福建省寧德市2013屆高三數(shù)學質檢試題 理（含解析）新人教A版

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1、 福建省寧德市2013屆高三質量檢查 數(shù)學試卷（理科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分） 1．（5分）（2013?寧德模擬）若集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|﹣1≤x≤2}，則（　?。? 　 A． N?M B． M∪N=N C． M=N D． M∩N=? 考點： 交、并、補集的混合運算． 分析： 解出集合M中二次不等式，再求兩集合的交集或并集，對照選項進行判斷即可． 解答： 解：M={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，N={x|﹣1≤x≤2}， ∴M∩N={x|0≤x≤2}，M∪N={x|﹣

2、1≤x≤2}=N， 故選B． 點評： 本題考查二次不等式的解集和集合的交集問題，注意等號，較簡單． 　 2．（5分）（2013?寧德模擬）已知x，y∈R，則“x=y”是“|x|=|y|”的（　?。? 　 A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 　 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 分析： 本題考查的知識點是充要條件的定義，我們可先假設“x=y”成立，然后判斷“|x|=|y|”是否一定成立；然后假設“|x|=|y|”成立，再判斷“x=y”是否一定成立，然后結合充要條件的定義，即可得到結論． 解答

3、： 解：當“x=y”成立時， “|x|=|y|”一定成立， 即“x=y”?“|x|=|y|”為真假命題； 但當“|x|=|y|”成立時，x=±y 即“x=y”不一定成立， 即“|x|=|y|”?“x=y”為假命題； 故“x=y”是“|x|=|y|”的充分不必要條件 故選A 點評： 判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條

4、件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系． 　 3．（5分）（2013?寧德模擬）已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，若終邊經過點（，），則tanθ等于（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 任意角的三角函數(shù)的定義． 專題： 三角函數(shù)的求值． 分析： 由角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點（，），根據(jù)三角函數(shù)的第二定義，終邊過（x，y）的點tanθ=，代入可得答案． 解答： 解：∵角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合， 終邊經過

5、點（，）， 故tanθ== 故選B 點評： 本題考查的知識點是任意角的三角函數(shù)的定義，其中熟練掌握三角函數(shù)的第二定義是解答的關鍵． 　 4．（5分）（2013?寧德模擬）一個底面是等腰直角三角形，側棱垂直于底面且體積為4的三棱柱的俯視圖如圖所示，則這個三棱柱的側視圖的面積為（　　） 　 A． 4 B． 2 C． 2 D． 4 考點： 簡單空間圖形的三視圖． 專題： 計算題． 分析： 通過三棱柱的俯視圖，求出底面三角形的高，然后求出棱柱的底面面積，利用棱柱的體積求出棱柱的高，然后求出側視圖的面積． 解答： 解：由題意可知棱柱的底面面積為S，底

6、面是等腰直角三角形，由俯視圖可知斜邊長為：2，斜邊上的高為：1， 底面面積S，所以S==1， 因為棱柱的體積為4，所以V=Sh=4，所以棱柱的高為：4， 側視圖是矩形，底邊長為：1，高為4， 所以側視圖的面積為：1×4=4． 故選D． 點評： 本題考查幾何體的三視圖的應用，側視圖的面積的求法，考查計算能力． 　 5．（5分）（2013?寧德模擬）下列函數(shù)f（x）中，滿足“?x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0“的是（　?。? 　 A． f（x）=2x B． f（x）=|x﹣1| C． f（x）=﹣x D． f（x）

7、=ln（x+1） 考點： 奇偶性與單調性的綜合． 專題： 函數(shù)的性質及應用． 分析： 易得所求函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，逐個驗證：A為增函數(shù)；B在（1，+∞）單調遞增；C符合題意；D在（﹣1，+∞）上單調遞增，可得答案． 解答： 解：由題意可得函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)， 選項A為指數(shù)函數(shù)，為增函數(shù)，故不合題意； 選項B，f（x）=，故函數(shù)在（1，+∞）單調遞增，不合題意； 選項C，由f′（x）=＜0可知函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，符合題意； 選項D，函數(shù)在（﹣1，+∞）上單調遞增，故不合題意， 故選C 點評： 本題考查函數(shù)的單調性，借用常用函

