高三一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)地性質(zhì)(偏難題)含問(wèn)題詳解

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1、word 函數(shù)的性質(zhì)與其應(yīng)用 教師用 函數(shù)的根本性質(zhì)與函數(shù)的綜合運(yùn)用是高考對(duì)函數(shù)內(nèi)容考查的重中之重，其中函數(shù)單調(diào)性與奇偶性是高考命題的必考內(nèi)容之一，有具體函數(shù)，還會(huì)涉與抽象函數(shù)。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)。研究根本性質(zhì)，不可忽略定義域?qū)瘮?shù)性質(zhì)的影響。函數(shù)定義域表現(xiàn)了函數(shù)圖像左右方向的延伸程度，而值域又表現(xiàn)了函數(shù)圖像在上下方向上的延伸程度。對(duì)函數(shù)單調(diào)性要深入復(fù)習(xí)，深刻理解單調(diào)性定義，熟練運(yùn)用單調(diào)性定義證明或判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，掌握單調(diào)區(qū)間的求法，掌握單調(diào)性與奇偶性之間的聯(lián)系。掌握單調(diào)性的重要運(yùn)用，如求最值、解不等式、求參數(shù)X圍等，掌

2、握抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷方法等等。要充分重視運(yùn)用方程與函數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論與數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用別離變量方法解決函數(shù)相關(guān)問(wèn)題，并圍繞函數(shù)單調(diào)性分析解決函數(shù)綜合問(wèn)題。 一、 函數(shù)與反函數(shù) 例1．〔1〕A={1，2，3}，B={4，5}，如此以A為定義域，B為值域的函數(shù)共有　6　個(gè)． 解：從A到B建立映射共有23=8個(gè)，其中由2個(gè)映射的像集是{4}和{5}，把這2個(gè)映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函數(shù)的本質(zhì)是一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射，所以，構(gòu)成以A為定義域，B為值域的不同的函數(shù)共有8﹣2=6個(gè)，故答案為6． 〔2〕、〔2012?徐匯區(qū)一?！澈瘮?shù)f〔x〕=x2﹣1的定義域

3、為D，值域?yàn)閧﹣1，0，1}，試確定這樣的集合D最多有　9　個(gè)． 解：∵f〔x〕=x2﹣1，∴f〔0〕=﹣1，f〔±1〕=0，f〔±〕=1 因此，定義域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}， {0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9種情況，故答案為：9 〔3〕〔2013?某某〕對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)g〔x〕，記g〔I〕={y|y=g〔x〕，x∈I}．定義域?yàn)閇0，3]的函數(shù)y=f〔x〕有反函數(shù)y=f﹣1〔x〕，且f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f﹣1〔〔2，4]〕=[0，1〕．假如方

4、程f〔x〕﹣x=0有解x0，如此x0=　2?。? 解：因?yàn)間〔I〕={y|y=g〔x〕，x∈I}，f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f﹣1〔2，4]〕=[0，1〕， 所以對(duì)于函數(shù)f〔x〕，當(dāng)x∈[0，1〕時(shí)，f〔x〕∈〔2，4]，所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無(wú)解；當(dāng)x∈[1，2〕時(shí)，f〔x〕∈[0，1〕，所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無(wú)解；所以當(dāng)x∈[0，2〕時(shí)方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無(wú)解，又因?yàn)榉匠蘤〔x〕﹣x=0有解x0，且定義域?yàn)閇0，3]，故當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f〔x〕的取值應(yīng)屬于集合〔﹣∞，0〕∪[1，2]∪〔4，+∞〕，故假如f〔x0〕=x0，只有

5、x0=2，故答案為：2． 二、 函數(shù)值域與最值求法 例2、〔1〕〔2011?某某〕設(shè)g〔x〕 是定義在R 上，以1為周期的函數(shù)，假如函數(shù)f〔x〕=x+g〔x〕 在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇﹣2，5]，如此f〔x〕 在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)椤﹣2，7]． 解：g〔x〕為R上周期為1的函數(shù)，如此g〔x〕=g〔x+1〕 函數(shù)f〔x〕=x+g〔x〕在區(qū)間[0，1]【正好是一個(gè)周期區(qū)間長(zhǎng)度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，t=x+1∈[1，2]，此時(shí)，f〔t〕=t+g〔t〕=〔x+1〕+g〔x+1〕=〔x+1〕+g〔x〕 =[x+g〔x〕]+1 ，所以，在t∈[

6、1，2]時(shí)，f〔t〕∈[﹣1，6]…〔1〕 同理，令x+2=t，在當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，t=x+2∈[2，3] 此時(shí)，f〔t〕=t+g〔t〕=〔x+2〕+g〔x+2〕=〔x+2〕+g〔x〕 =[x+g〔x〕]+2 所以，當(dāng)t∈[2，3]時(shí)，f〔t〕∈[0，7]…〔2〕 由條件與〔1〕〔2〕得到，f〔x〕在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)閇﹣2，7] 故答案為：[﹣2，7]． 〔2〕〔2013?黃浦區(qū)二?！常偃绱嬖趨^(qū)間[a，b]?〔0，+∞〕，使得 {y|y=f〔x〕，x∈[a，b]}=[ma，mb]，如此實(shí)數(shù)m的取值X圍是　〔0，4〕　． 解：∵f〔x〕=4﹣在〔0，+∞〕是增

7、函數(shù)，∴f〔x〕在x∈[a，b]上值域?yàn)? [f〔a〕，f〔b〕]，所以f〔a〕=ma且f〔b〕=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb， 所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必須有兩個(gè)不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4． ∴實(shí)數(shù)m的取值X圍是〔0，4〕．故答案為：〔0，4〕． 〔3〕．〔2012?虹口區(qū)一模〕函數(shù)f〔x〕=2x+a，g〔x〕=x2﹣6x+1，對(duì)于任意的都能找到，使得g〔x2〕=f〔x1〕，如此實(shí)數(shù)a的取值X圍是　[﹣2，6]． 解：∵函數(shù)f〔x〕=2x+a，g〔x〕=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]時(shí)，f〔x〕的值域就是[a

