2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第08講 分式方程及其應(yīng)用（含解析）

第8講分式方程及其應(yīng)用1分式方程定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程2分式方程解法分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解方程，求出解，代入最簡(jiǎn)公分母進(jìn)行檢驗(yàn)，得出分式方程的解3分式方程的增根 使最簡(jiǎn)公分母為0的根 注意：分式方程的增根和無解并非同一個(gè)概念，分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根4分式方程的實(shí)際應(yīng)用(1)分式方程的實(shí)際應(yīng)用常見類型及關(guān)系：工程問題：工作效率；工作時(shí)間；銷售問題：售價(jià)標(biāo)價(jià)×折扣；行程問題：時(shí)間.(2)解分式方程的實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟： 審：審清題意； 設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)(直接設(shè)未知數(shù)或者間接設(shè)未知數(shù))； 找：找出各量之間的等量關(guān)系； 列：根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程； 解：解這個(gè)分式方程； 驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的解是否是原分式方程的解，是否滿足題意； 答：寫出答案審清題意是前提，找等量關(guān)系是關(guān)鍵，列出方程是重點(diǎn)考點(diǎn)1：分式方程的解法【例題1】解方程：1.【解答】解：方法一：去分母，得42(3x1)3.解得x.檢驗(yàn)：當(dāng)x時(shí)，2(3x1)0，x是原分式方程的解方法二：設(shè)3x1y則原方程可化為1，去分母，得42y 3.解得y.3x1.解得x.檢驗(yàn)：當(dāng)x時(shí)，6x20，x是原分式方程的解方法三：移項(xiàng)，得1.通分，得1.由分式的性質(zhì)，得6x21.解得x.檢驗(yàn)：當(dāng)x時(shí)，6x20，x是原分式方程的解歸納：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再按照解整式方程的步驟解題，不同的是解分式方程需要驗(yàn)根考點(diǎn)2：分式方程的應(yīng)用【例題2(2018·吉林)如圖是學(xué)習(xí)分式方程應(yīng)用時(shí)，老師板書的問題和兩名同學(xué)所列的方程解分式方程：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，甲隊(duì)修路400米與乙隊(duì)修路600米所用時(shí)間相等，乙隊(duì)每天比甲隊(duì)多修20米，求甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度冰冰：慶慶：20根據(jù)以上信息，解答下列問題(1)冰冰同學(xué)所列方程中的x表示甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度；慶慶同學(xué)所列方程中的y表示甲隊(duì)修路400米所用時(shí)間；(2)兩個(gè)方程中任選一個(gè)，并寫出它的等量關(guān)系；(3)解(2)中你所選擇的方程，并回答老師提出的問題【解析】：(2)冰冰用的等量關(guān)系是：甲隊(duì)修路400米所用時(shí)間乙隊(duì)修路600米所用時(shí)間；慶慶用的等量關(guān)系是：乙隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度20米(選擇一個(gè)即可)(3)選冰冰的方程：，解得x40.經(jīng)檢驗(yàn)，x40是原方程的根答：甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度為40米選慶慶的方程：20，解得y10.經(jīng)檢驗(yàn)，y10是原方程的根40.答：甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度為40米歸納：列方程解實(shí)際問題時(shí)，必須驗(yàn)根，既要檢查所求解是否為分式方程的增根，又要檢查看是否滿足應(yīng)用題的實(shí)際意義考點(diǎn)3：分式方程與其它問題的綜合應(yīng)用【例題3】（2019山東濰坊10分）扶貧工作小組對(duì)果農(nóng)進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧，幫助果農(nóng)將一種有機(jī)生態(tài)水果拓寬了市場(chǎng)與去年相比，今年這種水果的產(chǎn)量增加了1000千克，每千克的平均批發(fā)價(jià)比去年降低了1元，批發(fā)銷售總額比去年增加了20%（1）已知去年這種水果批發(fā)銷售總額為10萬元，求這種水果今年每千克的平均批發(fā)價(jià)是多少元？