高三一輪復習 函數(shù)地性質(偏難題)含問題詳解

上傳人:無*** 文檔編號:84460815 上傳時間:2022-05-03 格式:DOC 頁數(shù):15 大?。?42.50KB
收藏 版權申訴 舉報 下載
高三一輪復習 函數(shù)地性質(偏難題)含問題詳解_第1頁
第1頁 / 共15頁
高三一輪復習 函數(shù)地性質(偏難題)含問題詳解_第2頁
第2頁 / 共15頁
高三一輪復習 函數(shù)地性質(偏難題)含問題詳解_第3頁
第3頁 / 共15頁

下載文檔到電腦,查找使用更方便

10 積分

下載資源

還剩頁未讀,繼續(xù)閱讀

資源描述:

《高三一輪復習 函數(shù)地性質(偏難題)含問題詳解》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高三一輪復習 函數(shù)地性質(偏難題)含問題詳解(15頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、word 函數(shù)的性質與其應用 教師用 函數(shù)的根本性質與函數(shù)的綜合運用是高考對函數(shù)內容考查的重中之重,其中函數(shù)單調性與奇偶性是高考命題的必考內容之一,有具體函數(shù),還會涉與抽象函數(shù)。函數(shù)單調性是函數(shù)在定義域內某個區(qū)間上的性質,函數(shù)奇偶性是函數(shù)在整個定義域上的性質。研究根本性質,不可忽略定義域對函數(shù)性質的影響。函數(shù)定義域表現(xiàn)了函數(shù)圖像左右方向的延伸程度,而值域又表現(xiàn)了函數(shù)圖像在上下方向上的延伸程度。對函數(shù)單調性要深入復習,深刻理解單調性定義,熟練運用單調性定義證明或判斷一個函數(shù)的單調性,掌握單調區(qū)間的求法,掌握單調性與奇偶性之間的聯(lián)系。掌握單調性的重要運用,如求最值、解不等式、求參數(shù)X圍等,掌

2、握抽象函數(shù)單調性的判斷方法等等。要充分重視運用方程與函數(shù)、等價轉換、分類討論與數(shù)形結合等數(shù)學思想,運用別離變量方法解決函數(shù)相關問題,并圍繞函數(shù)單調性分析解決函數(shù)綜合問題。 一、 函數(shù)與反函數(shù) 例1.〔1〕A={1,2,3},B={4,5},如此以A為定義域,B為值域的函數(shù)共有 6 個. 解:從A到B建立映射共有23=8個,其中由2個映射的像集是{4}和{5},把這2個映射去掉,其它映射的像集都是{4,5},函數(shù)的本質是一個數(shù)集到另一個數(shù)集的映射,所以,構成以A為定義域,B為值域的不同的函數(shù)共有8﹣2=6個,故答案為6. 〔2〕、〔2012?徐匯區(qū)一?!澈瘮?shù)f〔x〕=x2﹣1的定義域

3、為D,值域為{﹣1,0,1},試確定這樣的集合D最多有 9 個. 解:∵f〔x〕=x2﹣1,∴f〔0〕=﹣1,f〔±1〕=0,f〔±〕=1 因此,定義域D有:{0,1,},{0,﹣1,﹣},{0,﹣1,},{0,1,﹣},{0,﹣1,1,},{0,﹣1,1,﹣},{0,1,,﹣}, {0,﹣1,,﹣},{0,﹣1,1,,﹣}共9種情況,故答案為:9 〔3〕〔2013?某某〕對區(qū)間I上有定義的函數(shù)g〔x〕,記g〔I〕={y|y=g〔x〕,x∈I}.定義域為[0,3]的函數(shù)y=f〔x〕有反函數(shù)y=f﹣1〔x〕,且f﹣1〔[0,1〕〕=[1,2〕,f﹣1〔〔2,4]〕=[0,1〕.假如方

4、程f〔x〕﹣x=0有解x0,如此x0= 2?。? 解:因為g〔I〕={y|y=g〔x〕,x∈I},f﹣1〔[0,1〕〕=[1,2〕,f﹣1〔2,4]〕=[0,1〕, 所以對于函數(shù)f〔x〕,當x∈[0,1〕時,f〔x〕∈〔2,4],所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無解;當x∈[1,2〕時,f〔x〕∈[0,1〕,所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無解;所以當x∈[0,2〕時方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無解,又因為方程f〔x〕﹣x=0有解x0,且定義域為[0,3],故當x∈[2,3]時,f〔x〕的取值應屬于集合〔﹣∞,0〕∪[1,2]∪〔4,+∞〕,故假如f〔x0〕=x0,只有

5、x0=2,故答案為:2. 二、 函數(shù)值域與最值求法 例2、〔1〕〔2011?某某〕設g〔x〕 是定義在R 上,以1為周期的函數(shù),假如函數(shù)f〔x〕=x+g〔x〕 在區(qū)間[0,1]上的值域為[﹣2,5],如此f〔x〕 在區(qū)間[0,3]上的值域為 [﹣2,7]. 解:g〔x〕為R上周期為1的函數(shù),如此g〔x〕=g〔x+1〕 函數(shù)f〔x〕=x+g〔x〕在區(qū)間[0,1]【正好是一個周期區(qū)間長度】的值域是[﹣2,5],令x+1=t,當x∈[0,1]時,t=x+1∈[1,2],此時,f〔t〕=t+g〔t〕=〔x+1〕+g〔x+1〕=〔x+1〕+g〔x〕 =[x+g〔x〕]+1 ,所以,在t∈[

6、1,2]時,f〔t〕∈[﹣1,6]…〔1〕 同理,令x+2=t,在當x∈[0,1]時,t=x+2∈[2,3] 此時,f〔t〕=t+g〔t〕=〔x+2〕+g〔x+2〕=〔x+2〕+g〔x〕 =[x+g〔x〕]+2 所以,當t∈[2,3]時,f〔t〕∈[0,7]…〔2〕 由條件與〔1〕〔2〕得到,f〔x〕在區(qū)間[0,3]上的值域為[﹣2,7] 故答案為:[﹣2,7]. 〔2〕〔2013?黃浦區(qū)二?!?,假如存在區(qū)間[a,b]?〔0,+∞〕,使得 {y|y=f〔x〕,x∈[a,b]}=[ma,mb],如此實數(shù)m的取值X圍是 〔0,4〕 . 解:∵f〔x〕=4﹣在〔0,+∞〕是增