8、﹣2，a+2]，要使上述X圍內(nèi)總能找到x2滿足 g〔x2〕=f〔x1〕，即g〔x〕的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g〔x〕是一個(gè)二次函數(shù)，在[﹣1，1]上單調(diào)遞減， ∴值域?yàn)閇﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案為：[﹣2，6]． 三、 函數(shù)單調(diào)性與奇偶性 例3、〔1〕〔2013?資陽(yáng)一?！澈瘮?shù) 假如f〔2m+1〕＞f〔m2﹣2〕，如此實(shí)數(shù)m的取值X圍是　〔﹣1，3〕?。? 解：∵x≤1時(shí)，函數(shù)y=﹣x2+2x+1=﹣〔x﹣1〕2+2，在〔﹣∞，1]上單調(diào)遞增；x＞1時(shí)，函數(shù)y=x3+1在〔1，+∞〕上單調(diào)遞增，又x≤1時(shí)，﹣x2+2x+1≤2，x＞1時(shí)， x3+1＞2，

9、∴函數(shù)，∴函數(shù)在R上單調(diào)增， ∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案為：〔﹣1，3〕 〔2〕是R上的增函數(shù)，那么a的取值X圍是 　〔1，3〕?。? 解：∵是R上的增函數(shù)， ∴∴a∈〔1，3〕故答案為：〔1，3〕 〔3〕〔2012?某某〕y=f〔x〕是奇函數(shù)，假如g〔x〕=f〔x〕+2且g〔1〕=1，如此g〔﹣1〕=　3?。? 解：由題意y=f〔x〕是奇函數(shù)，g〔x〕=f〔x〕+2 ∴g〔x〕+g〔﹣x〕=f〔x〕+2+f〔﹣x〕+2=4，又g〔1〕=1 ∴1+g〔﹣1〕=4，解得g〔﹣1〕=3，故答案為3 〔4〕f〔x〕為R上的偶函數(shù)，g〔x〕

10、為R上的奇函數(shù)且過(guò)〔﹣1，3〕，g〔x〕=f〔x﹣1〕，如此f〔2012〕+f〔2013〕=　﹣3?。? 解：由f〔x〕為R上的偶函數(shù)，g〔x〕為R上的奇函數(shù)，得f〔﹣x〕=f〔x〕，g〔﹣x〕=﹣g〔x〕，且g〔0〕=0，由g〔x〕=f〔x﹣1〕，得f〔x〕=g〔x+1〕=﹣g〔﹣x﹣1〕=﹣f〔﹣x﹣2〕=﹣f〔x+2〕，即f〔x〕=﹣f〔x+2〕，所以f〔x+4〕=﹣f〔x+2〕=﹣[﹣f〔x〕]=f〔x〕，故f〔x〕是周期為4的周期函數(shù)，所以f〔2012〕=f〔4×503〕=f〔0〕=g〔1〕=﹣g〔﹣1〕=﹣3，f〔2013〕=f〔4×503+1〕=f〔1〕=f〔﹣1〕=g〔0〕

11、=0，所以f〔2012〕+f〔2013〕=﹣3，故答案為：﹣3． 四、 函數(shù)的周期性 例4、〔1〕奇函數(shù)滿足的值為?????????? ?。 　　　解： ?　　　　 〔2〕設(shè)函數(shù)y=f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f〔x﹣2〕=﹣f〔x〕對(duì)一切x∈R都成立，又當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，f〔x〕=x3，如此如下四個(gè)命題：①函數(shù)y=f〔x〕是以4為周期的周期函數(shù)；②當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f〔x〕=〔2﹣x〕3； ③函數(shù)y=f〔x〕的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；④函數(shù)y=f〔x〕的圖象關(guān)于〔2，0〕對(duì)稱．其中正確的命題是 ?、佗冖邰堋。? 解：∵函數(shù)y=f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù)，∴f〔﹣x

12、〕=﹣f〔x〕， ∵f〔x﹣2〕=﹣f〔x〕對(duì)一切x∈R都成立，∴f〔x﹣4〕=f〔x〕，∴函數(shù)y=f〔x〕是以4為周期的周期函數(shù)，故①正確．當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，x﹣2∈∈[﹣1，1]，f〔x﹣2〕=〔x﹣2〕3=﹣f〔x〕，∴f〔x〕=〔2﹣x〕3，故②正確．∵f〔x﹣2〕=﹣f〔x〕， ∴f〔1+x〕=f〔1﹣x〕，∴函數(shù)y=f〔x〕的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故③正確． ∵當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f〔x〕=〔2﹣x〕3，∴f〔2〕=0，∵f〔x﹣2〕=﹣f〔x〕， ∴f〔﹣x﹣2〕=﹣f〔﹣x〕=f〔x〕=﹣f〔x﹣2〕，∴f〔x+2〕=﹣f〔x﹣2〕，∴函數(shù)y=f〔x〕的圖象關(guān)于〔2，0

13、〕對(duì)稱．故正確的命題有 ①②③④，故答案選 ①②③④． 〔2〕假如f〔n〕為n2+1〔n∈N*〕的各位數(shù)字之和，如 142+1=197，1+9+7=17如此f〔14〕=17，記f1〔n〕=f〔n〕，f2〔n〕=f[f1〔n〕]，…，fk+1〔n〕=f[fk〔n〕]k∈N*，如此f2010〔8〕=　8?。? 解：f1〔8〕=f〔8〕=64+1=656+5=11，f2〔8〕=f[f1〔8〕]=f〔11〕=121+1=122=1+2+2=5 f3〔8〕=f[f2〔8〕]=f〔5〕=25+1=26=8，f4〔8〕=f[f3〔8〕]=f〔8〕 …所以f2010〔8〕=f3〔8〕=8，故答案為

