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1、專題18 解直角三角形問題 專題知識回顧 一、勾股定理1勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2=c2。2勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。 3.定理：經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。 4.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理） 5.直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形的兩銳角互余；(2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(3)直角三角形中30角所對直角邊等于斜邊的一半；(4)直角三角形斜邊上的中線
2、等于斜邊的一半。6.直角三角形的判定：(1)有一個角等于90的三角形是直角三角形(2) 兩銳角互余的三角形是直角三角形(3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形(4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形二、銳角三角函數(shù)1.各種銳角三角函數(shù)的定義（1）正弦：在ABC中，C=90把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做A的正弦，記作sinA （2）余弦：在ABC中，C=90，把銳角A的鄰邊與斜邊比值的叫做A的余弦，記作cosA （3） 正切：在ABC中，C=90，把銳角A的對邊與鄰邊的比值叫做A的正切，記作tanA 2.特殊值的三角函數(shù)：sincostancot0010不存在304
3、511609010不存在0三、仰角、俯角、坡度概念1仰角：視線在水平線上方的角；2俯角：視線在水平線下方的角。 3坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。四、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sinA=cos(90A)，cosA=sin(90A)tanA=cot(90A)，cotA=tan(90A)（2）平方關(guān)系 （3）倒數(shù)關(guān)系 tanAtan(90A)=1（4）弦切關(guān)系 tanA=專題典型題考法及解析 【例題1】（2019湖北省鄂州市）如圖，已知線段AB4，O是AB的中點，直線l經(jīng)過點O，160，P點是直線l
4、上一點，當(dāng)APB為直角三角形時，則BP 【答案】2或2或2【解析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2c2分APB90、PAB90、PBA90三種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可AOOB2，當(dāng)BP2時，APB90，當(dāng)PAB90時，AOP60，APOAtanAOP2，BP2，當(dāng)PBA90時，AOP60，BPOBtan12，故答案為：2或2或2【例題2】（2019湖南長沙）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60方向，距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45方向上的B處，這時輪船B與小島
5、A的距離是（）A30nmileB60nmileC120nmileD（30+30）nmile【答案】D 【解析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線過點C作CDAB，則在RtACD中易得AD的長，再在直角BCD中求出BD，相加可得AB的長過C作CDAB于D點，ACD30，BCD45，AC60在RtACD中，cosACD，CDACcosACD6030在RtDCB中，BCDB45，CDBD30，ABAD+BD30+30答：此時輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile【例題3】（2019江蘇連云港）如圖，
6、海上觀察哨所B位于觀察哨所A正北方向，距離為25海里在某時刻，哨所A與哨所B同時發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置C位于哨所A北偏東53的方向上，位于哨所B南偏東37的方向上（1）求觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離；（2）若觀察哨所A發(fā)現(xiàn)走私船從C處以16海里/小時的速度向正東方向逃竄，并立即派緝私艇沿北偏東76的方向前去攔截，求緝私艇的速度為多少時，恰好在D處成功攔截（結(jié)果保留根號）（參考數(shù)據(jù)：sin37cos53，cos37sin53，tan37，tan764）【答案】（1）觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里；（2）當(dāng)緝私艇的速度為6海里/小時時，恰好在D處成功攔截【解析】（1）先根據(jù)三
7、角形內(nèi)角和定理求出ACB90，再解RtABC，利用正弦函數(shù)定義得出AC即可；在ABC中，ACB180BBAC180375390在RtABC中，sinB，ACABsin372515（海里）答：觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里；（2）過點C作CMAB于點M，易知，D.C.M在一條直線上解RtAMC，求出CM、AM解RtAMD中，求出DM、AD，得出CD設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時，根據(jù)走私船行駛CD所用的時間等于緝私艇行駛AD所用的時間列出方程，解方程即可過點C作CMAB于點M，由題意易知，D.C.M在一條直線上在RtAMC中，CMACsinCAM1512，AMACcosCAM159
8、在RtAMD中，tanDAM，DMAMtan769436，AD9，CDDMCM361224設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時，則有，解得x6經(jīng)檢驗，x6是原方程的解答：當(dāng)緝私艇的速度為6海里/小時時，恰好在D處成功攔截 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1（2019渝北區(qū)）如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，則能組成直角三角形的是（）A1，2B1，3，4C2，3，6D4，5，6【答案】A【解析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可A.12+（）222，故是直角三角形，故此選項正確；B.12+3242，故不是直角三角形，故此選項錯誤；C.22+3262，故不是直角三角形，故此選項錯誤；D.