8、數(shù)的單調性是解決問題的捷徑，屬基礎題． 　 6．（5分）（2013?寧德模擬）曲線y2=x與直線y=x所圍成的圖形的面積為（　　） 　 A． B． C． D． 考點： 定積分． 專題： 計算題；導數(shù)的概念及應用． 分析： 作出兩個曲線的圖象，求出它們的交點坐標，由此可得所求面積為函數(shù)﹣x在區(qū)間[0，1]上的定積分的值，再用定積分計算公式加以運算即可得到本題答案． 解答： 解：∵曲線y2=x和曲線y=x的交點為A（1，1）和原點O ∴曲線y2=x和曲線y=x所圍圖形的面積為 S=（﹣x）dx=（﹣x2） =（）﹣（）= 故選：A 點

9、評： 本題求兩條曲線圍成的曲邊圖形的面積，著重考查了定積分的幾何意義和積分計算公式等知識，屬于基礎題． 　 7．（5分）（2013?寧德模擬）已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個不同平面，直線m?平面a，直線n⊥平面β，給出命題： ①n⊥m?α∥β； ②n∥m?α⊥β； ③α∥β?n⊥m； ④α⊥β?n∥m． 其中正確命題為（　　） 　 A． ①③ B． ②③ C． ②④ D． ①④ 考點： 命題的真假判斷與應用；空間中直線與直線之間的位置關系；平面與平面之間的位置關系． 專題： 空間位置關系與距離． 分析： 結合圖形演示判斷①是否正確；

10、根據(jù)面面垂直的判定定理判斷②是否正確； 根據(jù)線面垂直的性質判斷③是否正確； 根據(jù)空間直線與平面的位置關系判斷④是否正確． 解答： 解：①如圖平面α、β的關系不定，故①錯誤； ②∵m∥n，n⊥平面β，∴m⊥β，m?α∴α⊥β，②正確； ③∵α∥β，n⊥β，∴n⊥α，m?α，∴m⊥n，③正確； ④α⊥β，n⊥β，∴n?α或n∥α．m?α，∴m、n的位置關系不確定． 故選B 點評： 本題借助考查命題的真假判斷，考查空間直線與直線、平面與平面的位置關系． 　 8．（5分）（2013?寧德模擬）平面上動點P到定點F與定直線/的距離相等，且點F與直線l的距離為1．某同學建立直角

11、坐標系后，得到點P的軌跡方程為x2=2y﹣1，則他的建系方式是（　　） 　 A． B． C． D． 考點： 曲線與方程． 專題： 計算題． 分析： 通過曲線的軌跡方程，判斷曲線的焦點坐標與對稱軸的位置，然后確定選項． 解答： 解：因為點P的軌跡方程為x2=2y﹣1， 即所求的拋物線方程：y=x2+，拋物線的對稱軸為：y軸，頂點坐標為（0，）． 所以該同學建系方式是C． 故選C． 點評： 本題考查曲線與方程的關系，注意拋物線的性質的應用，也可以利用曲線圖形變換解答． 　 9．（5分）（2013?寧德模擬）在△ABC中，sin2A=sin

12、2B+sin2C﹣sinBsinC，且=2，則AC+2AB的 最小值為（　?。? 　 A． 4 B． 4 C． 4 D． 4 考點： 正弦定理；平面向量數(shù)量積的運算；余弦定理． 專題： 計算題；解三角形． 分析： 由已知結合正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc，然后利用余弦定理可得，cosA=可求A，再由=2，結合數(shù)量積的定義可求bc，而AC+2AB=b+2c，利用基本不等式可求 解答： 解：∵sin2A=sin2B+sin2C﹣sinBsinC， 由正弦定理可得，a2=b2+c2﹣bc， 由余弦定理可得，cosA== ∴ ∵=2， 由數(shù)量積的定