14、：8 五、 函數(shù)圖像的對(duì)稱性 例5、〔1〕函數(shù)為偶函數(shù)，如此函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱。 解：圖像關(guān)于直線 對(duì)稱，函數(shù)圖像關(guān)于直線 對(duì)稱。 〔2〕設(shè)．如此　1006　． 解：假如a+b=1，如此f〔a〕+f〔b〕== ===1， 所以 =[f〔〕+f〔〕]+[f〔〕+f〔〕]+…+[f〔〕+f〔〕] =1+1+…+1=1006．故答案為：1006． 〔3〕函數(shù)f〔x〕的定義域?yàn)镽，如此如下命題中： ①假如f〔x﹣2〕是偶函數(shù)，如此函數(shù)f〔x〕的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；②假如f〔x+2〕=﹣f〔x﹣2〕，如此函數(shù)f〔x〕的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③函

15、數(shù)y=f〔2+x〕與函數(shù)y=f〔2﹣x〕的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；④函數(shù)y=f〔x﹣2〕與函數(shù)y=f〔2﹣x〕的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．其中正確的命題序號(hào)是　④?。? 解：①不正確．因?yàn)閒〔x﹣2〕的圖象是由f〔x〕的圖象向右平移兩個(gè)單位而得到，結(jié)合f〔x﹣2〕是偶函數(shù)知，f〔x〕的圖象關(guān)于x=﹣2對(duì)稱， ②由f〔x+2〕=﹣f〔x﹣2〕變形得f〔x+8〕=f〔x〕是周期函數(shù)．不能得出函數(shù)f〔x〕的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不正確．③不正確，因?yàn)楹瘮?shù)y=f〔2+x〕是由f〔x〕向左平移2個(gè)單位，函數(shù)y=f〔2﹣x〕的圖象是由f〔﹣x〕的圖象向右平移2個(gè)單位，故兩函數(shù)的圖象仍然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

16、稱． ④如下列圖，正確．故答案為：④ ．　六、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例6、〔2013?某某春季〕真命題：“函數(shù)y=f〔x〕的圖象關(guān)于點(diǎn)P〔a，b〕成中心對(duì)稱圖形〞的充要條件為“函數(shù)y=f〔x+a〕﹣b 是奇函數(shù)〞． 〔1〕將函數(shù)g〔x〕=x3﹣3x2的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g〔x〕圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)； 〔2〕求函數(shù)h〔x〕= 圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)； 〔3〕命題：“函數(shù) y=f〔x〕的圖象關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖象〞的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f〔x+a〕﹣b 是偶函數(shù)〞．判斷該命題的真假．如果是真命題

17、，請(qǐng)給予證明；如果是假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由，并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)展修改，使之成為真命題〔不必證明〕． 解：〔1〕平移后圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=〔x+1〕3﹣3〔x+1〕2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函數(shù)y=x3﹣3x是奇函數(shù)，由題設(shè)真命題知，函數(shù)g〔x〕圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)是〔1，﹣2〕． 〔2〕設(shè)h〔x〕= 的對(duì)稱中心為P〔a，b〕，由題設(shè)知函數(shù)h〔x+a〕﹣b是奇函數(shù)．設(shè)f〔x〕=h〔x+a〕﹣b如此f〔x〕=﹣b，即f〔x〕=．由不等式的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得a=2． 此時(shí)f〔x〕=﹣b，x∈〔﹣2，2〕． 任取x∈〔﹣2，2〕，由f〔﹣x〕+f〔x〕=0，得b=1， 所

18、以函數(shù)h〔x〕= 圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)是〔2，1〕． 〔3〕此命題是假命題．舉反例說(shuō)明：函數(shù)f〔x〕=x的圖象關(guān)于直線y=﹣x成軸對(duì)稱圖象，但是對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，函數(shù)y=f〔x+a〕﹣b，即y=x+a﹣b總不是偶函數(shù)． 修改后的真命題：“函數(shù)y=f〔x〕的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱圖象〞的充要條件是“函數(shù)y=f〔x+a〕是偶函數(shù)〞． 例7、函數(shù)f〔x〕=ax2+bx+1，a，b為實(shí)數(shù)，a≠0，x∈R，F(xiàn)〔x〕=， 〔1〕假如f〔﹣1〕=0，且函數(shù)f〔x〕的值域?yàn)閇0，+∞〕，求F〔x〕的表達(dá)式； 〔2〕在〔1〕的條件下，當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，g〔x〕=f〔x〕+kx是單調(diào)函數(shù)，某某數(shù)k

19、的取值X圍； 〔3〕設(shè)mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函數(shù)f〔x〕為偶函數(shù)，判斷F〔m〕+F〔n〕是否大于0． 解：〔1〕依題意，有，解得，∴f〔x〕=x2+2x+1， ∴ 〔2〕由〔1〕得g〔x〕=f〔x〕+kx=x2+2x+1+kx=x2+〔k+2〕x+1， ∴函數(shù)g〔x〕的對(duì)稱軸x=，∵g〔x〕在區(qū)間[﹣1，1]上是單調(diào)函數(shù)， ∴．解得 k≥0，或k≤﹣4． ∴實(shí)數(shù)k的取值X圍為〔﹣∞，﹣4]∪[0，+∞〕， 〔3〕∵f〔x〕=ax2+bx+1為偶函數(shù)，∴b=0，即f〔x〕=ax2+1〔a＞0〕， ∴ ∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨設(shè)n＜0＜m，如此有

20、0＜﹣n＜m， ∴m﹣n＞0，m+n＞0．∵F〔m〕+F〔n〕=am2+1﹣an2﹣1=a〔m+n〕〔m﹣n〕， ∴F〔m〕+F〔n〕＞0． 例8、〔2012?某某〕f〔x〕=lg〔x+1〕 〔1〕假如0＜f〔1﹣2x〕﹣f〔x〕＜1，求x的取值X圍； 〔2〕假如g〔x〕是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，g〔x〕=f〔x〕，求函數(shù)y=g〔x〕〔x∈[1，2]〕的反函數(shù)． 解：〔1〕由解得：﹣1＜x＜1． 由0＜lg〔2﹣2x〕﹣lg〔x+1〕=lg＜1得：1＜＜10， ∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10， ∴．由得：． 〔2〕當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，2﹣x

