同濟(jì)大學(xué) 朱慈勉版 結(jié)構(gòu)力學(xué) 課后問(wèn)題詳解(下)
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1、word 第六章 習(xí) 題 6-1 試確定圖示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。 (a) 2次超靜定 (b) 6次超靜定 (c) 4次超靜定 (d) 3次超靜定 I I (e) 去掉復(fù)鉸,可減去2〔4-1〕=6個(gè)約束,沿I-I截面斷開,減去三個(gè)約束,故為9次超靜定
2、 (f) 沿圖示各截面斷開,為21次超靜定 (g) 所有結(jié)點(diǎn)均為全鉸結(jié)點(diǎn) 剛片I與大地組成靜定結(jié)構(gòu),剛片II只需通過(guò)一根鏈桿和一個(gè)鉸與I連接即可,故為4次超靜定 II I (h) 題目有錯(cuò)誤,為可變體系。 6-2 試回答:結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)與力法根本結(jié)構(gòu)的選擇是否有關(guān)?力法方程有何物理意義? 6-3 試用力法計(jì)算圖示超靜定梁,并繪出M、FQ圖。 FP 4×2a A 2l 3 l 3 B 2EI EI C (a)
3、 解: + 上圖= X1=1 其中: M圖 Q圖 (b) l 2 l 2 l 2 l A B C D EI=常數(shù) FP 4×2a l 2 E F FP 4×2a 解: 根本結(jié)構(gòu)為: X2 X1 FP 4×2a 6-4 試用力法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu),并繪其力圖。 (a) 20kN/m
4、3m 6m 6m A EI EI B C D 解:根本結(jié)構(gòu)為: 20kN/m X1 6 1 6 810 810 EI=常數(shù) q A C E D B 4a 2a 4a 4a (b) 解:根本結(jié)構(gòu)為: X1 1 計(jì)算,由對(duì)稱性知,可考慮半結(jié)構(gòu)。 1 2 2 計(jì)算:荷載分為對(duì)稱和反對(duì)稱。 對(duì)稱荷載時(shí):
5、 反對(duì)稱荷載時(shí): 6-5 試用力法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu),并繪出M圖。 6m 6m 3m 3m A B C EI 2EI EI D 11kN (a) X1 X2 解:根本結(jié)構(gòu)為: 11KN 1 12 33 11KN 33 1 6 6 用圖乘法求出 (b) EI=常數(shù) 6m 6m 6m E D A C B
6、20kN/m X2 解:根本結(jié)構(gòu)為: X1 20kN/m X2 X1 1 1 1 1 6 3 6 3 3 90 150 30 150 180 6m 3m 5I I I 10kN·m 10kN·m EA=∞ C A B D 5I 12m (c) 10kN·m 10kN·m X1 解:根本結(jié)構(gòu)為: 1
7、 1 10kN·m 10kN·m 10 10 10kN·m 3 3 9 9 (d) 6m 3m 5I I I EA=∞ D A B E 2I 5I C EA=∞ 10kN/m F G X2 X1 解:根本結(jié)構(gòu)為: 10kN/m 1 1 3 3 6 6 9 9 45 405
8、 6-6 試用力法求解圖示超靜定桁架,并計(jì)算1、2桿的力。設(shè)各桿的EA均一樣。 (a) (b) 2m 2m 1 2 30kN a FP FP a a a 1 2 題6-6圖 6-7 試用力法計(jì)算圖示組合結(jié)構(gòu),求出鏈桿軸力并繪出M圖。 (a) l l l EI A B C FP 4×2a kθ= = 12EI l EA= = 2EI l2 解:根
9、本結(jié)構(gòu)為: 1 1 a a a a A B C D E F G q qa EA EI=常數(shù) EA=EI/a2 (b) 6-8 試?yán)脤?duì)稱性計(jì)算圖示結(jié)構(gòu),并繪出M圖。 (a) 6m 6m 9m A B C EA=∞ FP 4×2a 2EI EI EI D E F EA=∞ 解: 原結(jié)構(gòu)=
10、 + ①② ①中無(wú)彎矩。 ②取半結(jié)構(gòu): 1 X1 根本結(jié)構(gòu)為: 9 9 M圖 整體結(jié)構(gòu)M圖 (b) 3m 4m 5m 4m 60kN A B C D EI=常數(shù) (c)
11、 l l A B C D EI=常數(shù) q q 解:根據(jù)對(duì)稱性,考慮1/4結(jié)構(gòu): 根本結(jié)構(gòu)為: 1 1 M (d) l l l D E A B EI=常數(shù) q q C F 解:取1/4結(jié)構(gòu): q
12、 根本結(jié)構(gòu)為: q X2 X1· 1 1 1 1 M 50kN 4×2a (e) 2I F E I 6m I 2I D C
13、 I I 6m B A 9m a a a 2a 2a a 4FP G D E F A B C H I (f) ( BEH桿彎曲剛度為2EI,其余各桿為EI ) 取1/2結(jié)構(gòu): = + ①②②中彎矩為0。 考慮①:反對(duì)稱荷載作用下,取半結(jié)構(gòu)如下:
14、 = + ③④④中無(wú)彎矩。 考慮③: 彎矩圖如下: FP 4×2a a a a a EI=常數(shù) A D k= 3EI 4a3 k B G C E F (g)