13、義可知， ∴bc=4 ∴AC+2AB=b+2c=4 當且僅當b=2c=2時取等號 故選D 點評： 此題考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，及基本不等式在求解最值中的應用，熟練掌握定理是解本題的關鍵． 　 10．（5分）（2013?寧德模擬）若函數(shù)f（x）對于任意x∈[a，b]，恒有|f（x）﹣f（a）﹣（x﹣a）|≤T（T為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上具有“T級線性逼近”．下列函數(shù)中： ①f（x）=2x+1； ②f（x）=x2； ③f（x）=； ④f（x）=x3． 則在區(qū)間[1，2]上具有“級線性逼近”的函數(shù)的個數(shù)為（　?。? 　 A．

14、 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點： 命題的真假判斷與應用． 專題： 函數(shù)的性質及應用． 分析： 根據(jù)稱函數(shù)f（x）在[a，b]上具有“T級線性逼近”的定義，判斷各個選項中的函數(shù)在區(qū)間[1，2]上是否滿足“級線性逼近”的定義，從而得出結論． 解答： 解：f（x）=2x+1在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|0|≤，故f（x）=2x+1在區(qū)間[1，2]上具有“級線性逼近”，故滿足條件． f（x）=x2 在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|（x﹣1）（x﹣2）|=﹣（x﹣1）（x﹣2）≤， 故f（x）=x

15、2在區(qū)間[1，2]上具有“級線性逼近”，故滿足條件． f（x）=在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|+﹣|=﹣（+）≤﹣2=﹣≤， 故f（x）=2x+1在區(qū)間[1，2]上具有“級線性逼近”，故滿足條件． f（x）=x3在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）﹣f（1）﹣（x﹣1）|=|x3﹣7x+6|=|（x﹣1）（x﹣3）（x+2）|=﹣（x﹣1）（x﹣3）（x+2）， 由于﹣（x3﹣7x+6）的導數(shù)為﹣3x2+7，令﹣3x2+7=0 可得 x=，在[1，]上，3x2﹣7＜0，﹣（x﹣1）（x﹣3）（x+2）為增函數(shù)， 同理可得在[，2]上，﹣（x﹣1）（x﹣3

16、）（x+2）為減函數(shù)，故﹣（x﹣1）（x﹣3）（x+2）的最大值為 （﹣1）（3﹣）（+2）＞， 故不滿足“級線性逼近”，故不滿足條件． 故選C． 點評： 本題主要考查新定義：“T級線性逼近”的定義，不等式的性質應用，式子的變形是解題的難點，屬于中檔題． 　 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡相應位置. 11．（4分）（2013?寧德模擬）若（1+ai）i=﹣3+i，其中a∈R，i是虛數(shù)單位，則a=　3?。? 考點： 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 專題： 計算題． 分析： 把給出的等式的左邊展開，然后利用復數(shù)相等的條件求a的值． 解答：

17、 解：由（1+ai）i=﹣3+i，得﹣a+i=﹣3+i，∴﹣a=﹣3，則a=3． 故答案為3． 點評： 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)相等的條件，兩個復數(shù)相等，當且僅當實部等于實部，虛部等于虛部，是基礎題． 　 12．（4分）（2013?寧德模擬）運行如圖所示的程序，輸入3，4時，則輸出　4　． 考點： 偽代碼． 專題： 函數(shù)的性質及應用． 分析： 由已知中的程序代碼，可得該程序的功能是計算并輸出分段函數(shù)m=的值，由a=3，b=4，易得答案． 解答： 解：由已知中的程序代碼，可得該程序的功能是計算并輸出分段函數(shù)m=的值， 當a=3，b=4時，

18、滿足a≤b 故m=b=4 故答案為：4 點評： 本題考查的知識點是偽代碼，分段函數(shù)，其中由已知中的程序代碼，分析出分段函數(shù)的解析式是解答的關鍵． 　 13．（4分）（2013?寧德模擬）若直線x﹣y+t=0與圓x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0相交所得的弦長為4，則t的值等于　﹣2或6　． 考點： 直線與圓的位置關系． 專題： 計算題；直線與圓． 分析： 先將圓化成標準方程，求出圓心與半徑，再在弦心距與半徑構成的直角三角形中求解弦長即可． 解答： 解：圓x2+y2﹣2x﹣6y﹣6=0化為：（x﹣1）2+（y﹣3）2=16． 圓心到直線的距離為d== 4=2，解得