7、函數(shù),∴f〔x〕在x∈[a,b]上值域為 [f〔a〕,f〔b〕],所以f〔a〕=ma且f〔b〕=mb,即4﹣=ma且4﹣=mb, 所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0,所以mx2﹣4x+1=0必須有兩個不相等的正根,故m≠0,∴,解得0<m<4. ∴實數(shù)m的取值X圍是〔0,4〕.故答案為:〔0,4〕. 〔3〕.〔2012?虹口區(qū)一?!澈瘮?shù)f〔x〕=2x+a,g〔x〕=x2﹣6x+1,對于任意的都能找到,使得g〔x2〕=f〔x1〕,如此實數(shù)a的取值X圍是 [﹣2,6]. 解:∵函數(shù)f〔x〕=2x+a,g〔x〕=x2﹣6x+1,∴x1∈[﹣1,1]時,f〔x〕的值域就是[a

8、﹣2,a+2],要使上述X圍內總能找到x2滿足 g〔x2〕=f〔x1〕,即g〔x〕的值域要包含[a﹣2,a+2],∵g〔x〕是一個二次函數(shù),在[﹣1,1]上單調遞減, ∴值域為[﹣4,8],因此,解得﹣2≤a≤6.故答案為:[﹣2,6]. 三、 函數(shù)單調性與奇偶性 例3、〔1〕〔2013?資陽一模〕函數(shù) 假如f〔2m+1〕>f〔m2﹣2〕,如此實數(shù)m的取值X圍是 〔﹣1,3〕?。? 解:∵x≤1時,函數(shù)y=﹣x2+2x+1=﹣〔x﹣1〕2+2,在〔﹣∞,1]上單調遞增;x>1時,函數(shù)y=x3+1在〔1,+∞〕上單調遞增,又x≤1時,﹣x2+2x+1≤2,x>1時, x3+1>2,

9、∴函數(shù),∴函數(shù)在R上單調增, ∴2m+1>m2﹣2,∴m2﹣2m﹣3<0,∴﹣1<m<3,故答案為:〔﹣1,3〕 〔2〕是R上的增函數(shù),那么a的取值X圍是  〔1,3〕?。? 解:∵是R上的增函數(shù), ∴∴a∈〔1,3〕故答案為:〔1,3〕 〔3〕〔2012?某某〕y=f〔x〕是奇函數(shù),假如g〔x〕=f〔x〕+2且g〔1〕=1,如此g〔﹣1〕= 3 . 解:由題意y=f〔x〕是奇函數(shù),g〔x〕=f〔x〕+2 ∴g〔x〕+g〔﹣x〕=f〔x〕+2+f〔﹣x〕+2=4,又g〔1〕=1 ∴1+g〔﹣1〕=4,解得g〔﹣1〕=3,故答案為3 〔4〕f〔x〕為R上的偶函數(shù),g〔x〕

10、為R上的奇函數(shù)且過〔﹣1,3〕,g〔x〕=f〔x﹣1〕,如此f〔2012〕+f〔2013〕= ﹣3?。? 解:由f〔x〕為R上的偶函數(shù),g〔x〕為R上的奇函數(shù),得f〔﹣x〕=f〔x〕,g〔﹣x〕=﹣g〔x〕,且g〔0〕=0,由g〔x〕=f〔x﹣1〕,得f〔x〕=g〔x+1〕=﹣g〔﹣x﹣1〕=﹣f〔﹣x﹣2〕=﹣f〔x+2〕,即f〔x〕=﹣f〔x+2〕,所以f〔x+4〕=﹣f〔x+2〕=﹣[﹣f〔x〕]=f〔x〕,故f〔x〕是周期為4的周期函數(shù),所以f〔2012〕=f〔4×503〕=f〔0〕=g〔1〕=﹣g〔﹣1〕=﹣3,f〔2013〕=f〔4×503+1〕=f〔1〕=f〔﹣1〕=g〔0〕

11、=0,所以f〔2012〕+f〔2013〕=﹣3,故答案為:﹣3. 四、 函數(shù)的周期性 例4、〔1〕奇函數(shù)滿足的值為?????????? ?。    解: ?     〔2〕設函數(shù)y=f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f〔x﹣2〕=﹣f〔x〕對一切x∈R都成立,又當x∈[﹣1,1]時,f〔x〕=x3,如此如下四個命題:①函數(shù)y=f〔x〕是以4為周期的周期函數(shù);②當x∈[1,3]時,f〔x〕=〔2﹣x〕3; ③函數(shù)y=f〔x〕的圖象關于x=1對稱;④函數(shù)y=f〔x〕的圖象關于〔2,0〕對稱.其中正確的命題是 ?、佗冖邰堋。? 解:∵函數(shù)y=f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù),∴f〔﹣x

12、〕=﹣f〔x〕, ∵f〔x﹣2〕=﹣f〔x〕對一切x∈R都成立,∴f〔x﹣4〕=f〔x〕,∴函數(shù)y=f〔x〕是以4為周期的周期函數(shù),故①正確.當x∈[1,3]時,x﹣2∈∈[﹣1,1],f〔x﹣2〕=〔x﹣2〕3=﹣f〔x〕,∴f〔x〕=〔2﹣x〕3,故②正確.∵f〔x﹣2〕=﹣f〔x〕, ∴f〔1+x〕=f〔1﹣x〕,∴函數(shù)y=f〔x〕的圖象關于x=1對稱,故③正確. ∵當x∈[1,3]時,f〔x〕=〔2﹣x〕3,∴f〔2〕=0,∵f〔x﹣2〕=﹣f〔x〕, ∴f〔﹣x﹣2〕=﹣f〔﹣x〕=f〔x〕=﹣f〔x﹣2〕,∴f〔x+2〕=﹣f〔x﹣2〕,∴函數(shù)y=f〔x〕的圖象關于〔2,0

