蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊第3章 勾股定理 同步練習(xí)

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1、勾股定理及其應(yīng)用 練習(xí)1 1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AB的中點，若BC＝12，AD＝8，則DE的長為　　． 第1題第2題第4題 2．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若a＝4，b＝3，則大正方形的面積是　?。? 3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，則AB＝　?。? 4．2002年8月，在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形

2、與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b．如果將四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為　?。? 5．閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若a2＝b2+c2，則該三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，則該三角形是鈍角三角形；③若a2＜b2+c2，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，62＝36＜42+52，故由③可知該三角形是銳角

3、三角形，請解答以下問題： （1）若一個三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是　　三角形． （2）若一個三角形的三邊長分別是5，12，x，且這個三角形是直角三角形，求x的值． 6．我們知道，以3，4，5為邊長的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數(shù)組，記為（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同時8，6，10也為勾股數(shù)組，記為（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．類似的，依次可以得到第三個勾股數(shù)組（15，8，17）． （1）請你根據(jù)上述勾股數(shù)組規(guī)律，寫出第5個勾股數(shù)組； （2）若設(shè)勾股數(shù)組中間的數(shù)為2n（n≥2，且n為整數(shù)），根據(jù)上述規(guī)律，

4、請直接寫出這組勾股數(shù)組． 7．一塊木板如圖所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面積． 8．如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點相距20km，C，D為兩村莊，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．現(xiàn)要在AB上建一個中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求AE的長． 參考答案 1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AB的中點，若BC＝12，AD＝8，則DE的長為　5　． 【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝6， ∴∠ADB＝90°，

5、 ∴AB＝＝＝10， ∵AE＝EB， ∴DE＝AB＝5， 故答案為5． 2．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若a＝4，b＝3，則大正方形的面積是　25　． 【解答】解：由勾股定理可知大正方形的邊長＝＝＝5， ∴大正方形的面積為25， 故答案為25． 3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，則AB＝　3?。? 【解答】解：∵∠A＝∠B＝45°， ∴AC＝BC＝3，∠C＝90°， ∴AB＝＝＝3， 故答案為3． 4．2

6、002年8月，在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b．如果將四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為　27?。? 【解答】解：由題意可得在圖1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3， 圖2中大正方形的面積為：（a+b）2， ∵（b﹣a）2＝3 a2﹣2ab+b2＝3， ∴15﹣2ab＝3 2ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，

7、 故答案為：27． 5．閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若a2＝b2+c2，則該三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，則該三角形是鈍角三角形；③若a2＜b2+c2，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，62＝36＜42+52，故由③可知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題： （1）若一個三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是　銳角　三角形． （2）若一個三角形的三邊長分別是5，12，x，且這個三角形是直角三角形，求x的值． 【解答】

8、解：（1）∵72+82＝113，92＝81， ∴92＜72+82， ∴該三角形是銳角三角形， 故答案為：銳角； （2）當最長邊是12時，x＝＝； 當最長邊是x時，x＝＝13， 即x＝13或． 6．我們知道，以3，4，5為邊長的三角形是直角三角形，稱3，4，5為勾股數(shù)組，記為（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同時8，6，10也為勾股數(shù)組，記為（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．類似的，依次可以得到第三個勾股數(shù)組（15，8，17）． （1）請你根據(jù)上述勾股數(shù)組規(guī)律，寫出第5個勾股數(shù)組； （2）若設(shè)勾股數(shù)組中間的數(shù)為2n（n≥2，且n

9、為整數(shù)），根據(jù)上述規(guī)律，請直接寫出這組勾股數(shù)組． 【解答】解：（1）上述四組勾股數(shù)組的規(guī)律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172， 即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 所以第5個勾股數(shù)組為（12，35，37）． （2）勾股數(shù)為n2﹣1，2n，n2+1． 7．一塊木板如圖所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面積． 【解答】解：連接AC， ∵在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴AC＝5， ∵在△ACD中，AC＝5，DC＝12，AD＝13， ∴DC2+AC2＝122+52＝169，A

10、D2＝132＝169， ∴DC2+AC2＝AD2， ∴△ACD為直角三角形，AD為斜邊， ∴木板的面積為：S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝24． 答：此木板的面積為24． 8．如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點相距20km，C，D為兩村莊，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．現(xiàn)要在AB上建一個中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求AE的長． 【解答】解：設(shè)AE＝x，則BE＝20﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2， 在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2， 由題意

