2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題18 解直角三角形問題（含解析）

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1、 專題18 解直角三角形問題 專題知識(shí)回顧 一、勾股定理 1．勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2=c2。 2．勾股定理逆定理：如果三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 3.定理：經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。 4.我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理） 5.?直角三角形的性質(zhì)： (1)直角三角形的兩銳角互余； (2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方； (

2、3)直角三角形中30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半； (4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 6.直角三角形的判定： (1)有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形 (2) 兩銳角互余的三角形是直角三角形 (3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形 (4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形 二、銳角三角函數(shù) 1.各種銳角三角函數(shù)的定義 （1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作sinA＝ （2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把銳角A的鄰邊與斜邊比值的叫做∠A的余弦，記作cosA＝ （3） 正切：在

3、△ABC中，∠C=90°，把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比值叫做∠A的正切，記作tanA＝ 2.特殊值的三角函數(shù)： α sinα cosα tanα cotα 0° 0 1 0 不存在 30° 45° 1 1 60° 90° 1 0 不存在 0 三、仰角、俯角、坡度概念 1．仰角：視線在水平線上方的角； 2．俯角：視線在水平線下方的角。 3．坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。 四、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)

4、系 （1）互余關(guān)系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方關(guān)系 （3）倒數(shù)關(guān)系 tanAtan(90°—A)=1 （4）弦切關(guān)系 tanA= 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019?湖北省鄂州市）如圖，已知線段AB＝4，O是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∠1＝60°，P點(diǎn)是直線l上一點(diǎn)，當(dāng)△APB為直角三角形時(shí)，則BP＝　 ?。? 【答案】2或2或2． 【解析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜

5、邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2． 分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可． ∵AO＝OB＝2， ∴當(dāng)BP＝2時(shí)，∠APB＝90°， 當(dāng)∠PAB＝90°時(shí)，∵∠AOP＝60°， ∴AP＝OA?tan∠AOP＝2， ∴BP＝＝2， 當(dāng)∠PBA＝90°時(shí)，∵∠AOP＝60°， ∴BP＝OB?tan∠1＝2， 故答案為：2或2或2． 【例題2】（2019?湖南長(zhǎng)沙）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這

6、時(shí)輪船B與小島A的距離是（　?。? A．30nmile B．60nmile C．120nmile D．（30+30）nmile 【答案】D 【解析】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線． 過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，則在Rt△ACD中易得AD的長(zhǎng)，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的長(zhǎng)． 過(guò)C作CD⊥AB于D點(diǎn)， ∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60． 在Rt△ACD中，cos∠ACD＝， ∴CD＝AC?cos∠ACD＝60×＝30． 在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝4

7、5°， ∴CD＝BD＝30， ∴AB＝AD+BD＝30+30． 答：此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile． 【例題3】（2019?江蘇連云港）如圖，海上觀察哨所B位于觀察哨所A正北方向，距離為25海里．在某時(shí)刻，哨所A與哨所B同時(shí)發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置C位于哨所A北偏東53°的方向上，位于哨所B南偏東37°的方向上． （1）求觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離； （2）若觀察哨所A發(fā)現(xiàn)走私船從C處以16海里/小時(shí)的速度向正東方向逃竄，并立即派緝私艇沿北偏東76°的方向前去攔截，求緝私艇的速度為多少時(shí)，恰好在D處成功攔截．（結(jié)果保留根號(hào)） （參考數(shù)據(jù)：si

8、n37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4） 【答案】（1）觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里； （2）當(dāng)緝私艇的速度為6海里/小時(shí)時(shí)，恰好在D處成功攔截． 【解析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函數(shù)定義得出AC即可； 在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°． 在Rt△ABC中，sinB＝， ∴AC＝AB?sin37°＝25×＝15（海里）． 答：觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里； （2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，