13、〕對稱.故正確的命題有 ①②③④,故答案選 ①②③④. 〔2〕假如f〔n〕為n2+1〔n∈N*〕的各位數(shù)字之和,如 142+1=197,1+9+7=17如此f〔14〕=17,記f1〔n〕=f〔n〕,f2〔n〕=f[f1〔n〕],…,fk+1〔n〕=f[fk〔n〕]k∈N*,如此f2010〔8〕= 8?。? 解:f1〔8〕=f〔8〕=64+1=656+5=11,f2〔8〕=f[f1〔8〕]=f〔11〕=121+1=122=1+2+2=5 f3〔8〕=f[f2〔8〕]=f〔5〕=25+1=26=8,f4〔8〕=f[f3〔8〕]=f〔8〕 …所以f2010〔8〕=f3〔8〕=8,故答案為

14、:8 五、 函數(shù)圖像的對稱性 例5、〔1〕函數(shù)為偶函數(shù),如此函數(shù)圖像關于直線對稱,函數(shù)圖像關于直線對稱。 解:圖像關于直線 對稱,函數(shù)圖像關于直線 對稱。 〔2〕設.如此 1006?。? 解:假如a+b=1,如此f〔a〕+f〔b〕== ===1, 所以 =[f〔〕+f〔〕]+[f〔〕+f〔〕]+…+[f〔〕+f〔〕] =1+1+…+1=1006.故答案為:1006. 〔3〕函數(shù)f〔x〕的定義域為R,如此如下命題中: ①假如f〔x﹣2〕是偶函數(shù),如此函數(shù)f〔x〕的圖象關于直線x=2對稱;②假如f〔x+2〕=﹣f〔x﹣2〕,如此函數(shù)f〔x〕的圖象關于原點對稱;③函

15、數(shù)y=f〔2+x〕與函數(shù)y=f〔2﹣x〕的圖象關于直線x=2對稱;④函數(shù)y=f〔x﹣2〕與函數(shù)y=f〔2﹣x〕的圖象關于直線x=2對稱.其中正確的命題序號是?、堋。? 解:①不正確.因為f〔x﹣2〕的圖象是由f〔x〕的圖象向右平移兩個單位而得到,結合f〔x﹣2〕是偶函數(shù)知,f〔x〕的圖象關于x=﹣2對稱, ②由f〔x+2〕=﹣f〔x﹣2〕變形得f〔x+8〕=f〔x〕是周期函數(shù).不能得出函數(shù)f〔x〕的圖象關于原點對稱,故不正確.③不正確,因為函數(shù)y=f〔2+x〕是由f〔x〕向左平移2個單位,函數(shù)y=f〔2﹣x〕的圖象是由f〔﹣x〕的圖象向右平移2個單位,故兩函數(shù)的圖象仍然關于原點對

16、稱. ④如下列圖,正確.故答案為:④ . 六、函數(shù)性質的綜合應用 例6、〔2013?某某春季〕真命題:“函數(shù)y=f〔x〕的圖象關于點P〔a,b〕成中心對稱圖形〞的充要條件為“函數(shù)y=f〔x+a〕﹣b 是奇函數(shù)〞. 〔1〕將函數(shù)g〔x〕=x3﹣3x2的圖象向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖象對應的函數(shù)解析式,并利用題設中的真命題求函數(shù)g〔x〕圖象對稱中心的坐標; 〔2〕求函數(shù)h〔x〕= 圖象對稱中心的坐標; 〔3〕命題:“函數(shù) y=f〔x〕的圖象關于某直線成軸對稱圖象〞的充要條件為“存在實數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f〔x+a〕﹣b 是偶函數(shù)〞.判斷該命題的真假.如果是真命題

17、,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設的真命題對它進展修改,使之成為真命題〔不必證明〕. 解:〔1〕平移后圖象對應的函數(shù)解析式為y=〔x+1〕3﹣3〔x+1〕2+2,整理得y=x3﹣3x,由于函數(shù)y=x3﹣3x是奇函數(shù),由題設真命題知,函數(shù)g〔x〕圖象對稱中心的坐標是〔1,﹣2〕. 〔2〕設h〔x〕= 的對稱中心為P〔a,b〕,由題設知函數(shù)h〔x+a〕﹣b是奇函數(shù).設f〔x〕=h〔x+a〕﹣b如此f〔x〕=﹣b,即f〔x〕=.由不等式的解集關于原點對稱,得a=2. 此時f〔x〕=﹣b,x∈〔﹣2,2〕. 任取x∈〔﹣2,2〕,由f〔﹣x〕+f〔x〕=0,得b=1, 所

18、以函數(shù)h〔x〕= 圖象對稱中心的坐標是〔2,1〕. 〔3〕此命題是假命題.舉反例說明:函數(shù)f〔x〕=x的圖象關于直線y=﹣x成軸對稱圖象,但是對任意實數(shù)a和b,函數(shù)y=f〔x+a〕﹣b,即y=x+a﹣b總不是偶函數(shù). 修改后的真命題:“函數(shù)y=f〔x〕的圖象關于直線x=a成軸對稱圖象〞的充要條件是“函數(shù)y=f〔x+a〕是偶函數(shù)〞. 例7、函數(shù)f〔x〕=ax2+bx+1,a,b為實數(shù),a≠0,x∈R,F(xiàn)〔x〕=, 〔1〕假如f〔﹣1〕=0,且函數(shù)f〔x〕的值域為[0,+∞〕,求F〔x〕的表達式; 〔2〕在〔1〕的條件下,當x∈[﹣1,1]時,g〔x〕=f〔x〕+kx是單調函數(shù),某某數(shù)k

19、的取值X圍; 〔3〕設mn<0,m+n>0,a>0,且函數(shù)f〔x〕為偶函數(shù),判斷F〔m〕+F〔n〕是否大于0. 解:〔1〕依題意,有,解得,∴f〔x〕=x2+2x+1, ∴ 〔2〕由〔1〕得g〔x〕=f〔x〕+kx=x2+2x+1+kx=x2+〔k+2〕x+1, ∴函數(shù)g〔x〕的對稱軸x=,∵g〔x〕在區(qū)間[﹣1,1]上是單調函數(shù), ∴.解得 k≥0,或k≤﹣4. ∴實數(shù)k的取值X圍為〔﹣∞,﹣4]∪[0,+∞〕, 〔3〕∵f〔x〕=ax2+bx+1為偶函數(shù),∴b=0,即f〔x〕=ax2+1〔a>0〕, ∴ ∵mn<0,m+n>0,a>0,不妨設n<0<m,如此有