19、t=﹣2或t=6． 故答案為：﹣2或6 點評： 本題主要考查了直線和圓的方程的應用，以及弦長問題，屬于基礎題． 　 14．（4分）（2006?重慶）已知變量x，y滿足約束條件．若目標函數(shù)z=ax+y（其中a＞0）僅在點（3，0）處取得最大值，則a的取值范圍為　a?。? 考點： 簡單線性規(guī)劃的應用． 專題： 計算題；壓軸題；數(shù)形結合． 分析： 本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據(jù)已知的約束條件，畫出滿足約束條件的可行域，再用圖象判斷，求出目標函數(shù)的最大值． 解答： 解：畫出可行域如圖所示， 其中B（3，0），C（1，1），D（0，1）， 若目標函數(shù)z=a

20、x+y僅在點（3，0）取得最大值， 由圖知，﹣a＜﹣ 解得a＞ 故答案為a＞ 點評： 用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數(shù)．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數(shù)的最優(yōu)解． 　 15．（4分）（2013?寧德模擬）某種平面分形如圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩 夾角為120°； 二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120

21、°；…；依此規(guī)律得到n級分形圖，則n級分形圖中所有線段的長度之和為．　9﹣9?　． 考點： 歸納推理． 專題： 規(guī)律型． 分析： 設n級分形圖中所有線段的長度之和為an，先根據(jù)題意可得a1、a2、a3、a4的值，找到其中的關系，進而可得到數(shù)列的通項公式． 解答： 解：設n級分形圖中所有線段的長度之和為an，依題意a1=3，a2=3+2×3×=3+2， a3=3+2×3×+2×2×3×=3+2+， a4=3+2++， …， 它們構成一個首項為3，公比為的等比的和， ∴an==9﹣9?． 故答案為：9﹣9? 點評： 本題主要考查歸納推理，數(shù)列通項公式的求法．

22、數(shù)列的通項公式在數(shù)列學習中占據(jù)很重要的地位，要強化學習． 　 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演箅步驟. 16．（13分）（2013?寧德模擬）已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1為偶函數(shù)，且f（﹣1）=﹣1． （I）求函數(shù)f（x）的解析式； （II）若函數(shù)g（x）=f（x）+（2﹣k）x在區(qū)間[﹣2，2]上單調遞減，求實數(shù)k的取值范圍． 考點： 二次函數(shù)的性質；函數(shù)解析式的求解及常用方法． 專題： 函數(shù)的性質及應用． 分析： （I）由偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，可得b值，進而根據(jù)f（﹣1）=﹣1，可得a值，進而可得函數(shù)f（x）的

23、解析式； （II）若函數(shù)g（x）=f（x）+（2﹣k）x在區(qū)間[﹣2，2]上單調遞減，可得區(qū)間[﹣2，2]在對稱軸的右側，進而得到實數(shù)k的取值范圍 解答： 解：（I）∵二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1為偶函數(shù)， 故函數(shù)f（x）的圖象關于y軸對稱 即x=﹣=0，即b=0 又∵f（﹣1）=a+1=﹣1，即a=﹣2． 故f（x）=﹣2x2+1 （II）由（I）得g（x）=f（x）+（2﹣k）x=﹣2x2+（2﹣k）x+1 故函數(shù)g（x）的圖象是開口朝下，且以x=為對稱軸的拋物線 故函數(shù)g（x）在[，+∞）上單調遞減， 又∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣2，2]上單調遞減， ∴≤﹣2