9、易知，D.C.M在一條直線上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時(shí)，根據(jù)走私船行駛CD所用的時(shí)間等于緝私艇行駛AD所用的時(shí)間列出方程，解方程即可． 過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，由題意易知，D.C.M在一條直線上． 在Rt△AMC中，CM＝AC?sin∠CAM＝15×＝12， AM＝AC?cos∠CAM＝15×＝9． 在Rt△AMD中，tan∠DAM＝， ∴DM＝AM?tan76°＝9×4＝36， ∴AD＝＝＝9， CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24． 設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時(shí)，則有＝， 解得x＝6． 經(jīng)檢

10、驗(yàn)，x＝6是原方程的解． 答：當(dāng)緝私艇的速度為6海里/小時(shí)時(shí)，恰好在D處成功攔截． 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1．（2019?渝北區(qū)）如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，則能組成直角三角形的是（　?。? A．1，，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，6 【答案】A． 【解析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可． A.12+（）2＝22，故是直角三角形，故此選項(xiàng)正確； B.12+32≠42，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； C.22+32≠62，故不是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D.42+52≠62，故不是直角三

11、角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤． 2．（2019?巴南區(qū)）下列各組數(shù)據(jù)中，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的一組數(shù)據(jù)是（　?。? A．，， B．32，42，52 C． D．0.3，0.4，0.5 【答案】D． 【解析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理看看能否組成三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理逐個(gè)判斷即可． A.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意； B.（32）2+（42）2≠（52）2，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意； C.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意； D.0.032+0.042＝0.052，即三角形是直角三角形，故

12、本選項(xiàng)符合題意。 3.（2019廣西省貴港市）將一條寬度為的彩帶按如圖所示的方法折疊，折痕為，重疊部分為（圖中陰影部分），若，則重疊部分的面積為　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】過(guò)作于，則，依據(jù)勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到重疊部分的面積． 如圖，過(guò)作于，則， ， ，，中，， 重疊部分的面積為，故選：． 4.（2019貴州省畢節(jié)市） 如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為（　?。? A． B．3 C． D．5 【答案】B． 【解析】勾股定理． ∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝E

13、C2﹣EB2＝22﹣12＝3， ∴正方形ABCD的面積＝BC2＝3．故選：B． 5．（2019?南岸區(qū)）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，并交BC于點(diǎn)E，若ED＝3，則AC的長(zhǎng)為（　?。? A．3 B．3 C．6 D．9 【答案】D． 【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DC＝DB，DE⊥BC，求出BD＝DC＝2DE＝3，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可． ∵DE是線段BC的垂直平分線， ∴DC＝DB，DE⊥BC， ∵∠C＝30°， ∴BD＝DC＝2DE＝3， ∴∠DBC＝∠C＝30°， 在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30

14、°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°， ∴AD＝BD＝3， ∴AC＝DC+AD＝9． 6．（2019?西藏）如圖，在⊙O中，半徑OC垂直弦AB于D，點(diǎn)E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，則半徑OB等于（　?。? A．1 B． C．2 D．2 【答案】B 【解析】直接利用垂徑定理進(jìn)而結(jié)合圓周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，進(jìn)而得出答案． ∵半徑OC⊥弦AB于點(diǎn)D， ∴＝， ∴∠E＝∠BOC＝22.5°， ∴∠BOD＝45°， ∴△ODB是等腰直角三角形， ∵AB＝2， ∴DB＝OD＝1， 則半徑OB等于：＝． 7.（2019

15、?江蘇蘇州）如圖，小亮為了測(cè)量校園里教學(xué)樓的高度，將測(cè)角儀豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為的地面上，若測(cè)角儀的高度為，測(cè)得教學(xué)樓的頂部 處的仰角為，則教學(xué)樓的高度是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】考察角的三角函數(shù)值，中等偏易題目 過(guò)作交于， 在中， 8.（2019?湖南長(zhǎng)沙）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+BD的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B． 【解析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，設(shè)AE＝a，B