21、∈[0，1]，∴y=g〔x〕=g〔x﹣2〕=g〔2﹣x〕=f〔2﹣x〕=lg〔3﹣x〕，由單調(diào)性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y， ∴所求反函數(shù)是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]． 例9、〔2012?盧灣區(qū)二?！硨?duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f〔x〕，假如有常數(shù)M，使得對(duì)任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D滿足等式，如此稱M為函數(shù)y=f 〔x〕的“均值〞．〔1〕判斷1是否為函數(shù)f〔x〕=2x+1〔﹣1≤x≤1〕的“均值〞，請(qǐng)說(shuō)明理由； 〔2〕假如函數(shù)f〔x〕=ax2﹣2x〔1＜x＜2，a為常數(shù)〕存在“均值〞，某某數(shù)a的取值X圍； 〔3〕假如函數(shù)f〔x〕是單調(diào)函數(shù)，且其值域?yàn)閰^(qū)間I．

22、試探究函數(shù)f〔x〕的“均值〞情況〔是否存在、個(gè)數(shù)、大小等〕與區(qū)間I之間的關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論〔不必證明〕． 解：〔1〕對(duì)任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣x1∈[﹣1，1]， 當(dāng)且僅當(dāng)x2=﹣x1時(shí)，有， 故存在唯一x2∈[﹣1，1]，滿足， 所以1是函數(shù)f〔x〕=2x+1〔﹣1≤x≤1〕的“均值〞． 〔2〕當(dāng)a=0時(shí)，f〔x〕=﹣2x〔1＜x＜2〕存在“均值〞，且“均值〞為﹣3； 當(dāng)a≠0時(shí)，由f〔x〕=ax2﹣2x〔1＜x＜2〕存在均值，可知對(duì)任意的x1， 都有唯一的x2與之對(duì)應(yīng)，從而有f〔x〕=ax2﹣2x〔1＜x＜2〕單調(diào)，故有或，解得a≥1或a＜0或，綜上，a的取值X圍是

23、或a≥1．　　　　　　　　　 〔3〕①當(dāng)I=〔a，b〕或[a，b]時(shí)，函數(shù)f〔x〕存在唯一的“均值〞． 這時(shí)函數(shù)f〔x〕的“均值〞為；　 ②當(dāng)I為〔﹣∞，+∞〕時(shí)，函數(shù)f〔x〕存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值〞． 這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)f〔x〕的“均值〞；　　　　　 ③當(dāng)I=〔a，+∞〕或〔﹣∞，a〕或[a，+∞〕或〔﹣∞，a]或[a，b〕或〔a，b]時(shí)， 函數(shù)f〔x〕不存在“均值〞．　　　　　　　　　　 ①當(dāng)且僅當(dāng)I形如〔a，b〕、[a，b]其中之一時(shí)，函數(shù)f〔x〕存在唯一的“均值〞． 這時(shí)函數(shù)f〔x〕的“均值〞為；　 ②當(dāng)且僅當(dāng)I為〔﹣∞，+∞〕時(shí)，函數(shù)f〔x〕存在無(wú)數(shù)多個(gè)“均值〞．

24、這時(shí)任意實(shí)數(shù)均為函數(shù)f〔x〕的“均值〞；　　　　　 ③當(dāng)且僅當(dāng)I形如〔a，+∞〕、〔﹣∞，a〕、[a，+∞〕、〔﹣∞，a]、[a，b〕、〔a，b]其中之一時(shí)，函數(shù)f〔x〕不存在“均值〞． 例10、函數(shù)y=f〔x〕，x∈R滿足f〔x+1〕=af〔x〕，a是不為0的實(shí)常數(shù)． 〔1〕假如當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f〔x〕=x〔1﹣x〕，求函數(shù)y=f〔x〕，x∈[0，1]的值域； 〔2〕在〔1〕的條件下，求函數(shù)y=f〔x〕，x∈[n，n+1〕，n∈N的解析式； 〔3〕假如當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f〔x〕=3x，試研究函數(shù)y=f〔x〕在區(qū)間〔0，+∞〕上是否可能是單調(diào)函數(shù)？假如可能，求出a的取值X圍；假如不可能

25、，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：〔1〕∵，∴． 〔2〕當(dāng)n≤x≤n+1〔n≥0，n∈Z〕時(shí)，fn〔x〕=afn﹣1〔x﹣1〕=a2fn﹣1〔x﹣2〕 ═anf1〔x﹣n〕，fn〔x〕=an〔x﹣n〕〔n+1﹣x〕． 〔3〕當(dāng)n≤x≤n+1〔n≥0，n∈Z〕時(shí)，fn〔x〕=afn﹣1〔x﹣1〕=a2fn﹣1〔x﹣2〕 ═anf1〔x﹣n〕，∴fn〔x〕=an?3x﹣n；顯然fn〔x〕=an?3x﹣n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z當(dāng)a＞0時(shí)是增函數(shù)，此時(shí)∴fn〔x〕∈[an，3an]，假如函數(shù)y=f〔x〕在區(qū)間[0，+∞〕上是單調(diào)增函數(shù)，如此必有an+1≥3an，解得：a≥3；顯然當(dāng)a＜0

26、時(shí)，函數(shù)y=f〔x〕在區(qū)間[0，+∞〕上不是單調(diào)函數(shù)；所以a≥3． 七、實(shí)戰(zhàn)演練 一．填空題 1、〔2009?某某〕將函數(shù)〔x∈[0，6]〕的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ〔0≤θ≤α〕，得到曲線C．假如對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，如此α的最大值為　arctan． 解：先畫(huà)出函數(shù)〔x∈[0，6]〕的圖象，這是一個(gè)圓弧，圓心為M〔3，﹣2〕，由圖可知當(dāng)此圓弧繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角大于∠MAB時(shí)，曲線C都不是一個(gè)函數(shù)的圖象，∴∠MAB=arctan，故答案為：arctan 2、〔2013?某某〕對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)g〔x〕，記g〔I〕={y|y=g〔x〕