20、0<﹣n<m, ∴m﹣n>0,m+n>0.∵F〔m〕+F〔n〕=am2+1﹣an2﹣1=a〔m+n〕〔m﹣n〕, ∴F〔m〕+F〔n〕>0. 例8、〔2012?某某〕f〔x〕=lg〔x+1〕 〔1〕假如0<f〔1﹣2x〕﹣f〔x〕<1,求x的取值X圍; 〔2〕假如g〔x〕是以2為周期的偶函數(shù),且當0≤x≤1時,g〔x〕=f〔x〕,求函數(shù)y=g〔x〕〔x∈[1,2]〕的反函數(shù). 解:〔1〕由解得:﹣1<x<1. 由0<lg〔2﹣2x〕﹣lg〔x+1〕=lg<1得:1<<10, ∵x+1>0,∴x+1<2﹣2x<10x+10, ∴.由得:. 〔2〕當x∈[1,2]時,2﹣x

21、∈[0,1],∴y=g〔x〕=g〔x﹣2〕=g〔2﹣x〕=f〔2﹣x〕=lg〔3﹣x〕,由單調性可知y∈[0,lg2],又∵x=3﹣10y, ∴所求反函數(shù)是y=3﹣10x,x∈[0,lg2]. 例9、〔2012?盧灣區(qū)二?!硨τ诙x域為D的函數(shù)y=f〔x〕,假如有常數(shù)M,使得對任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D滿足等式,如此稱M為函數(shù)y=f 〔x〕的“均值〞.〔1〕判斷1是否為函數(shù)f〔x〕=2x+1〔﹣1≤x≤1〕的“均值〞,請說明理由; 〔2〕假如函數(shù)f〔x〕=ax2﹣2x〔1<x<2,a為常數(shù)〕存在“均值〞,某某數(shù)a的取值X圍; 〔3〕假如函數(shù)f〔x〕是單調函數(shù),且其值域為區(qū)間I.

22、試探究函數(shù)f〔x〕的“均值〞情況〔是否存在、個數(shù)、大小等〕與區(qū)間I之間的關系,寫出你的結論〔不必證明〕. 解:〔1〕對任意的x1∈[﹣1,1],有﹣x1∈[﹣1,1], 當且僅當x2=﹣x1時,有, 故存在唯一x2∈[﹣1,1],滿足, 所以1是函數(shù)f〔x〕=2x+1〔﹣1≤x≤1〕的“均值〞. 〔2〕當a=0時,f〔x〕=﹣2x〔1<x<2〕存在“均值〞,且“均值〞為﹣3; 當a≠0時,由f〔x〕=ax2﹣2x〔1<x<2〕存在均值,可知對任意的x1, 都有唯一的x2與之對應,從而有f〔x〕=ax2﹣2x〔1<x<2〕單調,故有或,解得a≥1或a<0或,綜上,a的取值X圍是

23、或a≥1.          〔3〕①當I=〔a,b〕或[a,b]時,函數(shù)f〔x〕存在唯一的“均值〞. 這時函數(shù)f〔x〕的“均值〞為;  ②當I為〔﹣∞,+∞〕時,函數(shù)f〔x〕存在無數(shù)多個“均值〞. 這時任意實數(shù)均為函數(shù)f〔x〕的“均值〞;      ③當I=〔a,+∞〕或〔﹣∞,a〕或[a,+∞〕或〔﹣∞,a]或[a,b〕或〔a,b]時, 函數(shù)f〔x〕不存在“均值〞.           ①當且僅當I形如〔a,b〕、[a,b]其中之一時,函數(shù)f〔x〕存在唯一的“均值〞. 這時函數(shù)f〔x〕的“均值〞為;  ②當且僅當I為〔﹣∞,+∞〕時,函數(shù)f〔x〕存在無數(shù)多個“均值〞.

24、這時任意實數(shù)均為函數(shù)f〔x〕的“均值〞;      ③當且僅當I形如〔a,+∞〕、〔﹣∞,a〕、[a,+∞〕、〔﹣∞,a]、[a,b〕、〔a,b]其中之一時,函數(shù)f〔x〕不存在“均值〞. 例10、函數(shù)y=f〔x〕,x∈R滿足f〔x+1〕=af〔x〕,a是不為0的實常數(shù). 〔1〕假如當0≤x≤1時,f〔x〕=x〔1﹣x〕,求函數(shù)y=f〔x〕,x∈[0,1]的值域; 〔2〕在〔1〕的條件下,求函數(shù)y=f〔x〕,x∈[n,n+1〕,n∈N的解析式; 〔3〕假如當0<x≤1時,f〔x〕=3x,試研究函數(shù)y=f〔x〕在區(qū)間〔0,+∞〕上是否可能是單調函數(shù)?假如可能,求出a的取值X圍;假如不可能

25、,請說明理由. 解:〔1〕∵,∴. 〔2〕當n≤x≤n+1〔n≥0,n∈Z〕時,fn〔x〕=afn﹣1〔x﹣1〕=a2fn﹣1〔x﹣2〕 ═anf1〔x﹣n〕,fn〔x〕=an〔x﹣n〕〔n+1﹣x〕. 〔3〕當n≤x≤n+1〔n≥0,n∈Z〕時,fn〔x〕=afn﹣1〔x﹣1〕=a2fn﹣1〔x﹣2〕 ═anf1〔x﹣n〕,∴fn〔x〕=an?3x﹣n;顯然fn〔x〕=an?3x﹣n,x∈[n,n+1],n≥0,n∈Z當a>0時是增函數(shù),此時∴fn〔x〕∈[an,3an],假如函數(shù)y=f〔x〕在區(qū)間[0,+∞〕上是單調增函數(shù),如此必有an+1≥3an,解得:a≥3;顯然當a<0