16、E＝2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂線段最短即可解決問題． 如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M． ∵BE⊥AC， ∴∠ABE＝90°， ∵tanA＝＝2，設(shè)AE＝a，BE＝2a， 則有：100＝a2+4a2， ∴a2＝20， ∴a＝2或﹣2（舍棄）， ∴BE＝2a＝4， ∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC， ∴CM＝BE＝4（等腰三角形兩腰上的高相等）） ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴sin∠DBH＝＝＝， ∴DH＝BD， ∴CD+BD＝CD+DH， ∴CD+DH≥CM， ∴CD+BD

17、≥4， ∴CD+BD的最小值為4． 二、填空題 9.（2019·貴州安順）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為　 ?。? 【答案】． 【解析】∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4， ∴BC＝＝5， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四邊形DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小， 此時(shí)，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD， ∴AD＝＝， ∴MN的最小值為。

18、10. （2019貴州省畢節(jié)市） 三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手．將一對(duì)直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長(zhǎng)度是　 ?。? 【答案】15﹣5． 【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理． 過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ， ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5， CM＝BC×cos30°＝15， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝4

19、5°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝5 ， ∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ． 故答案是：15﹣5． 11. (2019海南)如圖,將Rt△ABC的斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到AE,直角邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到AF,連接EF,若AB＝3,AC＝2,且+＝∠B,則EF＝________. 【答案】 【解析】∵+＝∠B,∴∠EAF＝∠BAC+∠B＝90°,∴△AEF是直角三角形,且AE＝AB＝3,AF＝AC＝2,∴EF＝＝ 12.（2019黑龍江哈爾濱）如圖將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C,其中點(diǎn)A′與A是對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)B′

20、與B是對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)B′落在邊AC上,連接A′B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,則A′B的長(zhǎng)為 ． 【答案】： 【解析】∵將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C， ∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45° ∴∠A'CB＝90° ∴A'B＝＝ 13.（2019山東東營(yíng)）已知等腰三角形的底角是30°，腰長(zhǎng)為2，則它的周長(zhǎng)是____________． 【答案】 【解析】如圖，過(guò)A作AD⊥BC于D，則∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB＝AC＝2，∠B＝30°，∴AD＝AB＝， 由勾股定理得：BD＝＝3， 同理CD＝3，∴BC＝6， ∴

21、△ABC的周長(zhǎng)為BC+AB+AC＝6+2+2＝6+4． 14.（2019?浙江寧波）如圖，某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的西北方向，距離哨所400米的A處有一艘船向正東方向航行，航行一段時(shí)間后到達(dá)哨所北偏東60°方向的B處，則此時(shí)這艘船與哨所的距離OB約為　 　米．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732） 【答案】456 【解析】考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角的問題．此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想． 通過(guò)解直角△OAC求得OC的長(zhǎng)度，然后通過(guò)解直角△OBC求得OB的長(zhǎng)度即可． 如圖，設(shè)線段AB

22、交y軸于C， 在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，則AC＝OC． ∵OA＝400米， ∴OC＝OA?cos45°＝400×＝200（米）． ∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米， ∴OB＝＝＝400≈456（米） 故答案是：456． 15.（2019?海南?。┤鐖D，將Rt△ABC的斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到AE，直角邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°）得到AF，連結(jié)EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，則EF＝　 ?。? 【答案】 【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可

23、求EF的長(zhǎng)． 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2， ∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B， ∴∠BAC+α+β＝90° ∴∠EAF＝90° ∴EF＝＝ 16．（2019?山東臨沂）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥BC，則△ABC的面積是　 　． 【答案】8． 【解析】根據(jù)垂直的定義得到∠BCD＝90°，得到長(zhǎng)CD到H使DH＝CD，由線段中點(diǎn)的定義得到AD＝BD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，求得CD＝2，于是得到結(jié)論． ∵DC⊥BC， ∴∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝120