24、 解得k≥10 故實數(shù)k的取值范圍為[10，+∞） 點評： 本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵． 　 17．（13分）（2013?寧德模擬）已知函數(shù)，f（x）=cos（﹣2ωx）+2sin2ωx（ω＞0）的最小正周期為π． （I ）求函數(shù)y=f（x）的最值及其單調遞增區(qū)間； （II ）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=2sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？ 考點： 兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦；正弦函數(shù)的單調性；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質．

25、分析： （I）利用降次升角公式，及和差角公式（輔助角公式），可將函數(shù)y=f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，結合函數(shù)y=f（x）的最小正周期為π，可得ω的值，進而結合正弦函數(shù)的圖象和性質，可得答案． （II）根據(jù)函數(shù)圖象的變換法則，結合變換前后函數(shù)的解析式，可分析出函數(shù)變換的方法． 解答： 解：（I）∵f（x）=cos（﹣2ωx）+2sin2ωx=sin2ωx+1﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣）+1 又∵ω＞0，f（x）的最小正周期為π 故ω=1 故f（x）=2sin（2x﹣）+1 ∵A=2，B=1 故函數(shù)y=f（x）的最大值為3，最小值為﹣1 由2kπ﹣≤2x﹣≤2

26、kπ+得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z 故函數(shù)y=f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z） （II）將函數(shù)y=2sin2x（x∈R）的圖象上的所有點向右平移個單位長度 得到函數(shù)y=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）（x∈R）的圖象； 再將函數(shù)y=2sin2（x﹣）=2sin（2x﹣）（x∈R）的圖象上的所有點向上平移1個單位長度 得到函數(shù)f（x）=2sin（2x﹣）+1的圖象． 點評： 本題考查的知識點是兩角差的正弦函數(shù)，二倍角公式，正弦型函數(shù)的單調性，周期性，函數(shù)圖象的變換，是函數(shù)圖象和性質的綜合應用，難度中檔． 　 18．（13分）（2013?寧德模擬）

27、已知橢圓E：（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，離心率e=． （I）若點F在直線l：x﹣y+1=0上，求橢圓E的方程； （II）若0＜a＜1，試探究橢圓E上是否存在點P，使得？若存在，求出點P的個數(shù)；若不存在，請說明理由． 考點： 直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程． 專題： 圓錐曲線的定義、性質與方程． 分析： （Ⅰ）橢圓的左焦點F在直線l：x﹣y+1=0上，把F的坐標代入直線方程可求c的值，與離心率e=聯(lián)立后可求a的值，則橢圓E的方程可求； （Ⅱ）假設橢圓E上存在點P，使得，設出P點坐標，求出向量和，代入后求出點P的橫坐標，由題目給出的a的范圍推出點P橫坐標不在

28、[﹣a，a]內，從而得出矛盾，假設錯誤． 解答： 解：（Ⅰ）∵F（﹣c，0）在直線l：x﹣y+1=0上， ∴﹣c+1=0，即c=1， 又，∴a=2c=2， ∴b=． 從而橢圓E的方程為． （Ⅱ）由，得， ∴， 橢圓E的方程為，其左焦點為，右頂點為A（a，0）， 假設橢圓E上存在點P（x0，y0）（﹣a≤x0≤a），使得， ∵點P（x0，y0）在橢圓上，∴， 由 = = ==1． 解得：x0=a±2， ∵0＜a＜1，∴ x0=a±2?[﹣a，a]， 故不存在點P，使得． 點評： 本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了橢圓的標準方程，訓練了存在性問題的處理

29、方法，對于存在性問題，解決的思路是假設結論成立，把假設作為已知條件進行推理，得出正確的等式關系則假設成立，肯定結論，否則假設不成立，否定結論．此題是中檔題． 　 19．（13分）（2013?寧德模擬）如圖（1），在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E為DC中點，將四邊形ABCE繞直線AE旋轉90°得到四邊形AB′C′E， 如圖（2）． （I）求證：EA⊥B′B； （II）線段B′C′上是否存在點M，使得EM∥平面DB′B，若存在，確定點M的位 置；若不存在，請說明理由； （III）求平面CB′D與平面BB′A所成的銳二面角的大?。?