（2）某水果店從果農(nóng)處直接批發(fā)，專營(yíng)這種水果調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克的平均銷售價(jià)為41元，則每天可售出300千克；若每千克的平均銷售價(jià)每降低3元，每天可多賣出180千克，設(shè)水果店一天的利潤(rùn)為w元，當(dāng)每千克的平均銷售價(jià)為多少元時(shí)，該水果店一天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)計(jì)算時(shí)，其它費(fèi)用忽略不計(jì)）【分析】（1）由去年這種水果批發(fā)銷售總額為10萬元，可得今年的批發(fā)銷售總額為10（120%）12萬元，設(shè)這種水果今年每千克的平均批發(fā)價(jià)是x元，則去年的批發(fā)價(jià)為（x+1）元，可列出方程：，求得x即可（2）根據(jù)總利潤(rùn)（售價(jià)成本）×數(shù)量列出方程，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求最大值【解答】解：（1）由題意，設(shè)這種水果今年每千克的平均批發(fā)價(jià)是x元，則去年的批發(fā)價(jià)為（x+1）元，今年的批發(fā)銷售總額為10（120%）12萬元整理得x219x1200解得x24或x5（不合題意，舍去）故這種水果今年每千克的平均批發(fā)價(jià)是24元（2）設(shè)每千克的平均售價(jià)為m元，依題意由（1）知平均批發(fā)價(jià)為24元，則有w（m24）（×180+300）60m2+4200m66240整理得w60（m35）2+7260a600拋物線開口向下當(dāng)m35元時(shí)，w取最大值即每千克的平均銷售價(jià)為35元時(shí)，該水果店一天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是7260元?dú)w納：最大銷售利潤(rùn)的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，根據(jù)每天的利潤(rùn)一件的利潤(rùn)×銷售件數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題一、選擇題：1. （2019，山東淄博，4分）解分式方程2時(shí)，去分母變形正確的是（）A1+x12（x2）B1x12（x2）C1+x1+2（2x）D1x12（x2）【答案】D【解答】解：去分母得：1x12（x2），故選：D2. （2019山東省聊城市3分）如果分式的值為0，那么x的值為（）A1B1C1或1D1或0【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，得|x|10且x+10，解得，x1故選：B3. （2018海南）（3.00分）分式方程=0的解是（）A1B1C±1D無解【答案】B【解答】?jī)蛇叾汲艘詘+1，得：x21=0，解得：x=1或x=1，當(dāng)x=1時(shí)，x+10，是方程的解；當(dāng)x=1時(shí)，x+1=0，是方程的增根，舍去；所以原分式方程的解為x=1，故選：B4. （2019湖南株洲3分）關(guān)于x的分式方程0的解為（）A3B2C2D3【答案】B【解答】解：去分母得：2x65x0，解得：x2，經(jīng)檢驗(yàn)x2是分式方程的解，故選：B5. 若數(shù)使關(guān)于x的不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y的方程的解為非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)的和為( )A -3 B -2 C1 D2【答案】C解析：解不等式，由于不等式有四個(gè)整數(shù)解，根據(jù)題意A點(diǎn)為，則，解得。解分式方程得，又需排除分式方程無解的情況，故且.結(jié)合不等式組的結(jié)果有a的取值范圍為，又a為整數(shù),所以a的取值為,和為1.故選C二、填空題：6. （2019湖南岳陽4分）分式方程的解為x1【答案】1【解答】解：方程兩邊同乘x（x+1），得x+12x，解得x1將x1代入x（x+1）20所以x1是原方程的解7. （2018黑龍江齊齊哈爾）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為 【答案】1或5或【解答】解：去分母得：x+4+m（x4）=m+3，可得：（m+1）x=5m1，當(dāng)m+1=0時(shí)，一元一次方程無解，此時(shí)m=1，當(dāng)m+10時(shí)，則x= =±4，解得：m=5或，綜上所述：m=1或5或，故答案為：1或5或8. （2019，四川巴中，4分）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為1【答案】1【解答】解：方程兩邊都乘x2，得x2m2m（x2）原方程有增根，最簡(jiǎn)公分母x20，解得x2，當(dāng)x2時(shí)，m1故m的值是1，故答案為1三、解答題：9. 解分式方程：1.【解析】：方程兩邊同乘(x5)，得x1x52x， 整理得，2x6， 解得x3.檢驗(yàn)：當(dāng)x3時(shí)，x50，則x3是原分式方程的解10. (2018·宜賓)我市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)某智能手機(jī)有限公司接到生產(chǎn)300萬部智能手機(jī)的訂單，為了盡快交貨，增開了一條生產(chǎn)線，實(shí)際每月生產(chǎn)能力比原計(jì)劃提高了50%，結(jié)果比原計(jì)劃提前5個(gè)月完成交貨，求每月實(shí)際生產(chǎn)智能手機(jī)多少萬部【解析】：設(shè)原計(jì)劃每月生產(chǎn)智能手機(jī)x萬部，則實(shí)際每月生產(chǎn)智能手機(jī)(150%)x萬部，根據(jù)題意，得5，解得x20.