11、可知：DE＝CE， 所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3 所以，E應(yīng)建在距A點13.3km． 練習(xí)2 1．圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為　　cm2． 第1題第2題第3題第4題 2．如圖，每個小正方形的邊長為1，在△ABC中，點A，B，C均在格點上，點D為AB的中點，則線段CD的長為　?。? 3．如圖，池塘邊一棵垂直于水面BM的筆直大樹AB在點C處折斷，AC部分倒下，點A與水面上的點E重合，部分沉入水中后，點A與水中的點F重合，CF交水面于點D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度為　　m． 4．《九章算

12、術(shù)》第九章勾股篇中記載：“今有開門去閫（kun）一尺，不合二寸，問門廣幾何？”其大意是：今推開雙門，門框到門檻的距離（稱為“去閫”）DF為一尺，雙門之間的縫隙（稱為“不合”）EF即為2寸（注：一尺為10寸），則門寬AB為　　尺． 5．如圖一根竹子長為16米，折斷后竹子頂端落在離竹子底端8米處，折斷處離地面高度是　　米． 6．如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端9米處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結(jié)處約3米，請算出旗桿的高度． 7．勾股定理是數(shù)學(xué)中最常見的定理之一，熟練的掌握勾股數(shù)，對迅速判斷、解答題目有很大幫助，觀察下列幾組勾股數(shù)：

13、（1）你能找出它們的規(guī)律嗎？（填在上面的橫線上） （2）你能發(fā)現(xiàn)a，b，c之間的關(guān)系嗎？ （3）對于偶數(shù)，這個關(guān)系　?。ㄌ睢俺闪ⅰ被颉安怀闪ⅰ保? （4）你能用以上結(jié)論解決下題嗎？ 20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2 8．如圖①，點O為直線AB上一點，∠AOC＝60°，將一把含有45°角的直角三角板的直角頂點放在點O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方． （1）將圖①中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，使得∠MOB＝90°，此時∠CON角度為　　度； （2）將上述直角三角板從圖1繞點O按逆時

14、針旋轉(zhuǎn)到圖③的位置，當ON恰好平分∠AOC時，求∠AOM的度數(shù)； （3）若這個直角三角板繞點O按逆時針旋轉(zhuǎn)到斜邊ON在∠AOC的內(nèi)部時（ON與OC、OA不重合），試探究∠AOM與∠CON之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由． 9．如圖所示，已知△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm．分別以三邊AB，AC及BC為直徑向外作半圓，求陰影部分的面積． 參考答案 1．圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為　81　cm2． 【解答】解：∵正方形的邊長為（cm）， ∴此正方形的面積為92＝81（cm2

15、）， 故答案為：81． 2．如圖，每個小正方形的邊長為1，在△ABC中，點A，B，C均在格點上，點D為AB的中點，則線段CD的長為　?。? 【解答】解：∵AC＝2，BC＝3，AB＝， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵AD＝DB， ∴CD＝AB＝， 故答案為． 3．如圖，池塘邊一棵垂直于水面BM的筆直大樹AB在點C處折斷，AC部分倒下，點A與水面上的點E重合，部分沉入水中后，點A與水中的點F重合，CF交水面于點D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝45°，求CB部分的高度為　（2+）　m． 【解答】解：設(shè)CB部分的高度為xm． ∵∠BDC＝∠

16、BCD＝45°， ∴BC＝BD＝xm． 在Rt△BCD中，CD＝＝＝x（m）． 在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°， ∴CE＝2BC＝2x（m）． ∵CE＝CF＝CD+DF， ∴2x＝x+2， 解得：x＝2+． ∴BC＝（2+）（m）． 答：CB部分的高度約為（2+）m， 故答案為：（2+）． 4．《九章算術(shù)》第九章勾股篇中記載：“今有開門去閫（kun）一尺，不合二寸，問門廣幾何？”其大意是：今推開雙門，門框到門檻的距離（稱為“去閫”）DF為一尺，雙門之間的縫隙（稱為“不合”）EF即為2寸（注：一尺為10寸），則門寬AB為　10.1　尺． 【解答】解：設(shè)單門的