30、 考點： 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定． 專題： 計算題；證明題；空間位置關系與距離；空間角． 分析： （I）通過證明EA⊥平面ABB′，然后證明EA⊥B′B； （II）存在．當M為B′C′的中點時，EM∥平面DB′B．利用直線與平面平行的判定定理證明即可； （III）通過建立空間直角坐標系，求出平面CB′D與平面BB′A的法向量，利用斜率的數(shù)量積求出兩個平面所成的銳二面角的大?。? 解答： 解：（Ⅰ）證明：∵CD=CD=2AB=2，∴CE=AB，又AB∥CD，且∠C=90°，∴四邊形ABCD為矩形．∴AB⊥EA，EA⊥AB′，又AB∩

31、B′=A，∴EA⊥平面ABB′， ∵BB′?平面ABB′，∴EA⊥B′B； （Ⅱ）解：存在．當M為B′C′的中點時，EM∥平面DB′B．理由如下：設AE與BD交于N，連結B′N． ∵AB∥DE且AB=DE， ∴四邊形ABED為平行四邊形，∴N為AE的中點． ∵M為B′C′中點，四邊形AB′C′E為矩形，∴MB′∥EN，MB′=EN． ∴四邊形MB′NE為平行四邊形，∴EM∥B′N， 又∵EM?平面DBB′，B′N?平面DBB′， ∴EM∥平面DB′B． （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD，建立空間直角坐標系，E﹣xyz，如圖所示 則D（1，0，0），B

32、′0，，1），E（0，0，0），C（﹣1，0，0） 所以=（﹣1，，1），=（﹣2，0，0） 設面DCB′的法向量為=（x，y，z），則，? 不妨設=（0，1，）…（10分） 設面AB′B的法向量=（0，1，0）， 所以cos== 所以平面CB′D與平面BB′A所成的銳二面角的大小為60°…（12分）． 點評： 本題考查直線與平面的垂直與平行的判定定理的應用，二面角的求法，考查空間想象能力與計算能力． 　 20．（14分）（2013?寧德模擬）一學生參加市場營銷調查活動，從某商場得到11月份新款家電M的部分銷售資料．資 料顯示：11月2日開始，每天的銷售量比前一天多t臺

33、（t為常數(shù)），期間某天由于商 家提高了家電M的價格，從當天起，每天的銷售量比前一天少2臺.11月份前2天 共售出8臺，11月5日的銷售量為18臺． （I）若商家在11月1日至15日之間未提價，試求這15天家電M的總銷售量． （II）若11月1日至15日的總銷售量為414臺，試求11月份的哪一天，該商場售出家電M的臺數(shù)最多？并求這一天售出的臺數(shù)． 考點： 函數(shù)模型的選擇與應用． 專題： 計算題；綜合題；函數(shù)的性質及應用；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （I）由題意，在11月1日至15日之間該商場家電M每天的銷售量組成公差為t的等差數(shù)列{an}，結合等差數(shù)列的通項公式解出首項a1

34、和公差t，從而由等差數(shù)列求和公式得到這15天家電M的總銷售量． （II）設從11月1日起，第n天的銷售量最多（1≤n≤30，n∈N*）．根據(jù)（I）前15天的銷售量大于414，可得n＜15；通過假設n=5算出銷售量為120＜414，得n＞5．因此n為大于5而小于15的整數(shù)，因此結合題中數(shù)據(jù)列出S15關于n的式子，解方程S15=414，即可得到n=15，可得在11月12日，該商場售出家電M的臺數(shù)最多，這一天的銷售量為46臺． 解答： 解：（I）根據(jù)題意，商家在11月1日至15日之間家電M每天的銷售量組成公差為t的等差數(shù)列{an}， ∵，∴，解之得 因此，這15天家電M的總銷售量為S15=