9、42+5262，故不是直角三角形，故此選項錯誤2（2019巴南區(qū)）下列各組數(shù)據(jù)中，能夠成為直角三角形三條邊長的一組數(shù)據(jù)是（）A，B32，42，52CD0.3，0.4，0.5【答案】D【解析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理看看能否組成三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理逐個判斷即可A.（）2+（）2（）2，即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；B.（32）2+（42）2（52）2，即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；C.（）2+（）2（）2，即三角形不是直角三角形，故本選項不符合題意；D.0.032+0.0420.052，即三角形是直角三角形，故本選項符合題意。3.（2019廣西省貴港市）將
10、一條寬度為的彩帶按如圖所示的方法折疊，折痕為，重疊部分為（圖中陰影部分），若，則重疊部分的面積為ABCD 【答案】【解析】過作于，則，依據(jù)勾股定理得出的長，進而得到重疊部分的面積如圖，過作于，則，中，重疊部分的面積為，故選：4.（2019貴州省畢節(jié)市） 如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，若EB1，EC2，那么正方形ABCD的面積為（）AB3CD5【答案】B【解析】勾股定理四邊形ABCD是正方形，B90，BC2EC2EB222123，正方形ABCD的面積BC23故選：B5（2019南岸區(qū)）如圖，在RtABC中，A90，C30，BC的垂直平分線交AC于點D，并交BC于點E，若ED3，則AC的長
11、為（）A3B3C6D9【答案】D【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DCDB，DEBC，求出BDDC2DE3，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可DE是線段BC的垂直平分線，DCDB，DEBC，C30，BDDC2DE3，DBCC30，在ABC中，A90，C30，ABC60，ABD603030，ADBD3，ACDC+AD96（2019西藏）如圖，在O中，半徑OC垂直弦AB于D，點E在O上，E22.5，AB2，則半徑OB等于（）A1BC2D2【答案】B 【解析】直接利用垂徑定理進而結(jié)合圓周角定理得出ODB是等腰直角三角形，進而得出答案半徑OC弦AB于點D，EBOC22.5，BOD45，ODB是等腰直角三角
12、形，AB2，DBOD1，則半徑OB等于：7.（2019江蘇蘇州）如圖，小亮為了測量校園里教學(xué)樓的高度，將測角儀豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為的地面上，若測角儀的高度為，測得教學(xué)樓的頂部處的仰角為，則教學(xué)樓的高度是（ ）ABCD【答案】C 【解析】考察角的三角函數(shù)值，中等偏易題目過作交于，在中，8.（2019湖南長沙）如圖，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是（）A2B4C5D10【答案】B【解析】如圖，作DHAB于H，CMAB于M由tanA2，設(shè)AEa，BE2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明DHBD，推出CD+BDCD+DH，
13、由垂線段最短即可解決問題如圖，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，ABE90，tanA2，設(shè)AEa，BE2a，則有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍棄），BE2a4，ABAC，BEAC，CMAC，CMBE4（等腰三角形兩腰上的高相等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值為4二、填空題9.（2019貴州安順）如圖，在RtABC中，BAC90，且BA3，AC4，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DMAB于點M，DNAC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為 【答案】【解析】BAC90，且BA3，
14、AC4，BC5，DMAB，DNAC，DMADNABAC90，四邊形DMAN是矩形，MNAD，當(dāng)ADBC時，AD的值最小，此時，ABC的面積ABACBCAD，AD，MN的最小值為。10. （2019貴州省畢節(jié)市） 三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手將一對直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，ABCF，F(xiàn)ACB90，E45，A60，AC10，則CD的長度是 【答案】155【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理過點B作BMFD于點M，在ACB中，ACB90，A60，AC10，ABC30，BC10tan6010 ，ABCF，BMBCsin30105，CMBCcos3015，在EFD中