24、°，∴∠ACD＝30°， 延長(zhǎng)CD到H使DH＝CD， ∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD， 在△ADH與△BCD中，， ∴△ADH≌△BCD（SAS）， ∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°， ∵∠ACH＝30°， ∴CH＝AH＝4，∴CD＝2， ∴△ABC的面積＝2S△BCD＝2××4×2＝8， 故答案為：8． 三、解答題 17.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE交于點(diǎn)F，BH⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，連接FM并延長(zhǎng)交BH于點(diǎn)H． （1）如圖①所示，若∠ABC＝30°，求證：DF＋BH＝

25、 BD； （2）如圖②所示，若∠ABC＝45°，如圖③所示，若∠ABC＝60°（點(diǎn)M與點(diǎn)D重合），猜想線段DF，BH， BD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明． 圖① 圖② 圖③ 【答案】見解析。 【解析】條件中有等腰三角形ABC，故考慮用等腰三角形的性質(zhì)；條件中有30°角，且有AD⊥BC，故可以找到與BD有關(guān)的的數(shù)量關(guān)系，即AD＝BD；條件中有中點(diǎn)，故考慮構(gòu)造全等三角形.結(jié)合以上信息，再結(jié)合問題中的DF,BH兩條線段，因此連接CF，問題可解.對(duì)于圖②和圖③，可仿照（1）的思路求解. （1）證明：連接CF，∵AB=BC，∠ABC==30°，

26、∴∠BAC=∠ACB=75°. ∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠DAC=15° ∵AB=BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF， ∴∠ACF=∠DAC=15°，∴∠BCF=75°-15°=60°， ∵BH⊥AB，∠ABC=30°，∴∠CBH==60°，∴∠CBH=∠BCF=60°. 在△BHM和△CFM中，∠CBH=∠BCF，BM=CM，∠BMH=∠CMF，∴△BHM≌△CFM， ∴BH=CF,∴BH=AF，∴AD=DF+AF=DF+BH.在Rt△ADB中，∠ABC=30°，∴AD=BD, ∴DF＋BH＝BD. （2）圖②猜想結(jié)論：DF

27、＋BH＝BD； 圖③猜想結(jié)論：DF＋BH＝BD 18.（2019?廣西池河）如圖，在河對(duì)岸有一棵大樹A，在河岸B點(diǎn)測(cè)得A在北偏東60°方向上，向東前進(jìn)120m到達(dá)C點(diǎn)，測(cè)得A在北偏東30°方向上，求河的寬度（精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732． 【答案】見解析。 【解析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線BC，垂足為點(diǎn)D，在Rt△ABD和Rt△ACD中，通過(guò)解直角三角形可求出BD，CD的長(zhǎng)，結(jié)合BC＝BD﹣CD＝120，即可求出AD的長(zhǎng)． 過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線BC，垂足為點(diǎn)D，如圖所示． 在Rt△ABD中，tan∠BAD＝， ∴BD＝AD?tan60°＝AD； 在Rt△A

28、CD中，tan∠CAD＝， ∴CD＝AD?tan30°＝AD． ∴BC＝BD﹣CD＝AD＝120， ∴AD＝103.9． ∴河的寬度為103.9米． 19. （2019?湖南懷化）如圖，為測(cè)量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸B處測(cè)得對(duì)岸A處一棵柳樹位于北偏東60°方向，他以每秒1.5米的速度沿著河岸向東步行40秒后到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得柳樹位于北偏東30°方向，試計(jì)算此段河面的寬度． 【答案】這條河的寬度為30米． 【解析】如圖，作AD⊥于BC于D． 由題意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝

29、30°， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴BC＝AC＝60米． 在Rt△ACD中，AD＝AC?sin60°＝60×＝30（米）． 答：這條河的寬度為30米． 20.（2019四川巴中）某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點(diǎn)D在河的右側(cè)，紅軍路AB與某橋BC互相垂直．某校“數(shù)學(xué)興趣小組”在“研學(xué)旅行”活動(dòng)中，在C處測(cè)得點(diǎn)D位于西北方向，又在A處測(cè)得點(diǎn)D位于南偏東65°方向，另測(cè)得BC＝414m，AB＝300m，求出點(diǎn)D到AB的距離．（參考數(shù)據(jù)sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【答案】點(diǎn)D到AB的距離是214m． 【解析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用