26、時,函數(shù)y=f〔x〕在區(qū)間[0,+∞〕上不是單調函數(shù);所以a≥3. 七、實戰(zhàn)演練 一.填空題 1、〔2009?某某〕將函數(shù)〔x∈[0,6]〕的圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉角θ〔0≤θ≤α〕,得到曲線C.假如對于每一個旋轉角θ,曲線C都是一個函數(shù)的圖象,如此α的最大值為 arctan. 解:先畫出函數(shù)〔x∈[0,6]〕的圖象,這是一個圓弧,圓心為M〔3,﹣2〕,由圖可知當此圓弧繞坐標原點逆時針方向旋轉角大于∠MAB時,曲線C都不是一個函數(shù)的圖象,∴∠MAB=arctan,故答案為:arctan 2、〔2013?某某〕對區(qū)間I上有定義的函數(shù)g〔x〕,記g〔I〕={y|y=g〔x〕

27、,x∈I}.定義域為[0,3]的函數(shù)y=f〔x〕有反函數(shù)y=f﹣1〔x〕,且f﹣1〔[0,1〕〕=[1,2〕,f﹣1〔〔2,4]〕=[0,1〕.假如方程f〔x〕﹣x=0有解x0,如此x0= 2 . 解:因為g〔I〕={y|y=g〔x〕,x∈I},f﹣1〔[0,1〕〕=[1,2〕,f﹣1〔2,4]〕=[0,1〕, 所以對于函數(shù)f〔x〕,當x∈[0,1〕時,f〔x〕∈〔2,4],所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無解;當x∈[1,2〕時,f〔x〕∈[0,1〕,所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無解;所以當x∈[0,2〕時方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無解,又因為方程f〔x〕﹣x

28、=0有解x0,且定義域為[0,3],故當x∈[2,3]時,f〔x〕的取值應屬于集合〔﹣∞,0〕∪[1,2]∪〔4,+∞〕,故假如f〔x0〕=x0,只有x0=2,故答案為:2. 3、〔2008?某某〕設函數(shù)y=f〔x〕存在反函數(shù)y=f﹣1〔x〕,且函數(shù)y=x﹣f〔x〕的圖象過點〔1,2〕,如此函數(shù)y=f﹣1〔x〕﹣x的圖象一定過點 〔﹣1,2〕?。? 解析:由函數(shù)y=x﹣f〔x〕的圖象過點〔1,2〕得:f〔1〕=﹣1,即函數(shù)y=f〔x〕過點〔1,﹣1〕,如此其反函數(shù)過點〔﹣1,1〕,所以函數(shù)y=f﹣1〔x〕﹣x的圖象一定過點〔﹣1,2〕. 3、〔2011?某某〕設g〔x〕 是定義在R 上

29、,以1為周期的函數(shù),假如函數(shù)f〔x〕=x+g〔x〕 在區(qū)間[0,1]上的值域為[﹣2,5],如此f〔x〕 在區(qū)間[0,3]上的值域為 [﹣2,7]. 解:g〔x〕為R上周期為1的函數(shù),如此g〔x〕=g〔x+1〕 ,函數(shù)f〔x〕=x+g〔x〕在區(qū)間[0,1]【正好是一個周期區(qū)間長度】的值域是[﹣2,5],令x+1=t,當x∈[0,1]時,t=x+1∈[1,2],此時,f〔t〕=t+g〔t〕=〔x+1〕+g〔x+1〕=〔x+1〕+g〔x〕 =[x+g〔x〕]+1 ,所以,在t∈[1,2]時,f〔t〕∈[﹣1,6]…〔1〕 同理,令x+2=t,在當x∈[0,1]時,t=x+2∈[2

30、,3],此時,f〔t〕=t+g〔t〕 =〔x+2〕+g〔x+2〕=〔x+2〕+g〔x〕 =[x+g〔x〕]+2,所以,當t∈[2,3]時,f〔t〕∈[0,7]…〔2〕 由條件與〔1〕〔2〕得到,f〔x〕在區(qū)間[0,3]上的值域為[﹣2,7] 故答案為:[﹣2,7]. 4、〔2011?閘北區(qū)二?!吃Of〔x〕是R上的奇函數(shù),g〔x〕是R上的偶函數(shù),假如函數(shù)f〔x〕+g〔x〕的值域為[1,3〕,如此f〔x〕﹣g〔x〕的值域為 〔﹣3,﹣1]. 解:由f〔x〕是R上的奇函數(shù),g〔x〕是R上的偶函數(shù),得到f〔﹣x〕=﹣f〔x〕,g〔﹣x〕=g〔x〕,∵1≤f〔x〕+g〔x〕<3,且f〔x

31、〕和g〔x〕的定義域都為R, 把x換為﹣x得:1≤f〔﹣x〕+g〔﹣x〕<3,變形得:1≤﹣f〔x〕+g〔x〕<3,即﹣3<f〔x〕﹣g〔x〕≤﹣1,如此f〔x〕﹣g〔x〕的值域為〔﹣3,﹣1]. 故答案為:〔﹣3,﹣1] 5、在直角坐標系中,如果兩點A〔a,b〕,B〔﹣a,﹣b〕在函數(shù)y=f〔x〕的圖象上,那么稱[A,B]為函數(shù)f〔x〕的一組關于原點的中心對稱點〔[A,B]與[B,A]看作一組〕.函數(shù)g〔x〕=關于原點的中心對稱點的組數(shù)為 2?。? 解:由題意可知g〔x〕=sin,x≤0,如此函數(shù)g〔x〕=sin,x≤0, 關于原點對稱的函數(shù)為h〔x〕=sin,x>0,如此坐標系

32、中分別作出函數(shù)h〔x〕=sin,x>0,g〔x〕=log4〔x+1〕,x>0的圖象如題,由圖象可知,兩個圖象的交點個數(shù)有2個,所以函數(shù)g〔x〕=關于原點的中心對稱點的組數(shù)為2組.故答案為:2. 6.〔2013?某某〕設a為實常數(shù),y=f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f〔x〕=9x++7.假如f〔x〕≥a+1對一切x≥0成立,如此a的取值X圍為. . 解:因為y=f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù),所以當x=0時,f〔x〕=0; 當x>0時,如此﹣x<0,所以f〔﹣x〕=﹣9x﹣+7,因為y=f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù),所以f〔x〕=9x+﹣7;因為f〔x〕≥a+1對一切x≥

