《（山西專版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 提分專練03 二次函數(shù)簡(jiǎn)單綜合問題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（山西專版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 提分專練03 二次函數(shù)簡(jiǎn)單綜合問題（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、提分專練(三) 二次函數(shù)簡(jiǎn)單綜合問題
|類型1| 運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的線段、面積問題
1.如圖T3-1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A,B與點(diǎn)C(-1,0).
(1)求拋物線的解析式.
(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為D,交線段AB于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
①求△PAB的面積y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)m為何值時(shí),y有最大值,最大值是多少?
②若點(diǎn)E是垂線段PD的三等分點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
圖T3-1
2、
|類型2| 運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的特殊圖形問題
2.[2019·山西省適應(yīng)訓(xùn)練]如圖T3-2,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC.
(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D為第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,△BCD的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△BCP為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
圖T3-2
3.[2018·自貢]如圖T3-3,拋物線y=ax2+bx-3過A(1,0
3、),B(-3,0),直線AD交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2,點(diǎn)P(m,n)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,D重合).
(1)求直線AD及拋物線的解析式.
(2)過點(diǎn)P的直線垂直于x軸,交拋物線于點(diǎn)Q,求線段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式,當(dāng)m為何值時(shí),PQ最長(zhǎng)?
(3)在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))R,使得以P,Q,D,R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
圖T3-3
|類型3| 運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的相似三角形問題
4.[2018·鄂州]如圖T3-4,已知直線y=12x+12與拋物線y=ax2+bx+c相交于A(-1,0
4、),B(4,m)兩點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)C0,-32,交x軸的正半軸于點(diǎn)D,拋物線的頂點(diǎn)為M.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)P為直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAB的面積最大時(shí),求△PAB的面積及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q為x軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn),當(dāng)△QMN∽△MAD(點(diǎn)Q與點(diǎn)M對(duì)應(yīng))時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
圖T3-4
【參考答案】
1.解:(1)∵直線y=-x+3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,
∴A(3,0),B(0,3).
把A(3,0),B(0,3),C(-1,0)分別代入y=ax2+bx+c,
得9a
5、+3b+c=0,a-b+c=0,c=3,解得a=-1,b=2,c=3,
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.
(2)①∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,
∴P(m,-m2+2m+3).
∵PD⊥x軸,∴E(m,-m+3),
∴PE=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m,
∴y=12(-m2+3m)·m+12(-m2+3m)(3-m),
∴y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為y=-32m2+92m.
∵y=-32m2+92m=-32m-322+278,
∴當(dāng)m=32時(shí),y有最大值,最大值是278.
②當(dāng)PE=2ED時(shí),-m2+3m=2(-m+3),解得m=2或m=3(不合題意,舍去);
當(dāng)2PE
6、=ED時(shí),-2m2+6m=-m+3,整理得,2m2-7m+3=0,解得m=12,m=3(不合題意,舍去).
綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),12,154.
2.解:(1)當(dāng)y=0時(shí),x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1.
又∵A在B的左側(cè),
∴A(-1,0),B(3,0),
當(dāng)x=0時(shí),y=x2-2x-3=-3,
∴C(0,-3).
(2)∵D的橫坐標(biāo)為m,
∴D(m,m2-2m-3).
∵點(diǎn)D在第四象限,
∴m>0,m2-2m-3<0,∴0
7、-2m-3)=-32m2+3m+92,
S△OBC=12×3×3=92.
S△BCD=S△OCD+S△OBD-S△OCB
=32m+-32m2+3m+92-92
=32m-32m2+3m+92-92
=-32m2+92m.
∵-32<0,
∴當(dāng)m=-922×-32=32時(shí),
S最大=4×-32×0-92?24×-32=278.
(3)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,故拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.
∵點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,∴設(shè)其坐標(biāo)為P(1,t).
∴CP2=1+(t+3)2,CB2=18,PB2=t2+4.
①若PC=PB,則1+(t+3)2=t2+4,解得:t
8、=-1,
即P(1,-1).
②若PC=CB,則1+(t+3)2=18,解得:t=-3±17,
即P(1,-3+17)或P(1,-3-17).
③若BC=PB,則t2+4=18,解得:t=±14,
即P(1,14)或P(1,-14).
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P共有5個(gè),分別為P1(1,-1),P2(1,14),P3(1,-14),P4(1,-3+17),P5(1,-3-17).
3.解:(1)∵拋物線y=ax2+bx-3過A(1,0),B(-3,0),
∴a+b-3=0,9a-3b-3=0.
解得a=1,b=2.
∴該拋物線的解析式為y=x2+2x-3.
當(dāng)x=-2時(shí),y
9、=(-2)2+2×(-2)-3=-3,
∴D(-2,-3).
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+t.
易得k+t=0,-2k+t=-3.
解得k=1,t=-1.
∴直線AD的解析式為y=x-1.
(2)由題意,得P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),-2
10、1).
[解法提示]以P,Q,D,R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,可分如下情況討論:
分類一:PD是平行四邊形的對(duì)角線,此時(shí)PQ∥RD,且PQ=RD,點(diǎn)R在點(diǎn)D的上方.
∵D(-2,-3),要使R為整點(diǎn),
∴線段RD長(zhǎng)必須是整數(shù).
又∵PQ=RD,∴線段PQ長(zhǎng)必須是整數(shù).
由(2)知,PQ=-m2-m+2=-m+122+94,
-2
11、線.
D(-2,-3),P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3).
設(shè)R(xR,yR).根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得
-2+xR2=m,-3+yR2=yP+yQ2=12(m2+3m-4).
解得xR=2m+2,yR=m2+3m-1.
∴R(2m+2,m2+3m-1).
∵-2
12、4,52.
將A(-1,0),B4,52,C0,-32的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+c,
得a-b+c=0,16a+4b+c=52,c=-32.解得a=12,b=-1,c=-32.
∴拋物線的解析式為y=12x2-x-32,
y=12(x2-2x)-32=12(x-1)2-12-32=12(x-1)2-2,故頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-2).
(2)如圖①,過點(diǎn)P作PE⊥x軸,交AB于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F.
∵A(-1,0),B4,52,∴AF=4―(―1)=5.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為n,12n2-n-32,
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為n,12n+12.
∵點(diǎn)P在直線AB下
13、方,
∴PE=12n+12-12n2-n-32=-12n2+32n+2.∴S△PAB=S△APE+S△BPE=12PE·AG+12PE·FG=12PE·(AG+FG)=12PE·AF=12×5-12n2+32n+2=-54n-322+12516.∴當(dāng)n=32時(shí),△PAB的面積最大,且最大面積為12516.當(dāng)n=32時(shí),12n2-n-32=12×322-32-32=-158,故此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,-158.
(3)∵拋物線的解析式為y=12x2-x-32=12x-12-2,
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.
又∵A(-1,0),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0).
又∵M(jìn)的坐標(biāo)為(1,-2),
∴AD=3―(―1)=4,AD2=42=16,
AM2=[1-(-1)]2+(-2)2=8,
DM2=(1―3)2+(―2―0)2=8,
∴AD2=AM2+DM2,且AM=DM.
∴△MAD是等腰直角三角形,∠AMD=90°.
又∵△QMN∽△MAD,
∴△QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,
∠MQN=90°,∠QMN=45°.
又∵∠AMD=90°,∴∠AMQ=∠QMD=45°,
此時(shí)點(diǎn)D(或點(diǎn)A)與點(diǎn)N重合(如圖②),此時(shí)MQ⊥x軸,故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0).
9
（山西專版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 提分專練03 二次函數(shù)簡(jiǎn)單綜合問題
