2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題8 分式方程及其應(yīng)用(含解析)

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1、專題08 分式方程及其應(yīng)用 專題知識(shí)回顧 1.分式方程的定義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。 (1)去分母(方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母,將分式方程化為整式方程); (2)按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值; (3)驗(yàn)根:將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母,若等于零,就是增根,原分式方程無(wú)解;若不等于零,就是原方程的根。 專題典型題考法及解析 【例題1】(2019?湖北孝感)方程=的解為  ?。? 【答案】x=1. 【解析】解一個(gè)分式方程時(shí),可按照“

2、一去(去分母)、二解(解整式方程)、三檢驗(yàn)(檢查求出的根是否是增根)”的步驟求出方程的解即可.注意:解分式方程時(shí),最后一步的驗(yàn)根很關(guān)鍵.觀察可得方程最簡(jiǎn)公分母為2x(x+3).去分母,轉(zhuǎn)化為整式方程求解.結(jié)果要檢驗(yàn).兩邊同時(shí)乘2x(x+3),得 x+3=4x, 解得x=1. 經(jīng)檢驗(yàn)x=1是原分式方程的根. 【例題2】(2019黑龍東地區(qū))已知關(guān)于x的分式方程 的解是非正數(shù),則m的取值范圍是( ) A.m≤3 B.m<3 C.m>-3 D.m≥-3 【答案】A 【解析】知識(shí)點(diǎn)是分式方程的增根。 由得x=m-3, ∵方程的解是非正數(shù), ∴m-3≤0,∴m≤

3、3. 當(dāng)x-3=0即x=3時(shí),3=m-3,m=6, ∵m=6不在m≤3內(nèi),∴m≤3.故選A. 【例題3】(2019?廣東省廣州市)甲、乙二人做某種機(jī)械零件,已知每小時(shí)甲比乙少做8個(gè),甲做120個(gè)所用的時(shí)間與乙做150個(gè)所用的時(shí)間相等,設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件,下列方程正確的是(  ) A.= B.= C.= D.= 【答案】 【解析】設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件,根據(jù)甲做120個(gè)所用的時(shí)間與乙做150個(gè)所用的時(shí)間相等得出方程解答即可. 設(shè)甲每小時(shí)做x個(gè)零件,可得: 【例題4】(2019?四川自貢)解方程:﹣=1. 【答案】x=2. 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程

4、的解得到x的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解. 去分母得:x2﹣2x+2=x2﹣x, 解得:x=2, 檢驗(yàn):當(dāng)x=2時(shí),方程左右兩邊相等, 所以x=2是原方程的解. 【例題5】(2019?江蘇揚(yáng)州)“綠水青山就是金山銀山”,為了進(jìn)一步優(yōu)化河道環(huán)境,甲乙兩工程隊(duì)承擔(dān)河道整治任務(wù),甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天共整治河道1500米,甲工程隊(duì)整治3600米所用的時(shí)間與乙工程隊(duì)整治2400米所用時(shí)間相等。甲工程隊(duì)每天整治河道多少米? 【答案】甲工程隊(duì)每天整治河道900米. 【解析】解設(shè)甲工程隊(duì)每天整治河道xm,則乙工程隊(duì)每天整治(1500-x)m 由題意得:=, 解得:x=900 經(jīng)檢驗(yàn)的x=

5、900是該方程的解。 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.(2019?黑龍江哈爾濱)方程=的解為( ?。? A.x= B.x= C.x= D.x= 【答案】C 【解析】本題考查解分式方程;熟練掌握分式方程的解法及驗(yàn)根是解題的關(guān)鍵. 將分式方程化為,即可求解x=;同時(shí)要進(jìn)行驗(yàn)根即可求解。 =, , ∴2x=9x﹣3, ∴x=; 將檢驗(yàn)x=是方程的根, ∴方程的解為x= 2.(2019山東淄博)解分式方程=﹣2時(shí),去分母變形正確的是( ?。? A.﹣1+x=﹣1﹣2(x﹣2) B.1﹣x=1﹣2(x﹣2) C.﹣1+x=1+2(2﹣x)