33、0成立,所以當x=0時,0≥a+1成立,所以a≤﹣1;當x>0時,9x+﹣7≥a+1成立,只需要9x+﹣7的最小值≥a+1,因為9x+﹣7≥2=6|a|﹣7,所以6|a|﹣7≥a+1, 解得,所以.故答案為. 7.〔2012?某某〕假如f〔x〕=為奇函數(shù),如此實數(shù)m= ﹣2?。? 解:∵f〔x〕=為奇函數(shù),∴f〔﹣1〕=﹣f〔1〕 即m﹣1=3〔1+m〕∴m=﹣2故答案為:﹣2 8.〔2012?某某〕函數(shù)f〔x〕=e|x﹣a|〔a為常數(shù)〕.假如f〔x〕在區(qū)間[1,+∞〕上是增函數(shù),如此a的取值X圍是 〔﹣∞,1]. 解:因為函數(shù)f〔x〕=e|x﹣a|〔a為常數(shù)〕.假如f〔x〕

34、在區(qū)間[1,+∞〕上是增函數(shù) 由復合函數(shù)的單調性知,必有t=|x﹣a|在區(qū)間[1,+∞〕上是增函數(shù),又t=|x﹣a|在區(qū)間[a,+∞〕上是增函數(shù),所以[1,+∞〕?[a,+∞〕,故有a≤1,故答案為〔﹣∞,1] 9.〔2012?某某〕y=f〔x〕+x2是奇函數(shù),且f〔1〕=1,假如g〔x〕=f〔x〕+2, 如此g〔﹣1〕= ﹣1 . 解:由題意,y=f〔x〕+x2是奇函數(shù),且f〔1〕=1,所以f〔1〕+1+f〔﹣1〕+〔﹣1〕2=0解得f〔﹣1〕=﹣3,所以g〔﹣1〕=f〔﹣1〕+2=﹣3+2=﹣1,故答案為﹣1 10.〔2013?某某〕f〔x〕是定義域為R的偶函數(shù),當x≥0時,

35、f〔x〕=x2﹣4x,那么,不等式f〔x+2〕<5的解集是 〔﹣7,3〕?。? 解:因為f〔x〕為偶函數(shù),所以f〔|x+2|〕=f〔x+2〕,如此f〔x+2〕<5可化為 f〔|x+2|〕<5,即|x+2|2﹣4|x+2|<5,〔|x+2|+1〕〔|x+2|﹣5〕<0,所以|x+2|<5,解得﹣7<x<3,所以不等式f〔x+2〕<5的解集是〔﹣7,3〕.故答案為:〔﹣7,3〕. 11.〔2013?黃浦區(qū)二?!?,假如存在區(qū)間,使得{y|y=f〔x〕,x?[a,b]}=[ma,mb],如此實數(shù)m的取值X圍是 〔0,4]. 解:因為函數(shù)在上為減函數(shù),所以函數(shù)在上為增函數(shù),因為區(qū)間,由{y

36、|y=f〔x〕,x∈[a,b]}=[ma,mb],如此,即. 說明方程有兩個大于實數(shù)根.由得:. 零,如此t∈〔0,3〕.如此m=﹣t2+4t=﹣〔t﹣2〕2+4.由t∈〔0,3〕, 所以m∈〔0,4].所以使得{y|y=f〔x〕,x∈[a,b]}=[ma,mb]的實數(shù)m的取值X圍是〔0,4].故答案為〔0,4]. 12.f〔x〕為R上的偶函數(shù),g〔x〕為R上的奇函數(shù)且過〔﹣1,3〕,g〔x〕=f〔x﹣1〕,如此f〔2012〕+f〔2013〕= ﹣3?。? 解:由f〔x〕為R上的偶函數(shù),g〔x〕為R上的奇函數(shù),得f〔﹣x〕=f〔x〕, g〔﹣x〕=﹣g〔x〕,且g〔0〕=0,由g

37、〔x〕=f〔x﹣1〕,得f〔x〕=g〔x+1〕 =﹣g〔﹣x﹣1〕=﹣f〔﹣x﹣2〕=﹣f〔x+2〕,即f〔x〕=﹣f〔x+2〕, 所以f〔x+4〕=﹣f〔x+2〕=﹣[﹣f〔x〕]=f〔x〕,故f〔x〕是周期為4的周期函數(shù), 所以f〔2012〕=f〔4×503〕=f〔0〕=g〔1〕=﹣g〔﹣1〕=﹣3, f〔2013〕=f〔4×503+1〕=f〔1〕=f〔﹣1〕=g〔0〕=0, 所以f〔2012〕+f〔2013〕=﹣3,故答案為:﹣3. 13.設函數(shù)f〔x〕,g〔x〕的定義域分別為Df,Dg,且Df?Dg.假如對于任意x∈Df,都有g〔x〕=f〔x〕,如此稱函數(shù)g〔x〕為f〔x〕

38、在Dg上的一個延拓函數(shù).設f〔x〕=x2+2x,x∈〔﹣∞,0],g〔x〕為f〔x〕在R上的一個延拓函數(shù),且g〔x〕是偶函數(shù),如此 g〔x〕= x2﹣2|x|?。? 解:由題意可得當x≤0時,g〔x〕=f〔x〕=x2+2x,由函數(shù)g〔x〕為偶函數(shù)可得, g〔﹣x〕=g〔x〕,當x>0時,如此﹣x<0,g〔﹣x〕=x2﹣2x,如此g〔x〕=x2﹣2x ∴g〔x〕=x2﹣2|x|,故答案為:x2﹣2|x| 14.〔2013?普陀區(qū)一模〕函數(shù),設a>b≥0,假如f〔a〕=f〔b〕,如此b?f〔a〕的取值X圍是. 解:由函數(shù),作出其圖象如圖,因為函數(shù)f〔x〕在[0,1〕和[1,+∞〕