27、，x∈I}．定義域?yàn)閇0，3]的函數(shù)y=f〔x〕有反函數(shù)y=f﹣1〔x〕，且f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f﹣1〔〔2，4]〕=[0，1〕．假如方程f〔x〕﹣x=0有解x0，如此x0=　2?。? 解：因?yàn)間〔I〕={y|y=g〔x〕，x∈I}，f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f﹣1〔2，4]〕=[0，1〕， 所以對(duì)于函數(shù)f〔x〕，當(dāng)x∈[0，1〕時(shí)，f〔x〕∈〔2，4]，所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無(wú)解；當(dāng)x∈[1，2〕時(shí)，f〔x〕∈[0，1〕，所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無(wú)解；所以當(dāng)x∈[0，2〕時(shí)方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x無(wú)解，又因?yàn)榉匠蘤〔x〕﹣x

28、=0有解x0，且定義域?yàn)閇0，3]，故當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f〔x〕的取值應(yīng)屬于集合〔﹣∞，0〕∪[1，2]∪〔4，+∞〕，故假如f〔x0〕=x0，只有x0=2，故答案為：2． 3、〔2008?某某〕設(shè)函數(shù)y=f〔x〕存在反函數(shù)y=f﹣1〔x〕，且函數(shù)y=x﹣f〔x〕的圖象過(guò)點(diǎn)〔1，2〕，如此函數(shù)y=f﹣1〔x〕﹣x的圖象一定過(guò)點(diǎn)　〔﹣1，2〕　． 解析：由函數(shù)y=x﹣f〔x〕的圖象過(guò)點(diǎn)〔1，2〕得：f〔1〕=﹣1，即函數(shù)y=f〔x〕過(guò)點(diǎn)〔1，﹣1〕，如此其反函數(shù)過(guò)點(diǎn)〔﹣1，1〕，所以函數(shù)y=f﹣1〔x〕﹣x的圖象一定過(guò)點(diǎn)〔﹣1，2〕． 3、〔2011?某某〕設(shè)g〔x〕 是定義在R 上

29、，以1為周期的函數(shù)，假如函數(shù)f〔x〕=x+g〔x〕 在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇﹣2，5]，如此f〔x〕 在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)椤﹣2，7]． 解：g〔x〕為R上周期為1的函數(shù)，如此g〔x〕=g〔x+1〕 ，函數(shù)f〔x〕=x+g〔x〕在區(qū)間[0，1]【正好是一個(gè)周期區(qū)間長(zhǎng)度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，t=x+1∈[1，2]，此時(shí)，f〔t〕=t+g〔t〕=〔x+1〕+g〔x+1〕=〔x+1〕+g〔x〕 =[x+g〔x〕]+1 ，所以，在t∈[1，2]時(shí)，f〔t〕∈[﹣1，6]…〔1〕 同理，令x+2=t，在當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，t=x+2∈[2

30、，3]，此時(shí)，f〔t〕=t+g〔t〕 =〔x+2〕+g〔x+2〕=〔x+2〕+g〔x〕 =[x+g〔x〕]+2，所以，當(dāng)t∈[2，3]時(shí)，f〔t〕∈[0，7]…〔2〕 由條件與〔1〕〔2〕得到，f〔x〕在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)閇﹣2，7] 故答案為：[﹣2，7]． 4、〔2011?閘北區(qū)二?！吃O(shè)f〔x〕是R上的奇函數(shù)，g〔x〕是R上的偶函數(shù)，假如函數(shù)f〔x〕+g〔x〕的值域?yàn)閇1，3〕，如此f〔x〕﹣g〔x〕的值域?yàn)椤　博?，﹣1]． 解：由f〔x〕是R上的奇函數(shù)，g〔x〕是R上的偶函數(shù)，得到f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，g〔﹣x〕=g〔x〕，∵1≤f〔x〕+g〔x〕＜3，且f〔x

31、〕和g〔x〕的定義域都為R， 把x換為﹣x得：1≤f〔﹣x〕+g〔﹣x〕＜3，變形得：1≤﹣f〔x〕+g〔x〕＜3，即﹣3＜f〔x〕﹣g〔x〕≤﹣1，如此f〔x〕﹣g〔x〕的值域?yàn)椤博?，﹣1]． 故答案為：〔﹣3，﹣1] 5、在直角坐標(biāo)系中，如果兩點(diǎn)A〔a，b〕，B〔﹣a，﹣b〕在函數(shù)y=f〔x〕的圖象上，那么稱[A，B]為函數(shù)f〔x〕的一組關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)〔[A，B]與[B，A]看作一組〕．函數(shù)g〔x〕=關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)的組數(shù)為　2?。? 解：由題意可知g〔x〕=sin，x≤0，如此函數(shù)g〔x〕=sin，x≤0， 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為h〔x〕=sin，x＞0，如此坐標(biāo)系

32、中分別作出函數(shù)h〔x〕=sin，x＞0，g〔x〕=log4〔x+1〕，x＞0的圖象如題，由圖象可知，兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)，所以函數(shù)g〔x〕=關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)的組數(shù)為2組．故答案為：2． 6．〔2013?某某〕設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f〔x〕=9x++7．假如f〔x〕≥a+1對(duì)一切x≥0成立，如此a的取值X圍為．?。? 解：因?yàn)閥=f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x=0時(shí)，f〔x〕=0； 當(dāng)x＞0時(shí)，如此﹣x＜0，所以f〔﹣x〕=﹣9x﹣+7，因?yàn)閥=f〔x〕是定義在R上的奇函數(shù)，所以f〔x〕=9x+﹣7；因?yàn)閒〔x〕≥a+1對(duì)一切x≥