經(jīng)檢驗(yàn)，x20是原方程的解，且符合題意(150%)x30.答：每月實(shí)際生產(chǎn)智能手機(jī)30萬部11. (2018·河北模擬)甲、乙兩地相距72千米，嘉嘉騎自行車往返兩地一共用了7小時(shí)，已知他去時(shí)的平均速度比返回時(shí)的平均速度快，求嘉嘉去時(shí)的平均速度是多少？下框是淇淇同學(xué)的解法解：設(shè)嘉嘉去時(shí)的平均速度是x千米/時(shí)，則回時(shí)的平均速度是(1)x千米/時(shí)，由題意，得7，你認(rèn)為淇淇同學(xué)的解法正確嗎？若正確，請(qǐng)寫出該方程所依據(jù)的等量關(guān)系，并完成剩下的步驟；若不正確，請(qǐng)說明原因，并正確地求出嘉嘉去時(shí)的平均速度【解析】：淇淇同學(xué)的解法不正確；因?yàn)椤叭r(shí)的平均速度比返回時(shí)的平均速度快”并不等于“返回時(shí)的平均速度比去時(shí)的平均速度慢”設(shè)嘉嘉返回時(shí)的平均速度是x千米/時(shí)，則去時(shí)的平均速度是(1)x千米/時(shí)，由題意得7，解得x18.經(jīng)檢驗(yàn)，x18是方程的解，且符合題意(1)x24.所以嘉嘉去時(shí)的平均速度是24千米/時(shí)12. （2018邵陽）某公司計(jì)劃購(gòu)買A，B兩種型號(hào)的機(jī)器人搬運(yùn)材料已知A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)30kg材料，且A型機(jī)器人搬運(yùn)1000kg材料所用的時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)800kg材料所用的時(shí)間相同（1）求A，B兩種型號(hào)的機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少材料；（2）該公司計(jì)劃采購(gòu)A，B兩種型號(hào)的機(jī)器人共20臺(tái)，要求每小時(shí)搬運(yùn)材料不得少于2800kg，則至少購(gòu)進(jìn)A型機(jī)器人多少臺(tái)？【分析】（1）設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)x千克材料，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)（x+30）千克材料，根據(jù)A型機(jī)器人搬運(yùn)1000kg材料所用的時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)800kg材料所用的時(shí)間相同建立方程求出其解就可以得出結(jié)論（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型機(jī)器人a臺(tái)，根據(jù)每小時(shí)搬運(yùn)材料不得少于2800kg列出不等式并解答解析：（1）設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)x千克材料，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)（x+30）千克材料，根據(jù)題意，得=，解得x=120經(jīng)檢驗(yàn)，x=120是所列方程的解當(dāng)x=120時(shí)，x+30=150答：A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)150千克材料，B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)120千克材料；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型機(jī)器人a臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)B型機(jī)器人（20a）臺(tái)，根據(jù)題意，得150a+120（20a）2800，解得aa是整數(shù)，a14答：至少購(gòu)進(jìn)A型機(jī)器人14臺(tái)13. （2019山東威海7分）列方程解應(yīng)用題：小明和小剛約定周末到某體育公園打羽毛球他們兩家到體育公園的距離分別是1200米，3000米，小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時(shí)到達(dá)，則小明需提前4分鐘出發(fā)，求小明和小剛兩人的速度【分析】直接利用小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時(shí)到達(dá)，則小明需提前4分鐘出發(fā)，進(jìn)而得出等式求出答案【解答】解：設(shè)小明的速度是x米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是3x米/分鐘，根據(jù)題意可得：，解得：x50，經(jīng)檢驗(yàn)得：x50是原方程的根，故3x150，答：小明的速度是50米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是150米/分鐘14. （2018寧波）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品共用了2000元，乙種商品共用了2400元已知乙種商品每件進(jìn)價(jià)比甲種商品每件進(jìn)價(jià)多8元，且購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品件數(shù)相同（1）求甲、乙兩種商品的每件進(jìn)價(jià)；（2）該商場(chǎng)將購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品進(jìn)行銷售，甲種商品的銷售單價(jià)為60元，乙種商品的銷售單價(jià)為88元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)甲種商品銷量不好，商場(chǎng)決定：甲種商品銷售一定數(shù)量后，將剩余的甲種商品按原銷售單價(jià)的七折銷售；乙種商品銷售單價(jià)保持不變要使兩種商品全部售完后共獲利不少于2460元，問甲種商品按原銷售單價(jià)至少銷售多少件？