15、，F(xiàn)90，E45，EDF45，MDBM5 ，CDCMMD155 故答案是：15511. (2019海南)如圖,將RtABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)(090)得到AE,直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)(090)得到AF,連接EF,若AB3,AC2,且+B,則EF_.【答案】【解析】+B,EAFBAC+B90,AEF是直角三角形,且AEAB3,AFAC2,EF12.（2019黑龍江哈爾濱）如圖將ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到ABC,其中點A與A是對應(yīng)點,點B與B是對應(yīng)點,點B落在邊AC上,連接AB,若ACB=45,AC=3,BC=2,則AB的長為 【答案】：【解析】將ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到ABC，AC
16、AC3，ACBACA45ACB90AB13.（2019山東東營）已知等腰三角形的底角是30，腰長為2，則它的周長是_【答案】【解析】如圖，過A作ADBC于D，則ADBADC90，ABAC2，B30，ADAB，由勾股定理得：BD3，同理CD3，BC6，ABC的周長為BC+AB+AC6+2+26+414.（2019浙江寧波）如圖，某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的西北方向，距離哨所400米的A處有一艘船向正東方向航行，航行一段時間后到達哨所北偏東60方向的B處，則此時這艘船與哨所的距離OB約為 米（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732）【答案】456 【解析】考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角的問題此題是
17、一道方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想通過解直角OAC求得OC的長度，然后通過解直角OBC求得OB的長度即可如圖，設(shè)線段AB交y軸于C，在直角OAC中，ACOCAO45，則ACOCOA400米，OCOAcos45400200（米）在直角OBC中，COB60，OC200米，OB400456（米）故答案是：45615.（2019海南?。┤鐖D，將RtABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)（090）得到AE，直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（090）得到AF，連結(jié)EF若AB3，AC2，且+B，則EF 【答案】【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AEAB3，ACA
18、F2，由勾股定理可求EF的長由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AEAB3，ACAF2，B+BAC90，且+B，BAC+90EAF90EF16（2019山東臨沂）如圖，在ABC中，ACB120，BC4，D為AB的中點，DCBC，則ABC的面積是 【答案】8【解析】根據(jù)垂直的定義得到BCD90，得到長CD到H使DHCD，由線段中點的定義得到ADBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AHBC4，HBCD90，求得CD2，于是得到結(jié)論DCBC，BCD90，ACB120，ACD30，延長CD到H使DHCD，D為AB的中點，ADBD，在ADH與BCD中，ADHBCD（SAS），AHBC4，HBCD90，ACH30，CHAH4，CD
19、2，ABC的面積2SBCD2428，故答案為：8三、解答題17.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在ABC中，ABBC，ADBC于點D，BEAC于點E，AD與BE交于點F，BHAB于點B，點M是BC的中點，連接FM并延長交BH于點H（1）如圖所示，若ABC30，求證：DFBH BD；（2）如圖所示，若ABC45，如圖所示，若ABC60（點M與點D重合），猜想線段DF，BH，BD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明圖圖圖【答案】見解析?！窘馕觥織l件中有等腰三角形ABC，故考慮用等腰三角形的性質(zhì)；條件中有30角，且有ADBC，故可以找到與BD有關(guān)的的數(shù)量關(guān)系，即ADBD；條件中有中
20、點，故考慮構(gòu)造全等三角形.結(jié)合以上信息，再結(jié)合問題中的DF,BH兩條線段，因此連接CF，問題可解.對于圖和圖，可仿照（1）的思路求解.（1）證明：連接CF，AB=BC，ABC=30，BAC=ACB=75.ADBC，ADB=90，BAD=60，DAC=15AB=BC，BEAC，BE垂直平分AC，AF=CF，ACF=DAC=15，BCF=75-15=60，BHAB，ABC=30，CBH=60，CBH=BCF=60.在BHM和CFM中，CBH=BCF，BM=CM，BMH=CMF，BHMCFM，BH=CF,BH=AF，AD=DF+AF=DF+BH.在RtADB中，ABC=30，AD=BD,DFBHBD