35、15×2+=450臺．…（6分） （II）設從11月1日起，第n天的銷售量最多，1≤n≤30，n∈N* 由（I），若商家在11月1日至15日之間未提價，則這15天家電M的總銷售量為450臺， 而450＞414不符合題意，故n＜15； 若n=5，則S15=5×2++10×16+=120＜414， 也不符合題意，故n＞5 因此，前n天每天的銷售量組成一個首項為2，公差為4的等差數(shù)列，第n+1天開始每天的銷售量組成首項為4n﹣4， 公差為﹣2的等差數(shù)列．…（10分） ∴S15=[2n+]+[（15﹣n）（4n﹣4）+]=﹣3n2+93n﹣270 由已知條件，得S15=414，即﹣

36、3n2+93n﹣270=414 解之得n=15或n=19（舍去19） ∴n=12，出售家電M的臺數(shù)為2+11×4=46臺 故在11月12日，該商場售出家電M的臺數(shù)最多，這一天的銷售量為46臺． 點評： 本題給出商場家電的銷售量成等差數(shù)列的模型，求家電M哪一天的銷售量為最多．著重考查了函數(shù)、數(shù)列的基本知識及其應用能力，考查了函數(shù)方程思想和轉化化歸思想的應用，屬于中檔題． 　 21．（14分）（2013?寧德模擬）已知函數(shù)f1（x）=x2，f2（x）=alnx（a∈R）? （I）當a＞0時，求函數(shù)．f（x）=f1（x）?f2（x）的極值； （II）若存在x0∈[1，e]，使得f1

37、（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，求實數(shù)a的取值范圍； （III）求證：當x＞0時，lnx+﹣＞0． （說明：e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…） 考點： 函數(shù)在某點取得極值的條件；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用． 專題： 導數(shù)的綜合應用． 分析： （I）求出導函數(shù)，通過對導函數(shù)為0的根與區(qū)間的關系，判斷出函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的極值； （II）根據(jù)題意存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，設g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，則問題轉化為g（x）min≤0即可，再利用導數(shù)工具得出g′（x），對a時行分類討論①當a

38、≤1時，②當1＜a＜e時，③當a≥e時，利用導數(shù)研究其單調性及最小值，求出a的范圍，最后綜上得到實數(shù)a的取值范圍即可； （III）問題等價于x2lnx＞，構造函數(shù)h（x）=，利用導數(shù)研究其最大值，從而列出不等式f（x）min＞h（x）max，即可證得結論． 解答： 解：（I）f（x）=f1（x）?f2（x）=x2alnx， ∴f′（x）=axlnx+ax=ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0）， 由f′（x）＞0，得x＞e，由f′（x）＜0，得0＜x＜e． ∴函數(shù)f（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)， ∴f（x）的極小值為f（e）=﹣，無極大值． （II）

39、根據(jù)題意存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立， 設g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，則g（x）min≤0即可， 又g′（x）=x+﹣（a+1）=， ①當a≤1時，由x∈[1，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，e]上是增函數(shù)， ∴g（x）min=g（1）=﹣（a+1）≤0，得﹣≤a≤1． ②當1＜a＜e時，由x∈[1，a]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，a]上是減函數(shù)， 由x∈[a，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，a]上是增函數(shù)， ∴g（x）min=g（a）=﹣a2+alna﹣a=﹣a2﹣a（1﹣lna）≤0恒成立，得1＜

40、a＜e． ③當a≥e時，由x∈[1，e]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，e]上是減函數(shù)， ∴g（x）min=g（e）=）=﹣e2+a﹣ae﹣e≤0，得a≥，又＜e，∴a≥e． 綜上，實數(shù)a的取值范圍a． （III）問題等價于x2lnx＞， 由（I）知，f（x）=x2lnx的最小值為﹣， 設h（x）=，h′（x）=﹣得，函數(shù)h（x）在（0，2）上增，在（2，+∞）減， ∴h（x）max=h（2）=， 因﹣＞0， ∴f（x）min＞h（x）max， ∴x2lnx＞，∴l(xiāng)nx﹣（）＞0， ∴l(xiāng)nx+﹣＞0． 點評： 本題主要考查了函數(shù)在某點取得極值的條件，先通過導數(shù)求出函數(shù)的極值，導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用． 　 17