6、 D.1﹣x=﹣1﹣2(x﹣2) 【答案】D 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,即可得到結(jié)果. 去分母得:1﹣x=﹣1﹣2(x﹣2) 3.(2019?廣西貴港)若分式的值等于0,則x的值為( ?。? A.±1 B.0 C.﹣1 D.1 【答案】D 【解析】化簡(jiǎn)分式==x﹣1=0即可求解。 ==x﹣1=0, ∴x=1; 經(jīng)檢驗(yàn):x=1是原分式方程的解。 4.(2019遼寧本溪)為推進(jìn)垃圾分類,推動(dòng)綠色發(fā)展,某化工廠要購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)機(jī)器人用來(lái)進(jìn)行垃圾分類.用360萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)甲型機(jī)器人和用480萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)乙型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)相同,兩種型

7、號(hào)機(jī)器人的單價(jià)和為140萬(wàn)元.若設(shè)甲型機(jī)器人每臺(tái)x萬(wàn)元,根據(jù)題意,所列方程正確的是 A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用,設(shè)甲種型號(hào)機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格是x萬(wàn)元,根據(jù)“用360萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)甲型機(jī)器人和用480萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)乙型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)相同”,列出關(guān)于x的分式方程. 設(shè)甲型機(jī)器人每臺(tái)x萬(wàn)元,根據(jù)題意,可得: 5. (2019?湖北十堰)十堰即將跨入高鐵時(shí)代,鋼軌鋪設(shè)任務(wù)也將完成.現(xiàn)還有6000米的鋼軌需要鋪設(shè),為確保年底通車,如果實(shí)際施工時(shí)每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)20米,就能提前15天完成任務(wù).設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)鋼軌x米,則根

8、據(jù)題意所列的方程是( ?。? A.﹣=15 B.﹣=15 C.﹣=20 D.﹣=20 【答案】A 【解析】考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程,關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)以時(shí)間為等量關(guān)系列出方程. 設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)鋼軌x米,根據(jù)如果實(shí)際施工時(shí)每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)20米,就能提前15天完成任務(wù)可列方程. 設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)鋼軌x米,可得: 6. (2019?山東省濟(jì)寧市 )世界文化遺產(chǎn)“三孔”景區(qū)已經(jīng)完成5G基站布設(shè),“孔夫子家”自此有了5G網(wǎng)絡(luò).5G網(wǎng)絡(luò)峰值速率為4G網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍,在峰值速率下傳輸500兆數(shù)據(jù),5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快45秒,求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率.設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x

9、兆數(shù)據(jù),依題意,可列方程是( ?。? A.﹣=45 B.﹣=45 C.﹣=45 D.﹣=45 【答案】A 【解析】由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程直接利用5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快45秒得出等式進(jìn)而得出答案. 設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x兆數(shù)據(jù),依題意,可列方程是: ﹣=45. 7.(2019?江蘇蘇州)小明5元買(mǎi)售價(jià)相同的軟面筆記本,小麗用24元買(mǎi)售價(jià)相同的硬面筆記本(兩人的錢(qián)恰好用完),已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴3元,且小明和小麗買(mǎi)到相同數(shù)量的筆記本,設(shè)軟面筆記本每本售價(jià)為元,根據(jù)題意可列出的方程為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】考察分

10、式方程的應(yīng)用,簡(jiǎn)單題型。找到等量關(guān)系為兩人買(mǎi)的筆記本數(shù)量 二、填空題 8.(2019?甘肅)分式方程=的解為  ?。? 【答案】x= 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解. 去分母得:3x+6=5x+5, 解得:x=, 經(jīng)檢驗(yàn)x=是分式方程的解. 9.(2019?山東省濱州市)方程+1=的解是  ?。? 【答案】x=1. 【解析】本題考查了解分式方程.(1)解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解,(2)解分式方程一定注意要驗(yàn)根. 去分母,得x﹣3+x﹣2=﹣3, 移項(xiàng)、合并,得2x

