（山西專版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 提分專練03 二次函數(shù)簡單綜合問題

提分專練(三)二次函數(shù)簡單綜合問題|類型1|運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的線段、面積問題1.如圖T3-1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,拋物線y=ax2+bx+c(a0)經(jīng)過A,B與點(diǎn)C(-1,0).(1)求拋物線的解析式.(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為D,交線段AB于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.求PAB的面積y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)m為何值時(shí),y有最大值,最大值是多少?若點(diǎn)E是垂線段PD的三等分點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo).圖T3-1|類型2|運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的特殊圖形問題2.2019·山西省適應(yīng)訓(xùn)練如圖T3-2,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC.(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)D為第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,BCD的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使BCP為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.圖T3-23.2018·自貢如圖T3-3,拋物線y=ax2+bx-3過A(1,0),B(-3,0),直線AD交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2,點(diǎn)P(m,n)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,D重合).(1)求直線AD及拋物線的解析式.(2)過點(diǎn)P的直線垂直于x軸,交拋物線于點(diǎn)Q,求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式,當(dāng)m為何值時(shí),PQ最長?(3)在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))R,使得以P,Q,D,R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.圖T3-3|類型3|運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的相似三角形問題4.2018·鄂州如圖T3-4,已知直線y=12x+12與拋物線y=ax2+bx+c相交于A(-1,0),B(4,m)兩點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)C0,-32,交x軸的正半軸于點(diǎn)D,拋物線的頂點(diǎn)為M.(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn)P為直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PAB的面積最大時(shí),求PAB的面積及點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)點(diǎn)Q為x軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn),當(dāng)QMNMAD(點(diǎn)Q與點(diǎn)M對(duì)應(yīng))時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo).圖T3-4【參考答案】1.解:(1)直線y=-x+3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,A(3,0),B(0,3).把A(3,0),B(0,3),C(-1,0)分別代入y=ax2+bx+c,得9a+3b+c=0,a-b+c=0,c=3,解得a=-1,b=2,c=3,拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.(2)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,P(m,-m2+2m+3).PDx軸,E(m,-m+3),PE=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m,y=12(-m2+3m)·m+12(-m2+3m)(3-m),y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為y=-32m2+92m.y=-32m2+92m=-32m-322+278,當(dāng)m=32時(shí),y有最大值,最大值是278.當(dāng)PE=2ED時(shí),-m2+3m=2(-m+3),解得m=2或m=3(不合題意,舍去);當(dāng)2PE=ED時(shí),-2m2+6m=-m+3,整理得,2m2-7m+3=0,解得m=12,m=3(不合題意,舍去).綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),12,154.2.解:(1)當(dāng)y=0時(shí),x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1.又A在B的左側(cè),A(-1,0),B(3,0),當(dāng)x=0時(shí),y=x2-2x-3=-3,C(0,-3).(2)D的橫坐標(biāo)為m,D(m,m2-2m-3).點(diǎn)D在第四象限,m>0,m2-2m-3<0,0<m<3,連接OD.SOCD=12×3·m=32m,SOBD=12×3·-(m2-2m-3)=-32(m2-2m-3)=-32m2+3m+92,SOBC=12×3×3=92.SBCD=SOCD+SOBD-SOCB=32m+-32m2+3m+92-92=32m-32m2+3m+92-92=-32m2+92m.