17、寬度是x米，根據(jù)勾股定理，得x2＝1+（x﹣0.1）2， 解得：x＝5.05， 則2x＝10.1尺， 故答案為：10.1． 5．如圖一根竹子長為16米，折斷后竹子頂端落在離竹子底端8米處，折斷處離地面高度是　6　米． 【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面x米，則斜邊為（16﹣x）米， 根據(jù)勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2 解得：x＝6． ∴折斷處離地面高度是6米， 故答案為：6． 6．如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端9米處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結(jié)處約3米，請算出旗桿的高度． 【解答】解：設(shè)旗桿的高度為x米， 根

18、據(jù)勾股定理，得x2+92＝（x+3）2， 解得：x＝12； 答：旗桿的高度為12米 7．勾股定理是數(shù)學(xué)中最常見的定理之一，熟練的掌握勾股數(shù)，對迅速判斷、解答題目有很大幫助，觀察下列幾組勾股數(shù)： a b c 1 3＝1+2 4＝2×1×2 5＝2×2+1 2 5＝2+3 12＝2×2×3 13＝4×3+1 3 7＝3+4 24＝2×3×4 25＝6×4+1 4 9＝4+5 40＝2×4×5 41＝8×5+1 … … … … n a＝　2n+1　 b＝　2n（n+1）　 c＝　2n（n+1）+1　 （1）你能找出它們的規(guī)律嗎？（填在

19、上面的橫線上） （2）你能發(fā)現(xiàn)a，b，c之間的關(guān)系嗎？ （3）對于偶數(shù)，這個關(guān)系　不成立　（填“成立”或“不成立”）． （4）你能用以上結(jié)論解決下題嗎？ 20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2 【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得：a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1， 故答案為：2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1； （2）a2+b2＝c2，理由是： ∵a＝2n+1，b＝2n（n+1），c＝2n（n+1）+1， ∴a2+b2＝（2n+1）2+[2n（n+1）]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1 c2＝[2n（n+

20、1）+1]2＝[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1 ∴a2+b2＝c2； （3）對于偶數(shù)，這個關(guān)系不成立， 故答案為：不成立； （4）當2n+1＝2019時，n＝1009， ∴當n＝1009時，a2＝20192，b2＝[2n（n+1）]2＝20202×10092，c2＝[2n（n+1）+1]2＝[2020×1009+1]2， ∵a2+b2＝c2； ∴20192+20202×10092﹣（2020×1009+1）2 ＝0． 8．如圖①，點O為直線AB上一點，∠AOC＝60°，將一把含有45°角的直角三角板的直角頂點放在點O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下

21、方． （1）將圖①中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，使得∠MOB＝90°，此時∠CON角度為　75　度； （2）將上述直角三角板從圖1繞點O按逆時針旋轉(zhuǎn)到圖③的位置，當ON恰好平分∠AOC時，求∠AOM的度數(shù)； （3）若這個直角三角板繞點O按逆時針旋轉(zhuǎn)到斜邊ON在∠AOC的內(nèi)部時（ON與OC、OA不重合），試探究∠AOM與∠CON之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由． 【解答】解：（1）圖①中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖②的位置， ∵∠MOB＝90°，∠MON＝45° ∠AOC＝60°， ∴∠COM＝30°， ∴∠CON＝∠COM+∠MON＝75°， 所以此

22、時∠CON角度為75°． 故答案為75； （2）直角三角板從圖1繞點O按逆時針旋轉(zhuǎn)到圖③的位置， ∵ON恰好平分∠AOC時， ∴∠AON＝∠CON＝AOC＝30°， ∴∠AOM＝∠MON﹣∠AON＝15°． 答：∠AOM的度數(shù)為15°； （3）∠AOM與∠CON之間滿足：∠AOM﹣∠CON＝15°，理由如下： ∵∠CON＝∠AOC﹣∠AON ＝60°﹣∠AON ＝60°﹣（∠MON﹣∠AOM） ＝60°﹣（45°﹣∠AOM） ＝15°+∠AOM 所以∠CON﹣∠AOM＝15°． 9．如圖所示，已知△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm．分別以三邊AB

23、，AC及BC為直徑向外作半圓，求陰影部分的面積． 【解答】解：∵82+62＝102， ∴AB2+AC2＝BC2 ∴∠BAC＝90° ∴以AB為直徑的半圓的面積 以AC為直徑的半圓的面積 以BC為直徑的半圓的面積S3＝＝π（cm2） ∴ 練習(xí)3 1．如圖，已知等腰Rt△ABC的直角邊長為1，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE…依此類推直到第n個等腰直角三角形，則第n個等腰直角三角形的圖形的面積為　　．（n為正整數(shù)） 第1題第2題第3題第4題 2．圖中每個小方格的邊長是l，若