21、.（2）圖猜想結(jié)論：DFBHBD；圖猜想結(jié)論：DFBHBD18.（2019廣西池河）如圖，在河對岸有一棵大樹A，在河岸B點測得A在北偏東60方向上，向東前進120m到達C點，測得A在北偏東30方向上，求河的寬度（精確到0.1m）參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732【答案】見解析。【解析】過點A作AD直線BC，垂足為點D，在RtABD和RtACD中，通過解直角三角形可求出BD，CD的長，結(jié)合BCBDCD120，即可求出AD的長過點A作AD直線BC，垂足為點D，如圖所示在RtABD中，tanBAD，BDADtan60AD；在RtACD中，tanCAD，CDADtan30ADBCBDCDAD120，AD
22、103.9河的寬度為103.9米19. （2019湖南懷化）如圖，為測量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸B處測得對岸A處一棵柳樹位于北偏東60方向，他以每秒1.5米的速度沿著河岸向東步行40秒后到達C處，此時測得柳樹位于北偏東30方向，試計算此段河面的寬度【答案】這條河的寬度為30米【解析】如圖，作AD于BC于D由題意可知：BC1.54060米，ABD30，ACD60，BACACDABC30，ABCBAC，BCAC60米在RtACD中，ADACsin606030（米）答：這條河的寬度為30米20.（2019四川巴中）某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點D在河的右側(cè)，紅軍路AB與某橋BC互相
23、垂直某?！皵?shù)學(xué)興趣小組”在“研學(xué)旅行”活動中，在C處測得點D位于西北方向，又在A處測得點D位于南偏東65方向，另測得BC414m，AB300m，求出點D到AB的距離（參考數(shù)據(jù)sin650.91，cos650.42，tan652.14）【答案】點D到AB的距離是214m【解析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確根據(jù)三角函數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵如圖，過點D作DEAB于E，過D作DFBC于F，則四邊形EBFD是矩形，設(shè)DEx，在RtADE中，AED90，tanDAE，AE，BE300，又BFDEx，CF414x，在RtCDF中，DFC90，DCF45，DFCF414x，又BE
24、CF，即：300414x，解得：x21421.（2019湖北省荊門市）如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB5，BC3，AC2（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）求證：BDBC【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強（1）作CEAB交AB的延長線于點E，如圖：設(shè)BEx，CEh在RtCEB中：x2+h29在RtCEA中：（5+x）2+h252聯(lián)立解得：x，h平行四邊形ABCD的面積ABh12；（2）作DFAB，垂足為FDFACEB90平行四邊形ABCDADBC，ADBCDAFCBE又DFACEB90，ADBCADFBCE（
25、AAS）AFBE，BF5，DFCE在RtDFB中：BD2DF2+BF2（）2+（）216BD4BC3，DC5CD2DB2+BC2BDBC22.（2019廣東深圳）如圖所示，某施工隊要測量隧道長度BC，AD=600米，ADBC，施工隊站在點D處看向B，測得仰角45，再由D走到E處測量，DEAC，DE=500米，測得仰角為53，求隧道BC長.（sin53，cos53，tan53）.【答案】隧道BC的長度為700米【解析】作EMAC于點M，構(gòu)建直角三角形，解直角三角形解決問題如圖，ABD是等腰直角三角形，AB=AD=600作EMAC于點M，則AM=DE=500，BM=100在RtCEM中，tan53
26、=，即=，CM=800，BC=CMBM=800100=700（米），隧道BC的長度為700米答：隧道BC的長度為700米23.（2019湖北十堰）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，AD3m，壩高AEDF6m，坡角45，30，求BC的長【答案】BC的長（9+63）m【解析】解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題過A點作AEBC于點E，過D作DFBC于點F，則四邊形AEFD是矩形，有AEDF6，ADEF3，坡角45，30，BEAE6，CF=3DF63，BCBE+EF+CF6+3+63=9+63，BC（9+63）m，答：BC的長（9+63）m24. （2019湖南郴州）如圖所示，巡邏船在A處測得燈塔C在北
27、偏東45方向上，距離A處30km在燈塔C的正南方向B處有一漁船發(fā)出求救信號，巡邏船接到指示后立即前往施救已知B處在A處的北偏東60方向上，這時巡邏船與漁船的距離是多少？（精確到0.01km參考數(shù)據(jù)：21.414，31.732，62.449）【答案】巡邏船與漁船的距離約為8.97km【解析】延長CB交過A點的正東方向于D，則CDA90，由題意得：AC30km，CAD45，BAD30，由直角三角形的性質(zhì)得出ADCD=22AC152，AD=3BD，BD=1523=56，即可得出答案延長CB交過A點的正東方向于D，如圖所示：則CDA90，由題意得：AC30km，CAD904545，BAD906030，ADCD=22AC152，AD=3BD，BD=1523=56，BCCDBD152-56151.41452.4498.97（km）；答：巡邏船與漁船的距離約為8.97km 23
2020年中考數(shù)學(xué)必考考點 專題18 解直角三角形問題（含解析）