39、上都是單調函數(shù),所以,假如滿足a>b≥0,時f〔a〕=f〔b〕, 必有b∈[0,1〕,a∈[1,+∞〕,由圖可知,使f〔a〕=f〔b〕的b∈[,1〕, f〔a〕∈[,2〕.由不等式的可乘積性得:b?f〔a〕∈[,2〕.故答案為[,2〕. 15. f〔x〕是定義在R上的函數(shù),且對任意x∈R,都有f〔x+3〕≤f〔x〕+3和f〔x+2〕≥f〔x〕+2,假如f〔998〕=1002,如此f〔2012〕= 2016 . 解:由f〔x+3〕≤f〔x〕+3,得f〔x+6〕≤f〔x+3〕+3≤f〔x〕+6; 由f〔x+2〕≥f〔x〕+2,得f〔x+6〕≥f〔x+4〕+2≥f〔x+2〕+4≥f

40、〔x〕+6, 所以f〔x〕+6≤f〔x+6〕≤f〔x〕+6,即f〔x+6〕=f〔x〕+6. 所以f〔2012〕=f〔998+169×6〕=f〔998+168×6〕+6=f〔998+167×6〕+12=…=f〔998〕+169×6=1002+1014=2016.故答案為:2016. 16.〔2010?西城區(qū)一模〕設函數(shù)f〔x〕的定義域為D.假如存在非零實數(shù)l使得對于任意x∈M.有x+l∈D,且f〔x+l〕≥f〔x〕,如此稱f〔x〕為M上的l高調函數(shù),如果定義域是[﹣1,+∞〕的函數(shù)f〔x〕=x2為[﹣1,+∞〕上的m高調函數(shù).某某數(shù)m的取值X圍. 解:在[﹣1,+∞〕上的任意x〔設x

41、=x+m〕有y≥﹣1恒成立,如此x+m≥﹣1恒成立,即m≥﹣1﹣x恒成立.對于x∈[﹣1,+∞〕,當x=﹣1時﹣1﹣x最大為0,所以有m≥0.又因為f〔x+m〕≥f〔x〕,即〔x+m〕2≥x2在x∈[﹣1,+∝〕上恒成立,化簡得m2+2mx≥0,又因為m≥0,所以m+2x≥0即m≥﹣2x恒成立,當x=﹣1時﹣2x最大為2,所以m≥2,綜上可知m≥2. 17.定義在R上的函數(shù)f〔x〕滿足f〔m+n2〕=f〔m〕+2[f〔n〕]2,其中m,n∈R,且f〔1〕≠0.如此f〔2013〕= 4024[f〔1〕]2 +f〔1〕?。? 解:由題意知,f〔2013〕=f〔2012+12〕=f〔2012〕

42、+2[f〔1〕]2, f〔2012〕=f〔2011〕+2[f〔1〕]2, f〔2011〕=f〔2010〕+2[f〔1〕]2, f〔2010〕=f〔2009〕+2[f〔1〕]2, … f〔2〕=f〔1〕+2[f〔1〕]2, 故有f〔2013〕=f〔1〕+2[f〔1〕]2×2012=4024[f〔1〕]2+f〔1〕 故答案為 4024[f〔1〕]2 +f〔1〕 18.〔2013?某某模擬〕定義域為[a,b]的函數(shù)y=f〔x〕圖象的兩個端點為A、B,M〔x,y〕是f〔x〕圖象上任意一點,其中x=λa+〔1﹣λ〕b∈[a,b],向量,假如不等式恒成立,如此稱函數(shù)f〔x〕在[a,b]上“

43、k階線性近似〞.假如函數(shù)在[1,2]上“k階線性近似〞,如此實數(shù)k的取值X圍為〔  〕 解:由題意,M、N橫坐標相等,恒成立即k恒大于等于,如此k≥的最大值,所以此題即求的最大值.由N在AB線段上,得A〔1,0〕,B〔2,〕,AB方程y=〔x﹣1〕,由圖象可知,MN=y1﹣y2=x﹣﹣〔x﹣1〕=﹣〔+〕≤〔均值不等式〕,故實數(shù)k的取值X圍為  二.解答題 19.〔2012?交大附中〕假如函數(shù)f〔x〕定義域為R,滿足對任意x1,x2∈R,有f〔x1+x2〕≤f〔x1〕+f〔x2〕,如此稱f〔x〕為“V形函數(shù)〞;假如函數(shù)g〔x〕定義域為R,g〔x〕恒大于0,且對任意x1,x2∈R,

44、有l(wèi)gg〔x1+x2〕≤lgg〔x1〕+lgg〔x2〕,如此稱g〔x〕為“對數(shù)V形函數(shù)〞. 〔1〕當f〔x〕=x2時,判斷f〔x〕是否為V形函數(shù),并說明理由; 〔2〕當g〔x〕=x2+2時,證明:g〔x〕是對數(shù)V形函數(shù); 〔3〕假如f〔x〕是V形函數(shù),且滿足對任意x∈R,有f〔x〕≥2,問f〔x〕是否為對數(shù)V形函數(shù)?證明你的結論. 〔1〕解:f〔x1+x2〕﹣[f〔x1〕+f〔x2〕]=〔x1+x2〕2﹣〔+〕=2x1x2 ∵x1,x2∈R,∴2x1x2符號不定,∴當2x1x2≤0時,f〔x〕是V形函數(shù);當2x1x2>0時,f〔x〕不是V形函數(shù); 〔2〕證明:假設對任意x1,x

45、2∈R,有l(wèi)gg〔x1+x2〕≤lgg〔x1〕+lgg〔x2〕, 如此lgg〔x1+x2〕﹣lgg〔x1〕﹣lgg〔x2〕=lg[〔x1+x2〕2+2]﹣lg〔x12+2〕﹣lg〔x22+2〕≤0,∴〔x1+x2〕2+2≤〔x12+2〕〔x22+2〕,∴x12x22+〔x1﹣x2〕2+2≥0,顯然成立, ∴假設正確,g〔x〕是對數(shù)V形函數(shù); 〔3〕解:f〔x〕是對數(shù)V形函數(shù) 證明:∵f〔x〕是V形函數(shù),∴對任意x1,x2∈R,有f〔x1+x2〕≤f〔x1〕+f〔x2〕, ∵對任意x∈R,有f〔x〕≥2,∴+≤1, ∴0<f〔x1〕+f〔x2〕≤f〔x1〕f〔x2〕,∴f〔x1+x2