24、線段EF能與線段AB、CD組成一個直角三角形，則線段EF的長度是　?。? 3．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB﹣∠PCD＝　　°．（點A，B，C，D，P是網(wǎng)格線交點） 4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點A和點B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E．若AC＝3，AB＝5，則DE等于　　． 5．①在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC、AC、AB所對的邊分別為a、b、c． （1）a＝3，b＝4，則c＝　　； （2）a＝7，c＝25，則b＝　　； （3）c＝3，b＝1，則a＝　??； （4）∠A＝30°，a

25、＝2，則b＝　　； ②若b＝﹣﹣2，則ab＝　?。? 6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于點P． （1）求證：PB＝PC． （2）若PB＝5，PH＝3，求AB． 7．如圖為一個廣告牌支架的示意圖，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求圖中△ABC的周長和面積． 8．有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行多什么米？ 9．如圖，筆直的公路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，

26、已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點多遠處？ 參考答案 1．如圖，已知等腰Rt△ABC的直角邊長為1，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE…依此類推直到第n個等腰直角三角形，則第n個等腰直角三角形的圖形的面積為　2n﹣2?。╪為正整數(shù)） 【解答】解：∵△ABC是邊長為1的等腰直角三角形， ∴S△ABC＝×1×1＝＝21﹣2； AC＝＝，AD＝＝2…， ∴S△ACD＝××＝1＝22﹣2

27、； S△ADE＝×2×2＝2＝23﹣2… ∴第n個等腰直角三角形的面積是2n﹣2． 故答案為：2n﹣2． 2．圖中每個小方格的邊長是l，若線段EF能與線段AB、CD組成一個直角三角形，則線段EF的長度是　或　． 【解答】解：AB＝，CD＝， 當EF為斜邊時，EF＝， 當EF是直角邊時，EF＝， 故答案為：或． 3．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB﹣∠PCD＝　45　°．（點A，B，C，D，P是網(wǎng)格線交點） 【解答】解：連接AE，PE， 則∠EAB＝∠PCD， 故∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE， 設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為a，則PA＝＝，PE＝

28、，AE＝＝a， ∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2， ∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°， 又∵PA＝PE， ∴∠PAE＝∠PEA＝45°， ∴∠PAB﹣∠PCD＝45°， 故答案為：45． 4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點A和點B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E．若AC＝3，AB＝5，則DE等于　?。? 【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝4， 連接AE， 從作法可知：DE是AB的垂直平分線， 根據(jù)性質(zhì)得出AE＝BE， 在Rt△ACE中，由

29、勾股定理得：AC2+CE2＝AE2， 即32+（4﹣AE）2＝AE2， 解得：AE＝， 在Rt△ADE中，AD＝AB＝，由勾股定理得：DE2+（）2＝（）2， 解得：DE＝． 故答案為：． 5．①在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC、AC、AB所對的邊分別為a、b、c． （1）a＝3，b＝4，則c＝　5??； （2）a＝7，c＝25，則b＝　24?。? （3）c＝3，b＝1，則a＝　2??； （4）∠A＝30°，a＝2，則b＝　2?。? ②若b＝﹣﹣2，則ab＝　?。? 【解答】解：①在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC、AC、AB所對的邊分別為a、b、c． （1）a＝3，

30、b＝4，則c＝5； （2）a＝7，c＝25，則b＝24； （3）c＝3，b＝1，則a＝2； （4）∠A＝30°，a＝2，則b＝2； ②若b＝﹣﹣2，可得：a＝3，b＝﹣2，則ab＝， 故答案為：①（1）5；（2）24；（3）2；（4）2；② 6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于點P． （1）求證：PB＝PC． （2）若PB＝5，PH＝3，求AB． 【解答】（1）證明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵BH，CM為△ABC的高， ∴∠BMC＝∠CHB＝90°． ∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°． ∴∠BCM

31、＝∠CBH． ∴PB＝PC． （2）解：∵PB＝PC，PB＝5， ∴PC＝5． ∵PH＝3，∠CHB＝90°， ∴CH＝4． 設(shè)AB＝x，則AH＝x﹣4． 在Rt△ABH中， ∵AH2+BH2＝AB2， ∴（x﹣4）2+（5+3）2＝x2． ∴x＝10． 即AB＝10． 7．如圖為一個廣告牌支架的示意圖，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求圖中△ABC的周長和面積． 【解答】解：在△ABD中， ∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m， ∴AB2＝AD2+BD2， ∴AD⊥BC， 在Rt△ADC中， ∵AD＝12m，AC＝15