-32<0,當(dāng)m=-922×-32=32時(shí),S最大=4×-32×0-92 24×-32=278.(3)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,故拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,設(shè)其坐標(biāo)為P(1,t).CP2=1+(t+3)2,CB2=18,PB2=t2+4.若PC=PB,則1+(t+3)2=t2+4,解得:t=-1,即P(1,-1).若PC=CB,則1+(t+3)2=18,解得:t=-3±17,即P(1,-3+17)或P(1,-3-17).若BC=PB,則t2+4=18,解得:t=±14,即P(1,14)或P(1,-14).綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P共有5個(gè),分別為P1(1,-1),P2(1,14),P3(1,-14),P4(1,-3+17),P5(1,-3-17).3.解:(1)拋物線y=ax2+bx-3過A(1,0),B(-3,0),a+b-3=0,9a-3b-3=0.解得a=1,b=2.該拋物線的解析式為y=x2+2x-3.當(dāng)x=-2時(shí),y=(-2)2+2×(-2)-3=-3,D(-2,-3).設(shè)直線AD的解析式為y=kx+t.易得k+t=0,-2k+t=-3.解得k=1,t=-1.直線AD的解析式為y=x-1.(2)由題意,得P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),-2<m<1.l=yP-yQ=(m-1)-(m2+2m-3)=-m2-m+2=-m+122+94.-2<-12<1,當(dāng)m=-12時(shí),PQ最長.(3)在平面內(nèi)存在整點(diǎn)R,使得以P,Q,D,R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,點(diǎn)R的坐標(biāo)為(-2,-1)或(-2,-2)或(-2,-4)或(-2,-5)或(0,-3)或(2,-1).解法提示以P,Q,D,R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,可分如下情況討論:分類一:PD是平行四邊形的對(duì)角線,此時(shí)PQRD,且PQ=RD,點(diǎn)R在點(diǎn)D的上方.D(-2,-3),要使R為整點(diǎn),線段RD長必須是整數(shù).又PQ=RD,線段PQ長必須是整數(shù).由(2)知,PQ=-m2-m+2=-m+122+94,-2<m<1,0<PQ94.PQ=1或2.此時(shí)R(-2,-2)或R(-2,-1).分類二:QD是平行四邊形的對(duì)角線,此時(shí)PQRD,且PQ=RD,點(diǎn)R在點(diǎn)D下方,此時(shí)R(-2,-4)或R(-2,-5).分類三:PQ是平行四邊形的對(duì)角線.D(-2,-3),P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3).設(shè)R(xR,yR).根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得-2+xR2=m,-3+yR2=yP+yQ2=12(m2+3m-4).解得xR=2m+2,yR=m2+3m-1.R(2m+2,m2+3m-1).-2<m<1,要使R為整點(diǎn),m=-1或0.此時(shí)R(0,-3)或R(2,-1).綜上所述,在平面內(nèi)存在整點(diǎn)R,點(diǎn)R的坐標(biāo)為(-2,-1)或(-2,-2)或(-2,-4)或(-2,-5)或(0,-3)或(2,-1).4.解:(1)將B(4,m)的坐標(biāo)代入y=12x+12,得m=12×4+12=52B4,52.將A(-1,0),B4,52,C0,-32的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=0,16a+4b+c=52,c=-32.解得a=12,b=-1,c=-32.拋物線的解析式為y=12x2-x-32,y=12(x2-2x)-32=12(x-1)2-12-32=12(x-1)2-2,故頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-2).(2)如圖,過點(diǎn)P作PEx軸,交AB于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BFx軸于點(diǎn)F.A(-1,0),B4,52,AF=4(1)=5.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為n,12n2-n-32,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為n,12n+12.點(diǎn)P在直線AB下方,PE=12n+12-12n2-n-32=-12n2+32n+2.SPAB=SAPE+SBPE=12PE·AG+12PE·FG=12PE·(AG+FG)=12PE·AF=12×5-12n2+32n+2=-54n-322+12516.當(dāng)n=32時(shí),PAB的面積最大,且最大面積為12516.當(dāng)n=32時(shí),12n2-n-32=12×322-32-32=-158,故此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,-158.(3)拋物線的解析式為y=12x2-x-32=12x-12-2,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.又A(-1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0).又M的坐標(biāo)為(1,-2),AD=3(1)=4,AD2=42=16,AM2=1-(-1)2+(-2)2=8,DM2=(13)2+(20)2=8,AD2=AM2+DM2,且AM=DM.MAD是等腰直角三角形,AMD=90°.又QMNMAD,QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,MQN=90°,QMN=45°.又AMD=90°,AMQ=QMD=45°,此時(shí)點(diǎn)D(或點(diǎn)A)與點(diǎn)N重合(如圖),此時(shí)MQx軸,故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0).9