.答：每月實際生產(chǎn)智能手機30萬部11. (2018河北模擬)甲、乙兩地相距72千米，嘉嘉騎自行車往返兩地一共用了7小時，已知他去時的平均速度比返回時的平均速度快，求嘉嘉去時的平均速度是多少？下框是淇淇同學(xué)的解法解：設(shè)嘉嘉去時的平均速度是x千米/時，則回時的平均速度是(1)x千米/時，由題意，得7，你認為淇淇同學(xué)的解法正確嗎？若正確，請寫出該方程所依據(jù)的等量關(guān)系，并完成剩下的步

12、驟；若不正確，請說明原因，并正確地求出嘉嘉去時的平均速度【解析】：淇淇同學(xué)的解法不正確；因為“去時的平均速度比返回時的平均速度快”并不等于“返回時的平均速度比去時的平均速度慢”設(shè)嘉嘉返回時的平均速度是x千米/時，則去時的平均速度是(1)x千米/時，由題意得7，解得x18.經(jīng)檢驗，x18是方程的解，且符合題意(1)x24.所以嘉嘉去時的平均速度是24千米/時12. （2018邵陽）某公司計劃購買A，B兩種型號的機器人搬運材料已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運30kg材料，且A型機器人搬運1000kg材料所用的時間與B型機器人搬運800kg材料所用的時間相同（1）求A，B兩種型號的機器人每小時

13、分別搬運多少材料；（2）該公司計劃采購A，B兩種型號的機器人共20臺，要求每小時搬運材料不得少于2800kg，則至少購進A型機器人多少臺？【分析】（1）設(shè)B型機器人每小時搬運x千克材料，則A型機器人每小時搬運（x+30）千克材料，根據(jù)A型機器人搬運1000kg材料所用的時間與B型機器人搬運800kg材料所用的時間相同建立方程求出其解就可以得出結(jié)論（2）設(shè)購進A型機器人a臺，根據(jù)每小時搬運材料不得少于2800kg列出不等式并解答解析：（1）設(shè)B型機器人每小時搬運x千克材料，則A型機器人每小時搬運（x+30）千克材料，根據(jù)題意，得=，解得x=120經(jīng)檢驗，x=120是所列方程的解當x=120時，x

14、+30=150答：A型機器人每小時搬運150千克材料，B型機器人每小時搬運120千克材料；（2）設(shè)購進A型機器人a臺，則購進B型機器人（20a）臺，根據(jù)題意，得150a+120（20a）2800，解得aa是整數(shù)，a14答：至少購進A型機器人14臺13. （2019山東威海7分）列方程解應(yīng)用題：小明和小剛約定周末到某體育公園打羽毛球他們兩家到體育公園的距離分別是1200米，3000米，小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時到達，則小明需提前4分鐘出發(fā)，求小明和小剛兩人的速度【分析】直接利用小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時到達，則小明需提前4分鐘出發(fā)，進而得出等式求出

15、答案【解答】解：設(shè)小明的速度是x米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是3x米/分鐘，根據(jù)題意可得：，解得：x50，經(jīng)檢驗得：x50是原方程的根，故3x150，答：小明的速度是50米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是150米/分鐘14. （2018寧波）某商場購進甲、乙兩種商品，甲種商品共用了2000元，乙種商品共用了2400元已知乙種商品每件進價比甲種商品每件進價多8元，且購進的甲、乙兩種商品件數(shù)相同（1）求甲、乙兩種商品的每件進價；（2）該商場將購進的甲、乙兩種商品進行銷售，甲種商品的銷售單價為60元，乙種商品的銷售單價為88元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)甲種商品銷量不好，商場決定：甲種商品銷售一定數(shù)量后，將剩余

16、的甲種商品按原銷售單價的七折銷售；乙種商品銷售單價保持不變要使兩種商品全部售完后共獲利不少于2460元，問甲種商品按原銷售單價至少銷售多少件？解：（1）設(shè)甲種商品的每件進價為x元，則乙種商品的每件進價為（x+8）元根據(jù)題意，得， =，解得 x=40經(jīng)檢驗，x=40是原方程的解答：甲種商品的每件進價為40元，乙種商品的每件進價為48元；（2）甲乙兩種商品的銷售量為=50設(shè)甲種商品按原銷售單價銷售a件，則（6040）a+（600.740）（50a）+（8848）502460，解得 a20答：甲種商品按原銷售單價至少銷售20件15. （2018湖北省孝感10分）“綠水青山就是金山銀山”，隨著生活水平

17、的提高，人們對飲水品質(zhì)的需求越來越高，孝感市槐蔭公司根據(jù)市場需求代理A，B兩種型號的凈水器，每臺A型凈水器比每臺B型凈水器進價多200元，用5萬元購進A型凈水器與用4.5萬元購進B型凈水器的數(shù)量相等（1）求每臺A型、B型凈水器的進價各是多少元？（2）槐蔭公司計劃購進A，B兩種型號的凈水器共50臺進行試銷，其中A型凈水器為x臺，購買資金不超過9.8萬元試銷時A型凈水器每臺售價2500元，B型凈水器每臺售價2180元，槐蔭公司決定從銷售A型凈水器的利潤中按每臺捐獻a（70a80）元作為公司幫扶貧困村飲水改造資金，設(shè)槐蔭公司售完50臺凈水器并捐獻扶貧資金后獲得的利潤為W，求W的最大值【分析】（1）設(shè)

18、A型凈水器每臺的進價為m元，則B型凈水器每臺的進價為（m200）元，根據(jù)數(shù)量=總價單價結(jié)合用5萬元購進A型凈水器與用4.5萬元購進B型凈水器的數(shù)量相等，即可得出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)購買資金=A型凈水器的進價購進數(shù)量+B型凈水器的進價購進數(shù)量結(jié)合購買資金不超過9.8萬元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，由總利潤=每臺A型凈水器的利潤購進數(shù)量+每臺B型凈水器的利潤購進數(shù)量a購進A型凈水器的數(shù)量，即可得出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題【解答】解：（1）設(shè)A型凈水器每臺的進價為m元，則B型凈水器每臺的進價為（m200）元，根據(jù)題意得：，解得：m=2000，經(jīng)檢驗，m=2000是分式方程的解，m200=1800答：A型凈水器每臺的進價為2000元，B型凈水器每臺的進價為1800元（2）根據(jù)題意得：2000x+180（50x）98000，解得：x40W=（25002000）x+（21801800）（50x）ax=（120a）x+19000，當70a80時，120a0，W隨x增大而增大，當x=40時，W取最大值，最大值為（120a）40+19000=2380040a，W的最大值是（2380040a）元11