32、m， ∴DC＝＝9（m）， ∴△ABC的周長為：AB+AC+BC＝13+15+5+9＝42m， △ABC的面積為：×BC×AD＝×14×12＝84m2． 8．有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行多什么米？ 【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB＝10m， 小樹高為CD＝4m， 過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AC， ∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m， 在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m， 故小鳥至少飛行10m． 9．如圖，筆直的公路上A、B兩點相距25k

33、m，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點多遠處？ 【解答】解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等． ∴DE＝CE， ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2， ∴AE2+AD2＝BE2+BC2， 設(shè)AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）， ∵DA＝15km，CB＝10km， ∴x2+152＝（25﹣x）2+102， 解得：x＝10， ∴AE＝10

34、km， ∴收購站E應(yīng)建在離A點10km處． 練習(xí)4 1．如圖，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射線BA上找一點D，使△ACD為等腰三角形，則∠ADC的度數(shù)為　　． 第1題第2題第4題第5題 2．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE為邊AB的垂直平分線，交BC的延長線于點E，BC＝3，AB＝5，則CE＝　　． 3．為了迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，小明搬來一架高為2.5m的木梯，想把拉花桂到2.4m的墻上，則梯角應(yīng)距墻角　　m． 4．如圖所示，一根長為7cm的吸管放在一個圓柱形杯中，測得杯的內(nèi)部底面直徑為3cm，高為4cm，則吸管露出在杯外

35、面的最短長度為　　cm． 5．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于點D，則AD＝　?。? 6．探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…請寫出下一數(shù)組：　?。? 7．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． （1）用直尺和圓規(guī)在邊BC上找一點D，使D到AB的距離等于CD． （2）計算（1）中線段CD的長． 8．如圖，一架25dm長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，梯子底端B到墻的距離BO＝7dm．移動梯子使底端B外移至點D，BD＝8dm，求梯

36、子頂端A沿墻下滑的距離AC的長． 9．如圖，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，點D在AC上．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值． 10．如圖，水渠兩邊AB∥CD，一條矩形竹排EFGH斜放在水渠中，∠AEF＝45°，∠EGD＝105°，竹排寬EF＝2米，求水渠寬． 11．如圖，BF，CG分別是△ABC的高線，點D，E分別是BC，GF的中點，連結(jié)DF，DG，DE． （1）求證：△DFG是等腰三角形； （2）若BC＝10，F(xiàn)G＝6，求DE的長．

37、 勾股定理及應(yīng)用 參考答案與試題解析 1．如圖，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射線BA上找一點D，使△ACD為等腰三角形，則∠ADC的度數(shù)為　80°或140°或10°?。? 【解答】解：如圖，有三種情形： ①當AC＝AD時，∵△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝20°， ∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠DCA＝（180°﹣∠CAB）＝80°； ②當CD′＝AD′時， ∵∠CAB＝20°， ∴∠D′CA＝∠CAB＝20°， ∴∠AD′C＝180°﹣20°﹣20°＝140°． ③當AC＝AD″時，則∠AD″C＝∠ACD″， ∵∠CAB

38、＝20°，∠AD″C+∠ACD″＝∠CAB， ∴∠AD″C＝10°， 故答案為：80°或140°或10°． 2．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE為邊AB的垂直平分線，交BC的延長線于點E，BC＝3，AB＝5，則CE＝　　． 【解答】解：設(shè)CE＝x，連接AE， ∵DE是線段AB的垂直平分線， ∴AE＝BE＝BC+CE＝3+x， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴AC＝4， ∴在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2，即（3+x）2＝42+x2， 解得x＝． 故答案為：． 3．為了迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，小明搬來一架高為2

39、.5m的木梯，想把拉花桂到2.4m的墻上，則梯角應(yīng)距墻角　0.7　m． 【解答】解：梯腳與墻角距離：＝0.7（m）． 故答案為：0.7 4．如圖所示，一根長為7cm的吸管放在一個圓柱形杯中，測得杯的內(nèi)部底面直徑為3cm，高為4cm，則吸管露出在杯外面的最短長度為　2　cm． 【解答】解：設(shè)在杯里部分長為xcm， 則有：x2＝32+42， 解得：x＝5， 所以露在外面最短的長度為7cm﹣5cm＝2cm， 故吸管露出杯口外的最短長度是2cm， 故答案為：2． 5．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于點D，則AD＝　　． 【