33、0成立，所以當(dāng)x=0時(shí)，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；當(dāng)x＞0時(shí)，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因?yàn)?x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1， 解得，所以．故答案為． 7．〔2012?某某〕假如f〔x〕=為奇函數(shù)，如此實(shí)數(shù)m=　﹣2?。? 解：∵f〔x〕=為奇函數(shù)，∴f〔﹣1〕=﹣f〔1〕 即m﹣1=3〔1+m〕∴m=﹣2故答案為：﹣2 8．〔2012?某某〕函數(shù)f〔x〕=e|x﹣a|〔a為常數(shù)〕．假如f〔x〕在區(qū)間[1，+∞〕上是增函數(shù)，如此a的取值X圍是　〔﹣∞，1]． 解：因?yàn)楹瘮?shù)f〔x〕=e|x﹣a|〔a為常數(shù)〕．假如f〔x〕

34、在區(qū)間[1，+∞〕上是增函數(shù) 由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，必有t=|x﹣a|在區(qū)間[1，+∞〕上是增函數(shù)，又t=|x﹣a|在區(qū)間[a，+∞〕上是增函數(shù)，所以[1，+∞〕?[a，+∞〕，故有a≤1，故答案為〔﹣∞，1] 9．〔2012?某某〕y=f〔x〕+x2是奇函數(shù)，且f〔1〕=1，假如g〔x〕=f〔x〕+2， 如此g〔﹣1〕=　﹣1?。? 解：由題意，y=f〔x〕+x2是奇函數(shù)，且f〔1〕=1，所以f〔1〕+1+f〔﹣1〕+〔﹣1〕2=0解得f〔﹣1〕=﹣3，所以g〔﹣1〕=f〔﹣1〕+2=﹣3+2=﹣1，故答案為﹣1 10．〔2013?某某〕f〔x〕是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，

35、f〔x〕=x2﹣4x，那么，不等式f〔x+2〕＜5的解集是　〔﹣7，3〕　． 解：因?yàn)閒〔x〕為偶函數(shù)，所以f〔|x+2|〕=f〔x+2〕，如此f〔x+2〕＜5可化為 f〔|x+2|〕＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，〔|x+2|+1〕〔|x+2|﹣5〕＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f〔x+2〕＜5的解集是〔﹣7，3〕．故答案為：〔﹣7，3〕． 11．〔2013?黃浦區(qū)二?！常偃绱嬖趨^(qū)間，使得{y|y=f〔x〕，x?[a，b]}=[ma，mb]，如此實(shí)數(shù)m的取值X圍是　〔0，4]． 解：因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)閰^(qū)間，由{y

36、|y=f〔x〕，x∈[a，b]}=[ma，mb]，如此，即． 說(shuō)明方程有兩個(gè)大于實(shí)數(shù)根．由得：． 零，如此t∈〔0，3〕．如此m=﹣t2+4t=﹣〔t﹣2〕2+4．由t∈〔0，3〕， 所以m∈〔0，4]．所以使得{y|y=f〔x〕，x∈[a，b]}=[ma，mb]的實(shí)數(shù)m的取值X圍是〔0，4]．故答案為〔0，4]． 12．f〔x〕為R上的偶函數(shù)，g〔x〕為R上的奇函數(shù)且過(guò)〔﹣1，3〕，g〔x〕=f〔x﹣1〕，如此f〔2012〕+f〔2013〕=　﹣3?。? 解：由f〔x〕為R上的偶函數(shù)，g〔x〕為R上的奇函數(shù)，得f〔﹣x〕=f〔x〕， g〔﹣x〕=﹣g〔x〕，且g〔0〕=0，由g

37、〔x〕=f〔x﹣1〕，得f〔x〕=g〔x+1〕 =﹣g〔﹣x﹣1〕=﹣f〔﹣x﹣2〕=﹣f〔x+2〕，即f〔x〕=﹣f〔x+2〕， 所以f〔x+4〕=﹣f〔x+2〕=﹣[﹣f〔x〕]=f〔x〕，故f〔x〕是周期為4的周期函數(shù)， 所以f〔2012〕=f〔4×503〕=f〔0〕=g〔1〕=﹣g〔﹣1〕=﹣3， f〔2013〕=f〔4×503+1〕=f〔1〕=f〔﹣1〕=g〔0〕=0， 所以f〔2012〕+f〔2013〕=﹣3，故答案為：﹣3． 13．設(shè)函數(shù)f〔x〕，g〔x〕的定義域分別為Df，Dg，且Df?Dg．假如對(duì)于任意x∈Df，都有g(shù)〔x〕=f〔x〕，如此稱函數(shù)g〔x〕為f〔x〕

38、在Dg上的一個(gè)延拓函數(shù)．設(shè)f〔x〕=x2+2x，x∈〔﹣∞，0]，g〔x〕為f〔x〕在R上的一個(gè)延拓函數(shù)，且g〔x〕是偶函數(shù)，如此 g〔x〕=　x2﹣2|x|?。? 解：由題意可得當(dāng)x≤0時(shí)，g〔x〕=f〔x〕=x2+2x，由函數(shù)g〔x〕為偶函數(shù)可得， g〔﹣x〕=g〔x〕，當(dāng)x＞0時(shí)，如此﹣x＜0，g〔﹣x〕=x2﹣2x，如此g〔x〕=x2﹣2x ∴g〔x〕=x2﹣2|x|，故答案為：x2﹣2|x| 14．〔2013?普陀區(qū)一?！澈瘮?shù)，設(shè)a＞b≥0，假如f〔a〕=f〔b〕，如此b?f〔a〕的取值X圍是． 解：由函數(shù)，作出其圖象如圖，因?yàn)楹瘮?shù)f〔x〕在[0，1〕和[1，+∞〕

39、上都是單調(diào)函數(shù)，所以，假如滿足a＞b≥0，時(shí)f〔a〕=f〔b〕， 必有b∈[0，1〕，a∈[1，+∞〕，由圖可知，使f〔a〕=f〔b〕的b∈[，1〕， f〔a〕∈[，2〕．由不等式的可乘積性得：b?f〔a〕∈[，2〕．故答案為[，2〕． 15． f〔x〕是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，都有f〔x+3〕≤f〔x〕+3和f〔x+2〕≥f〔x〕+2，假如f〔998〕=1002，如此f〔2012〕=　2016?。? 解：由f〔x+3〕≤f〔x〕+3，得f〔x+6〕≤f〔x+3〕+3≤f〔x〕+6； 由f〔x+2〕≥f〔x〕+2，得f〔x+6〕≥f〔x+4〕+2≥f〔x+2〕+4≥f