30、，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確根據(jù)三角函數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵． 如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，過(guò)D作DF⊥BC于F，則四邊形EBFD是矩形， 設(shè)DE＝x， 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， ∵tan∠DAE＝， ∴AE＝＝， ∴BE＝300﹣， 又BF＝DE＝x， ∴CF＝414﹣x， 在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°， ∴DF＝CF＝414﹣x， 又BE＝CF， 即：300﹣＝414﹣x， 解得：x＝214 21.（2019?湖北省荊門市）如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2． （1）求平行四邊形ABCD的面積

31、； （2）求證：BD⊥BC． 【答案】見解析。 【解析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)． （1）作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖： 設(shè)BE＝x，CE＝h 在Rt△CEB中：x2+h2＝9① 在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52② 聯(lián)立①②解得：x＝，h＝ ∴平行四邊形ABCD的面積＝AB?h＝12； （2）作DF⊥AB，垂足為F ∴∠DFA＝∠CEB＝90° ∵平行四邊形ABCD ∴AD＝BC，AD∥BC ∴∠DAF＝∠CBE 又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC ∴△ADF≌△

32、BCE（AAS） ∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝ 在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16 ∴BD＝4 ∵BC＝3，DC＝5 ∴CD2＝DB2+BC2 ∴BD⊥BC． 22.（2019廣東深圳）如圖所示，某施工隊(duì)要測(cè)量隧道長(zhǎng)度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工隊(duì)站在點(diǎn)D處看向B，測(cè)得仰角45°，再由D走到E處測(cè)量，DE∥AC，DE=500米，測(cè)得仰角為53°，求隧道BC長(zhǎng).（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）. 【答案】隧道BC的長(zhǎng)度為700米． 【解析】作EM⊥AC于點(diǎn)M，構(gòu)建直角三角形，解直角三角形解決問題． 如圖

33、，△ABD是等腰直角三角形，AB=AD=600． 作EM⊥AC于點(diǎn)M，則AM=DE=500，∴BM=100． 在Rt△CEM中，tan53°=，即=， ∴CM=800， ∴BC=CM－BM=800－100=700（米）， ∴隧道BC的長(zhǎng)度為700米． 答：隧道BC的長(zhǎng)度為700米． 23.（2019湖北十堰）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，AD＝3m，壩高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的長(zhǎng)． 【答案】BC的長(zhǎng)（9+63）m． 【解析】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題 過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)D作DF⊥BC于點(diǎn)F， 則四邊形AEFD是矩

34、形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3， ∵坡角α＝45°，β＝30°， ∴BE＝AE＝6，CF=3DF＝63， ∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+63=9+63，∴BC＝（9+63）m， 答：BC的長(zhǎng)（9+63）m． 24. （2019湖南郴州）如圖所示，巡邏船在A處測(cè)得燈塔C在北偏東45°方向上，距離A處30km．在燈塔C的正南方向B處有一漁船發(fā)出求救信號(hào)，巡邏船接到指示后立即前往施救．已知B處在A處的北偏東60°方向上，這時(shí)巡邏船與漁船的距離是多少？ （精確到0.01km．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449） 【答案】巡邏船與漁船的距離約為8.97k

35、m． 【解析】延長(zhǎng)CB交過(guò)A點(diǎn)的正東方向于D，則∠CDA＝90°，由題意得：AC＝30km，∠CAD＝45°，∠BAD＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出AD＝CD=22AC＝152，AD=3BD，BD=1523=56，即可得出答案． 延長(zhǎng)CB交過(guò)A點(diǎn)的正東方向于D，如圖所示： 則∠CDA＝90°， 由題意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∴AD＝CD=22AC＝152，AD=3BD， ∴BD=1523=56， ∴BC＝CD﹣BD＝152-56≈15×1.414﹣5×2.449≈8.97（km）； 答：巡邏船與漁船的距離約為8.97km． 23