46、〕≤f〔x1〕f〔x2〕, ∴l(xiāng)gf〔x1+x2〕≤lgf〔x1〕+lgf〔x2〕,∴f〔x〕是對數(shù)V形函數(shù). 20.〔2012?楊浦區(qū)一模〕假如函數(shù)y=f〔x〕,如果存在給定的實數(shù)對〔a,b〕,使得f〔a+x〕?f〔a﹣x〕=b恒成立,如此稱y=f〔x〕為“Ω函數(shù)〞. 〔1〕判斷如下函數(shù),是否為“Ω函數(shù)〞,并說明理由; ①f〔x〕=x3 ②f〔x〕=2x〔2〕函數(shù)f〔x〕=tanx是一個“Ω函數(shù)〞,求出所有的有序實數(shù)對〔a,b〕. 解:〔1〕①假如f〔x〕=x3 是“Ω函數(shù)〞,如此存在實數(shù)對〔a,b〕,使得f〔a+x〕?f〔a﹣x〕=b,即〔a2﹣x2〕3=b時

47、,對x∈R恒成立 而x2=a2﹣最多有兩個解,矛盾,因此f〔x〕=x3 不是“Ω函數(shù)〞…〔3分〕 ②假如f〔x〕=2x是“Ω函數(shù)〞,如此存在常數(shù)a,b使得2a+x?2a﹣x=22a, 即存在常數(shù)對〔a,22a〕滿足,因此f〔x〕=2x是“Ω函數(shù)〞〔6分〕 〔2〕解:函數(shù)f〔x〕=tanx是一個“Ω函數(shù)〞, 設有序實數(shù)對〔a,b〕滿足,如此tan〔a﹣x〕tan〔a+x〕=b恒成立 當a=kπ+,k∈Z時,tan〔a﹣x〕tan〔a+x〕=﹣cot2x,不是常數(shù);  …〔8分〕 因此a≠kπ+,k∈Z,當x≠mπ+,m∈Z時,如此有〔btan2a﹣1〕tan2x+〔tan2a﹣

48、b〕=0恒成立,所以btan2a﹣1=0且tan2a﹣b=0,∴tan2a=1,b=1 ∴a=kπ+,k∈Z,b=1  …〔13分〕 ∴當x=mπ+,m∈Z,a=kπ±時,tan〔a﹣x〕tan〔a+x〕=cot2a=1. 因此滿足f〔x〕=tanx是一個“Ω函數(shù)〞的實數(shù)對〔a,b〕=〔kπ±,1〕, 22.給出函數(shù)封閉的定義:假如對于定義域D內的任意一個自變量x0,都有函數(shù)值f〔x0〕∈D,如此稱函數(shù)y=f〔x〕在D上封閉. 〔1〕假如定義域D1=〔0,1〕,判斷如下函數(shù)中哪些在D1上封閉〔寫出推理過程〕:f1〔x〕=2x﹣1,f2〔x〕=﹣﹣+1,f3〔x〕=2x﹣1;

49、 〔2〕假如定義域D2=〔1,2〕,是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)f〔x〕=在D2上封閉?假如存在,求出a的值,并給出證明;假如不存在,請說明理由. 解:〔1〕對于定義域D內的任意一個自變量x0,都有函數(shù)值f1〔x0〕∈〔﹣1,1〕?D1,故函數(shù)f1〔x〕=2x﹣1在D1上不封閉;同理,f2〔x〕=﹣﹣+1 =﹣+∈〔0,1〕;f3〔x〕=2x﹣1∈〔0,1〕,故在D1上封閉; 〔2〕f〔x〕=,對稱中心為〔﹣2,5〕 當a+10>0時,函數(shù)f〔x〕=在D2上為增函數(shù),只需,∴a=2 當a+10<0時,函數(shù)f〔x〕=在D2上為減函數(shù),只需,∴a∈? 綜上,所求a的值等于2. 23.

50、假如函數(shù)f〔x〕在定義域D內某區(qū)間I上是增函數(shù),而在I上是減函數(shù),如此稱y=f〔x〕在I上是“弱增函數(shù)〞 〔1〕請分別判斷f〔x〕=x+4,g〔x〕=x2+4x在x∈〔1,2〕是否是“弱增函數(shù)〞,并簡要說明理由. 〔2〕證明函數(shù)h〔x〕=x2+a2x+4〔a是常數(shù)且a∈R〕在〔0,1]上是“弱增函數(shù)〞. 解:〔1〕由于f〔x〕=x+4在〔1,2〕上是增函數(shù),且F〔x〕=在〔1,2〕上是減函數(shù),所以f〔x〕=x+4在〔1,2〕上是“弱增函數(shù)〞,g〔x〕=x2+4x在〔1,2〕上是增函數(shù),但在〔1,2〕上不是減函數(shù),所以g〔x〕=x2+4x+2在〔1,2〕上不是“弱增函數(shù)〞. 〔2〕因為h〔x〕=x2+a2?x+4的對稱軸為x=﹣≤0,開口向上,所以h〔x〕在〔0,1]上是增函數(shù).下面證明函數(shù)F〔x〕=在〔0,1]上是減函數(shù). 設0<x1<x2≤1,如此, ∵0<x1<x2≤1,∴x1﹣x2<0,0<x1x2<1, ∴,即F〔x1〕>F〔x2〕. 所以F〔x〕在〔0,1]上單調遞減,所以h〔x〕在〔0,1]上是“弱增函數(shù)〞; 15 / 15

展開閱讀全文
溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

相關資源

更多
正為您匹配相似的精品文檔
關于我們 - 網(wǎng)站聲明 - 網(wǎng)站地圖 - 資源地圖 - 友情鏈接 - 網(wǎng)站客服 - 聯(lián)系我們

copyright@ 2023-2025  zhuangpeitu.com 裝配圖網(wǎng)版權所有   聯(lián)系電話:18123376007

備案號:ICP2024067431-1 川公網(wǎng)安備51140202000466號


本站為文檔C2C交易模式,即用戶上傳的文檔直接被用戶下載,本站只是中間服務平臺,本站所有文檔下載所得的收益歸上傳人(含作者)所有。裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對上載內容本身不做任何修改或編輯。若文檔所含內容侵犯了您的版權或隱私,請立即通知裝配圖網(wǎng),我們立即給予刪除!