40、〔x〕+6， 所以f〔x〕+6≤f〔x+6〕≤f〔x〕+6，即f〔x+6〕=f〔x〕+6． 所以f〔2012〕=f〔998+169×6〕=f〔998+168×6〕+6=f〔998+167×6〕+12=…=f〔998〕+169×6=1002+1014=2016．故答案為：2016． 16．〔2010?西城區(qū)一?！吃O(shè)函數(shù)f〔x〕的定義域?yàn)镈．假如存在非零實(shí)數(shù)l使得對(duì)于任意x∈M．有x+l∈D，且f〔x+l〕≥f〔x〕，如此稱f〔x〕為M上的l高調(diào)函數(shù)，如果定義域是[﹣1，+∞〕的函數(shù)f〔x〕=x2為[﹣1，+∞〕上的m高調(diào)函數(shù)．某某數(shù)m的取值X圍． 解：在[﹣1，+∞〕上的任意x〔設(shè)x

41、=x+m〕有y≥﹣1恒成立，如此x+m≥﹣1恒成立，即m≥﹣1﹣x恒成立．對(duì)于x∈[﹣1，+∞〕，當(dāng)x=﹣1時(shí)﹣1﹣x最大為0，所以有m≥0．又因?yàn)閒〔x+m〕≥f〔x〕，即〔x+m〕2≥x2在x∈[﹣1，+∝〕上恒成立，化簡(jiǎn)得m2+2mx≥0，又因?yàn)閙≥0，所以m+2x≥0即m≥﹣2x恒成立，當(dāng)x=﹣1時(shí)﹣2x最大為2，所以m≥2，綜上可知m≥2． 17．定義在R上的函數(shù)f〔x〕滿足f〔m+n2〕=f〔m〕+2[f〔n〕]2，其中m，n∈R，且f〔1〕≠0．如此f〔2013〕=　4024[f〔1〕]2 +f〔1〕?。? 解：由題意知，f〔2013〕=f〔2012+12〕=f〔2012〕

42、+2[f〔1〕]2， f〔2012〕=f〔2011〕+2[f〔1〕]2， f〔2011〕=f〔2010〕+2[f〔1〕]2， f〔2010〕=f〔2009〕+2[f〔1〕]2， … f〔2〕=f〔1〕+2[f〔1〕]2， 故有f〔2013〕=f〔1〕+2[f〔1〕]2×2012=4024[f〔1〕]2+f〔1〕 故答案為 4024[f〔1〕]2 +f〔1〕 18．〔2013?某某模擬〕定義域?yàn)閇a，b]的函數(shù)y=f〔x〕圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，M〔x，y〕是f〔x〕圖象上任意一點(diǎn)，其中x=λa+〔1﹣λ〕b∈[a，b]，向量，假如不等式恒成立，如此稱函數(shù)f〔x〕在[a，b]上“

43、k階線性近似〞．假如函數(shù)在[1，2]上“k階線性近似〞，如此實(shí)數(shù)k的取值X圍為〔　　〕 解：由題意，M、N橫坐標(biāo)相等，恒成立即k恒大于等于，如此k≥的最大值，所以此題即求的最大值．由N在AB線段上，得A〔1，0〕，B〔2，〕，AB方程y=〔x﹣1〕，由圖象可知，MN=y1﹣y2=x﹣﹣〔x﹣1〕=﹣〔+〕≤〔均值不等式〕，故實(shí)數(shù)k的取值X圍為　 二．解答題 19．〔2012?交大附中〕假如函數(shù)f〔x〕定義域?yàn)镽，滿足對(duì)任意x1，x2∈R，有f〔x1+x2〕≤f〔x1〕+f〔x2〕，如此稱f〔x〕為“V形函數(shù)〞；假如函數(shù)g〔x〕定義域?yàn)镽，g〔x〕恒大于0，且對(duì)任意x1，x2∈R，

44、有l(wèi)gg〔x1+x2〕≤lgg〔x1〕+lgg〔x2〕，如此稱g〔x〕為“對(duì)數(shù)V形函數(shù)〞． 〔1〕當(dāng)f〔x〕=x2時(shí)，判斷f〔x〕是否為V形函數(shù)，并說(shuō)明理由； 〔2〕當(dāng)g〔x〕=x2+2時(shí)，證明：g〔x〕是對(duì)數(shù)V形函數(shù)； 〔3〕假如f〔x〕是V形函數(shù)，且滿足對(duì)任意x∈R，有f〔x〕≥2，問(wèn)f〔x〕是否為對(duì)數(shù)V形函數(shù)？證明你的結(jié)論． 〔1〕解：f〔x1+x2〕﹣[f〔x1〕+f〔x2〕]=〔x1+x2〕2﹣〔+〕=2x1x2 ∵x1，x2∈R，∴2x1x2符號(hào)不定，∴當(dāng)2x1x2≤0時(shí)，f〔x〕是V形函數(shù)；當(dāng)2x1x2＞0時(shí)，f〔x〕不是V形函數(shù)； 〔2〕證明：假設(shè)對(duì)任意x1，x

45、2∈R，有l(wèi)gg〔x1+x2〕≤lgg〔x1〕+lgg〔x2〕， 如此lgg〔x1+x2〕﹣lgg〔x1〕﹣lgg〔x2〕=lg[〔x1+x2〕2+2]﹣lg〔x12+2〕﹣lg〔x22+2〕≤0，∴〔x1+x2〕2+2≤〔x12+2〕〔x22+2〕，∴x12x22+〔x1﹣x2〕2+2≥0，顯然成立， ∴假設(shè)正確，g〔x〕是對(duì)數(shù)V形函數(shù)； 〔3〕解：f〔x〕是對(duì)數(shù)V形函數(shù) 證明：∵f〔x〕是V形函數(shù)，∴對(duì)任意x1，x2∈R，有f〔x1+x2〕≤f〔x1〕+f〔x2〕， ∵對(duì)任意x∈R，有f〔x〕≥2，∴+≤1， ∴0＜f〔x1〕+f〔x2〕≤f〔x1〕f〔x2〕，∴f〔x1+x2