40、解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5， ∴AC＝＝3， 過D作DE⊥AB于E， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°， ∴CD＝DE， 在Rt△BCD與Rt△BED中， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BE＝BC＝4， ∴AE＝1， ∵AD2＝DE2+AE2， ∴AD2＝（3﹣AD）2+12， ∴AD＝， 故答案為：． 6．探索勾股數(shù)的規(guī)律：觀察下列各組數(shù)：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…請寫出下一數(shù)組：?。?1，60，61）?。? 【解答】解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12

41、+2×1，5＝2×12+2×1+1； （5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1； （7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1； （9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1； ∴下一組數(shù)為：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1， 故答案為：（11，60，61）． 7．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． （1）用直尺和圓規(guī)在邊BC上找一點D，使D到AB的距離等于CD． （2）計算（1）中線段CD的

42、長． 【解答】解：（1）畫角平分線正確，保留畫圖痕跡 （2）設(shè)CD＝x，作DE⊥AB于E， 則DE＝CD＝x， ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． ∴AB＝10， ∴EB＝10﹣6＝4． ∵DE2+BE2＝DB2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， x＝3， 即CD長為3． 8．如圖，一架25dm長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，梯子底端B到墻的距離BO＝7dm．移動梯子使底端B外移至點D，BD＝8dm，求梯子頂端A沿墻下滑的距離AC的長． 【解答】解：由題意得：在Rt△AOB中，OB＝7dm，AB＝25dm， ∴OA＝＝24dm， 在Rt△COD中

43、，OD＝8+7＝15dm，CD＝25dm， ∴OC＝＝20dm， ∴AC＝OA﹣OC＝24﹣20＝4dm， 答：梯子頂端A沿墻下滑的距離AC的長為4dm． 9．如圖，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，點D在AC上．（1）求證：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值． 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠A＝∠ACB＝45°， 同理可得：DB＝BE，∠DBE＝90°，∠BDE＝∠BED＝45°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD與△CBE中， AB＝BC，∠ABD＝∠CB

44、E，DB＝BE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）． （2）∵△BDE是等腰直角三角形， ∴DE＝BD＝， ∵△ABD≌△CBE， ∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE， ∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°， ∴DE2＝DC2+CE2＝AD2+CD2， ∴AD2+CD2＝2． 10．如圖，水渠兩邊AB∥CD，一條矩形竹排EFGH斜放在水渠中，∠AEF＝45°，∠EGD＝105°，竹排寬EF＝2米，求水渠寬． 【解答】解：過F作FP⊥AB于P，延長PF交CD于Q， 則FQ⊥CD， ∴∠EPF＝∠FQG＝90°， ∵四邊形EFGH是矩形， ∴∠EFG＝90°，

45、 ∵∠AEF＝45°， ∴∠GFQ＝∠EFP＝45°， ∴∠FGQ＝45°， ∵EF＝2， ∴PF2+PE2＝EF2＝4， ∵PF＝PE， ∴PF＝PE＝， ∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠EGD＝105°， ∵∠AEF＝45°， ∴∠FEG＝60° ∴FG＝EF＝2， ∴FQ2+GQ2＝FG2＝12， ∴FQ＝QG＝， ∴PQ＝PF+FQ＝（）（米）， 答：水渠寬為（）米． 11．如圖，BF，CG分別是△ABC的高線，點D，E分別是BC，GF的中點，連結(jié)DF，DG，DE． （1）求證：△DFG是等腰三角形； （2）若BC＝10，F(xiàn)G＝6，求DE的長． 【解答】（1）證明：∵BF，CG分別是△ABC的高線， ∴BF⊥AC，CG⊥AB，且點B為BC的中線， ∴DF＝BC，DG＝BC， ∴DF＝DG， ∴△DFG是等腰三角形； （2）解：由（1）知，DF＝DG＝BC＝5． ∵點E為GF的中點，F(xiàn)G＝6， ∴EF＝GF＝3，且DG⊥GF， ∴在直角△DEF中，由勾股定理知，DE＝＝＝4． 26 / 26