11、=2, 解得x=1, 檢驗(yàn):當(dāng)x=1時(shí),x﹣2≠0, 所以,原方程的解為x=1 10.(2019?山東省德州市)方程﹣=1的解為  ?。? 【答案】x=﹣4 【解析】根據(jù)分式方程的解法,先將式子通分化簡(jiǎn)為=1,最后驗(yàn)證根的情況,進(jìn)而求解。 ﹣=1, =1, =1, =1, x+1=﹣3, x=﹣4, 經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣4是原方程的根。 11.(2019?湖北黃石)分式方程:﹣=1的解為  ?。? 【答案】x=﹣1 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解. 去分母得:4﹣x=x2﹣4x,即x2﹣3x﹣4=0

12、, 解得:x=4或x=﹣1, 經(jīng)檢驗(yàn)x=4是增根,分式方程的解為x=﹣1 12.(2019四川巴中)若關(guān)于x的分式方程+=2m有增根,則m的值為   . 【答案】1 【解析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根.所以應(yīng)先確定增根的可能值,讓最簡(jiǎn)公分母x﹣2=0,得到x=2,然后代入化為整式方程的方程算出m的值. 方程兩邊都乘x﹣2,得x﹣2m=2m(x﹣2) ∵原方程有增根, ∴最簡(jiǎn)公分母x﹣2=0, 解得x=2, 當(dāng)x=2時(shí),m=1 故m的值是1 13.(2019?江蘇宿遷)關(guān)于x的分式方程+=1的解為正數(shù),則a的取值范圍是 ?。? 【答案】a<5且a≠3.

13、 【解析】直接解分式方程,進(jìn)而利用分式方程的解是正數(shù)得出a的取值范圍,進(jìn)而結(jié)合分式方程有意義的條件分析得出答案. 去分母得:1﹣a+2=x﹣2, 解得:x=5﹣a, 5﹣a>0, 解得:a<5, 當(dāng)x=5﹣a=2時(shí),a=3不合題意, 故a<5且a≠3. 14.(2019?貴州省安順市)某生態(tài)示范園計(jì)劃種植一批蜂糖李,原計(jì)劃總產(chǎn)量達(dá)36萬(wàn)千克,為了滿足市場(chǎng)需求,現(xiàn)決定改良蜂糖李品種,改良后平均每畝產(chǎn)量是原計(jì)劃的1.5倍,總產(chǎn)量比原計(jì)劃增加了9萬(wàn)千克,種植畝數(shù)減少了20畝,則原計(jì)劃和改良后平均每畝產(chǎn)量各多少萬(wàn)千克?設(shè)原計(jì)劃平均畝產(chǎn)量為x萬(wàn)千克,則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬(wàn)千克,

14、根據(jù)題意列方程為  ?。? 【答案】﹣=20. 【解析】設(shè)原計(jì)劃平均畝產(chǎn)量為x萬(wàn)千克,則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬(wàn)千克, 依題意,得:﹣=20. 故答案為:﹣=20. 15. (2019黑龍江綏化)甲乙兩輛汽車同時(shí)從A地出發(fā),開(kāi)往相距200km的B地,甲,乙兩車的速度之比是4:5,結(jié)果乙車比甲車早30分鐘到達(dá)B地,則甲車速度為_(kāi)_____km/h. 【答案】80 【解析】分式方程的應(yīng)用。 設(shè)甲車速度為4x,乙車速度為5x,根據(jù)題意得:, 解之,得x=20,∴甲車速度為4x=80. 三、解答題 16.(2019廣西梧州)解方程:. 【答案】是分式方程的解. 【解析

15、】直接利用分式方程的解法解方程得出答案.正確去分母、檢驗(yàn)是解題關(guān)鍵. 方程兩邊同乘以得:, 則, , 解得:,, 檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,故不是方程的根, 是分式方程的解. 17.(2019?湖北天門(mén))解分式方程:=. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】去分母化分式方程為整式方程,解之求得x的值,再檢驗(yàn)即可得. 兩邊都乘以(x+1)(x﹣1),得:2(x+1)=5, 解得:x=, 檢驗(yàn):當(dāng)x=時(shí),(x+1)(x﹣1)=≠0, ∴原分式方程的解為x=. 18.(2019貴州省畢節(jié)市)解方程:1-=. 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】觀察可得最簡(jiǎn)公分母是2(x+1),方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母,