46、〕≤f〔x1〕f〔x2〕， ∴l(xiāng)gf〔x1+x2〕≤lgf〔x1〕+lgf〔x2〕，∴f〔x〕是對(duì)數(shù)V形函數(shù)． 20．〔2012?楊浦區(qū)一?！臣偃绾瘮?shù)y=f〔x〕，如果存在給定的實(shí)數(shù)對(duì)〔a，b〕，使得f〔a+x〕?f〔a﹣x〕=b恒成立，如此稱y=f〔x〕為“Ω函數(shù)〞． 〔1〕判斷如下函數(shù)，是否為“Ω函數(shù)〞，并說(shuō)明理由； ①f〔x〕=x3 ②f〔x〕=2x〔2〕函數(shù)f〔x〕=tanx是一個(gè)“Ω函數(shù)〞，求出所有的有序?qū)崝?shù)對(duì)〔a，b〕． 解：〔1〕①假如f〔x〕=x3 是“Ω函數(shù)〞，如此存在實(shí)數(shù)對(duì)〔a，b〕，使得f〔a+x〕?f〔a﹣x〕=b，即〔a2﹣x2〕3=b時(shí)

47、，對(duì)x∈R恒成立 而x2=a2﹣?zhàn)疃嘤袃蓚€(gè)解，矛盾，因此f〔x〕=x3 不是“Ω函數(shù)〞…〔3分〕 ②假如f〔x〕=2x是“Ω函數(shù)〞，如此存在常數(shù)a，b使得2a+x?2a﹣x=22a， 即存在常數(shù)對(duì)〔a，22a〕滿足，因此f〔x〕=2x是“Ω函數(shù)〞〔6分〕 〔2〕解：函數(shù)f〔x〕=tanx是一個(gè)“Ω函數(shù)〞， 設(shè)有序?qū)崝?shù)對(duì)〔a，b〕滿足，如此tan〔a﹣x〕tan〔a+x〕=b恒成立 當(dāng)a=kπ+，k∈Z時(shí)，tan〔a﹣x〕tan〔a+x〕=﹣cot2x，不是常數(shù)； 　…〔8分〕 因此a≠kπ+，k∈Z，當(dāng)x≠mπ+，m∈Z時(shí)，如此有〔btan2a﹣1〕tan2x+〔tan2a﹣

48、b〕=0恒成立，所以btan2a﹣1=0且tan2a﹣b=0，∴tan2a=1，b=1 ∴a=kπ+，k∈Z，b=1 　…〔13分〕 ∴當(dāng)x=mπ+，m∈Z，a=kπ±時(shí)，tan〔a﹣x〕tan〔a+x〕=cot2a=1． 因此滿足f〔x〕=tanx是一個(gè)“Ω函數(shù)〞的實(shí)數(shù)對(duì)〔a，b〕=〔kπ±，1〕， 22．給出函數(shù)封閉的定義：假如對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f〔x0〕∈D，如此稱函數(shù)y=f〔x〕在D上封閉． 〔1〕假如定義域D1=〔0，1〕，判斷如下函數(shù)中哪些在D1上封閉〔寫(xiě)出推理過(guò)程〕：f1〔x〕=2x﹣1，f2〔x〕=﹣﹣+1，f3〔x〕=2x﹣1；

49、 〔2〕假如定義域D2=〔1，2〕，是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f〔x〕=在D2上封閉？假如存在，求出a的值，并給出證明；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：〔1〕對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f1〔x0〕∈〔﹣1，1〕?D1，故函數(shù)f1〔x〕=2x﹣1在D1上不封閉；同理，f2〔x〕=﹣﹣+1 =﹣+∈〔0，1〕；f3〔x〕=2x﹣1∈〔0，1〕，故在D1上封閉； 〔2〕f〔x〕=，對(duì)稱中心為〔﹣2，5〕 當(dāng)a+10＞0時(shí)，函數(shù)f〔x〕=在D2上為增函數(shù)，只需，∴a=2 當(dāng)a+10＜0時(shí)，函數(shù)f〔x〕=在D2上為減函數(shù)，只需，∴a∈? 綜上，所求a的值等于2． 23．

50、假如函數(shù)f〔x〕在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，而在I上是減函數(shù)，如此稱y=f〔x〕在I上是“弱增函數(shù)〞 〔1〕請(qǐng)分別判斷f〔x〕=x+4，g〔x〕=x2+4x在x∈〔1，2〕是否是“弱增函數(shù)〞，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． 〔2〕證明函數(shù)h〔x〕=x2+a2x+4〔a是常數(shù)且a∈R〕在〔0，1]上是“弱增函數(shù)〞． 解：〔1〕由于f〔x〕=x+4在〔1，2〕上是增函數(shù)，且F〔x〕=在〔1，2〕上是減函數(shù)，所以f〔x〕=x+4在〔1，2〕上是“弱增函數(shù)〞，g〔x〕=x2+4x在〔1，2〕上是增函數(shù)，但在〔1，2〕上不是減函數(shù)，所以g〔x〕=x2+4x+2在〔1，2〕上不是“弱增函數(shù)〞． 〔2〕因?yàn)閔〔x〕=x2+a2?x+4的對(duì)稱軸為x=﹣≤0，開(kāi)口向上，所以h〔x〕在〔0，1]上是增函數(shù)．下面證明函數(shù)F〔x〕=在〔0，1]上是減函數(shù)． 設(shè)0＜x1＜x2≤1，如此， ∵0＜x1＜x2≤1，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1， ∴，即F〔x1〕＞F〔x2〕． 所以F〔x〕在〔0，1]上單調(diào)遞減，所以h〔x〕在〔0，1]上是“弱增函數(shù)〞； 15 / 15