解：（1）設(shè)甲種商品的每件進(jìn)價(jià)為x元，則乙種商品的每件進(jìn)價(jià)為（x+8）元根據(jù)題意，得， =，解得 x=40經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是原方程的解答：甲種商品的每件進(jìn)價(jià)為40元，乙種商品的每件進(jìn)價(jià)為48元；（2）甲乙兩種商品的銷售量為=50設(shè)甲種商品按原銷售單價(jià)銷售a件，則（6040）a+（60×0.740）（50a）+（8848）×502460，解得 a20答：甲種商品按原銷售單價(jià)至少銷售20件15. （2018·湖北省孝感·10分）“綠水青山就是金山銀山”，隨著生活水平的提高，人們對(duì)飲水品質(zhì)的需求越來越高，孝感市槐蔭公司根據(jù)市場(chǎng)需求代理A，B兩種型號(hào)的凈水器，每臺(tái)A型凈水器比每臺(tái)B型凈水器進(jìn)價(jià)多200元，用5萬元購(gòu)進(jìn)A型凈水器與用4.5萬元購(gòu)進(jìn)B型凈水器的數(shù)量相等（1）求每臺(tái)A型、B型凈水器的進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）槐蔭公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種型號(hào)的凈水器共50臺(tái)進(jìn)行試銷，其中A型凈水器為x臺(tái)，購(gòu)買資金不超過9.8萬元試銷時(shí)A型凈水器每臺(tái)售價(jià)2500元，B型凈水器每臺(tái)售價(jià)2180元，槐蔭公司決定從銷售A型凈水器的利潤(rùn)中按每臺(tái)捐獻(xiàn)a（70a80）元作為公司幫扶貧困村飲水改造資金，設(shè)槐蔭公司售完50臺(tái)凈水器并捐獻(xiàn)扶貧資金后獲得的利潤(rùn)為W，求W的最大值【分析】（1）設(shè)A型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為m元，則B型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為（m200）元，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合用5萬元購(gòu)進(jìn)A型凈水器與用4.5萬元購(gòu)進(jìn)B型凈水器的數(shù)量相等，即可得出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)購(gòu)買資金=A型凈水器的進(jìn)價(jià)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量+B型凈水器的進(jìn)價(jià)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量結(jié)合購(gòu)買資金不超過9.8萬元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，由總利潤(rùn)=每臺(tái)A型凈水器的利潤(rùn)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量+每臺(tái)B型凈水器的利潤(rùn)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量a×購(gòu)進(jìn)A型凈水器的數(shù)量，即可得出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題【解答】解：（1）設(shè)A型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為m元，則B型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為（m200）元，根據(jù)題意得：，解得：m=2000，經(jīng)檢驗(yàn)，m=2000是分式方程的解，m200=1800答：A型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為2000元，B型凈水器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)為1800元（2）根據(jù)題意得：2000x+180（50x）98000，解得：x40W=（25002000）x+（21801800）（50x）ax=（120a）x+19000，當(dāng)70a80時(shí)，120a0，W隨x增大而增大，當(dāng)x=40時(shí)，W取最大值，最大值為（120a）×40+19000=2380040a，W的最大值是（2380040a）元11