16、可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解. 去分母得, 2x+2﹣(x﹣3)=6x, ∴x+5=6x, 解得,x=1 經(jīng)檢驗(yàn):x=1是原方程的解. 19.(2019年陜西?。┙夥质椒匠蹋?. 【答案】. 【解析】去分母,解整式方程,檢驗(yàn)根的情況,回答問(wèn)題. 方程兩邊同乘,得 解得 檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,所以是原分式方程的解 所以原分式方程的解為. 20.(2019黑龍江大慶)某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器,現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同,求該工廠原來(lái)平均每天生產(chǎn)多少臺(tái)機(jī)器? 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】由已知列出分式方程

17、,解之可得. 設(shè)原來(lái)每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器,則現(xiàn)在每天生產(chǎn)(x+50)臺(tái), 根據(jù)題意得:, 解之,得x=150, 經(jīng)檢驗(yàn),x=150是原分式方程的解.答:該工廠原來(lái)平均每天生產(chǎn)150臺(tái)機(jī)器. 21.(2019吉林長(zhǎng)春)為建國(guó)70周年獻(xiàn)禮,某燈具廠計(jì)劃加工9000套彩燈,為盡快完成任務(wù),實(shí)際每天加工彩燈的數(shù)量是原計(jì)劃的1.2倍,結(jié)果提前5天完成任務(wù)。求該燈具廠原計(jì)劃每天加工這種彩燈的數(shù)量. 【答案】300套. 【解析】該燈具廠原計(jì)劃每天加工這種彩燈的數(shù)量為x套,則實(shí)際每天加工彩燈的數(shù)量為1.2x套, 由題意得:, 解得:x=300, 經(jīng)檢驗(yàn),x=300是原方程的解,且符合題意。

18、22.(2019?湖南衡陽(yáng))某商店購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品,購(gòu)買(mǎi)1個(gè)A商品比購(gòu)買(mǎi)1個(gè)B商品多花10元,并且花費(fèi)300元購(gòu)買(mǎi)A商品和花費(fèi)100元購(gòu)買(mǎi)B商品的數(shù)量相等. (1)求購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A商品和一個(gè)B商品各需要多少元; (2)商店準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A、B兩種商品共80個(gè),若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍,并且購(gòu)買(mǎi)A、B商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于1050元,那么商店有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案? 【答案】見(jiàn)解析。 【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出分式方程;(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系,正確列出一元一次不等式組. (1)設(shè)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)B商品需要

19、x元,則購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A商品需要(x+10)元, 依題意,得:=, 解得:x=5, 經(jīng)檢驗(yàn),x=5是原方程的解,且符合題意, ∴x+10=15. 答:購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A商品需要15元,購(gòu)買(mǎi)一個(gè)B商品需要5元. (2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)B商品m個(gè),則購(gòu)買(mǎi)A商品(80﹣m)個(gè), 依題意,得:, 解得:15≤m≤16. ∵m為整數(shù),∴m=15或16. ∴商店有2種購(gòu)買(mǎi)方案,方案①:購(gòu)進(jìn)A商品65個(gè)、B商品15個(gè); 方案②:購(gòu)進(jìn)A商品64個(gè)、B商品16個(gè). 23.(2019湖南湘西)列方程解應(yīng)用題: 某列車平均提速80km/h,用相同的時(shí)間,該列車提速前行駛300km,提速后比提速前多行駛200km,求該列車提速前的平均速度. 【答案】該列車提速前的平均速度為120km/h. 【解析】設(shè)該列車提速前的平均速度為xkm/h,則提速后的平均速度為(x+80)km/h,根據(jù)時(shí)間=路程÷速度結(jié)合提速前行駛300km和提速后行駛500km(300+200)所用時(shí)間相等,即可得出關(guān)于x的分式方程,解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論. 設(shè)該列車提速前的平均速度為xkm/h,則提速后的平均速度為(x+80)km/h, 依題意,得:300x=300+200x+80, 解得:x=120, 經(jīng)檢驗(yàn),x=120是原方程的解,且符合題意. 11

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