15、 解: 原結(jié)構(gòu)= + ①② ①?gòu)澗貫?。 反對(duì)稱荷載下: 根本結(jié)構(gòu)為: X1 1 2a M圖如下: (h) 4FP 4×2a l h l l l l A C E B D F I 2I 2I 2I I I
16、 I I I 6-9 試回答:用力法求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)如何恰當(dāng)?shù)剡x取根本結(jié)構(gòu)? 6-10 試?yán)L出圖示結(jié)構(gòu)因支座移動(dòng)產(chǎn)生的彎矩圖。設(shè)各桿EI一樣。 (a) D 2 l 2 l 2 l A B D E l C D EI=常數(shù) 4a 4a 4a 3a A B D B′ EI=常數(shù) C D (b) 題6-10圖 6-11 試?yán)L出圖示結(jié)構(gòu)因溫度變化產(chǎn)生的M圖。各桿截面為矩形,EI=常數(shù),截面高度h=l/10
17、,材料線膨脹系數(shù)為α。 l l A B C +25℃ -15℃ -10℃ l l l A B C D +15℃ -15℃ -10℃ +15℃ +15℃ +5℃ (a) (b) 題6-11圖 6-12 圖示平面鏈桿系各桿l與EA均一樣,桿AB的制作長(zhǎng)度短了D,現(xiàn)將其拉伸〔在彈性圍〕拼裝就位,試求該桿軸力和長(zhǎng)度。 l B A C D FP A B 題6-12圖 題6-13圖 6-13 剛架各
18、桿正交于結(jié)點(diǎn),荷載垂直于結(jié)構(gòu)平面,各桿為一樣圓形截面,G E,試作彎矩圖和扭矩圖。 6-14 試求題6-11a所示結(jié)構(gòu)鉸B處兩截面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角。 6-15 試判斷如下超靜定結(jié)構(gòu)的彎矩圖形是否正確,并說(shuō)明理由。 FP q FP (a) (b) (c) q FP (d) 題6-15圖 R R FP R A B C 6-16 試求圖示等截面半圓形兩鉸拱的支座水平推力,并畫出M圖。設(shè)EI=常數(shù),并只考慮彎曲變形對(duì)位移的影響。
19、 題6-16圖 習(xí) 題 7-1 試確定圖示結(jié)構(gòu)的位移法根本未知量數(shù)目,并繪出根本結(jié)構(gòu)。 (a) (b) (c) 1個(gè)角位移 3個(gè)角位移,1個(gè)線位移 4個(gè)角位移,3個(gè)線位移 (d) (e) (f) 3個(gè)角位移,1個(gè)線位移 2個(gè)線位移 3個(gè)角位移,2個(gè)線位移 (g)
20、 (h) (i) 一個(gè)角位移,一個(gè)線位移 一個(gè)角位移,一個(gè)線位移 三個(gè)角位移,一個(gè)線位移 7-2 試回答:位移法根本未知量選取的原如此是什么?為何將這些根本未知位移稱為關(guān)鍵位移?是否可以將靜定局部的結(jié)點(diǎn)位移也選作位移法未知量? 7-3 試說(shuō)出位移法方程的物理意義,并說(shuō)明位移法中是如何運(yùn)用變形協(xié)調(diào)條件的。 7-4 試回答:假如考慮剛架桿件的軸向變形,位移法根本未知量的數(shù)目有無(wú)變化?如何變化? 7-5 試用位移法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu),并繪出其力圖。 l l l A B C
21、 D i i i q (a) 解:〔1〕確定根本未知量和根本結(jié)構(gòu) 有一個(gè)角位移未知量,根本結(jié)構(gòu)見圖。 〔2〕位移法典型方程 〔3〕確定系數(shù)并解方程 〔4〕畫M圖 (b) 4m 4m 4m A C D B 10kN EI 2EI EI 解:〔1〕確定根本未知量 1個(gè)角位移未知量,各彎矩圖如下 〔2〕位移法典型方程 〔3〕確定系數(shù)并解方程
22、 〔4〕畫M圖 6m 6m 9m A B C EA=∞ FP 4×2a 2EI EI EI D E F EA=∞ (c) 解:〔1〕確定根本未知量 一個(gè)線位移未知量,各種M圖如下 〔2〕位移法典型方程 〔3〕確定系數(shù)并解方程 〔4〕畫M圖 (d) a 2a a 2a a EA EA A B C D E F FP FP EI1=∞ 解:〔1〕確定根本未知量 一個(gè)
23、線位移未知量,各種M圖如下 〔2〕位移法典型方程 〔3〕確定系數(shù)并解方程 〔4〕畫M圖 (e) l l EA A B C D EA EA FP 4×2a 解:〔1〕確定根本未知量 兩個(gè)線位移未知量,各種M圖如下 〔2〕位移法典型方程 〔3〕確定系數(shù)并解方程 代入,解得 〔4〕畫M圖 7-6 試用位移法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu),并繪出M圖。 (a) 10kN/m A
24、 C B E D F 6m 6m 6m 6m EI=常數(shù) 解:〔1〕確定根本未知量 兩個(gè)角位移未知量,各種M圖如下 〔2〕位移法典型方程 〔3〕確定系數(shù)并解方程 代入,解得 〔4〕畫最終彎矩圖 (b) A C E D EI=常數(shù) 6m 6m 6m B 10kN/m 解:〔1〕確定根本未知量 兩個(gè)位移未知量,各種M圖如下 〔2〕位移法典型方程 〔3〕確定系數(shù)并解方程 代入,解得 〔4〕畫最終彎矩圖
25、 (c) A C B E D F 30kN EI=常數(shù) 2m 2m 2m 2m 2m 解:〔1〕確定根本未知量 兩個(gè)位移未知量,各種M圖如下 〔2〕位移法典型方程 〔3〕確定系數(shù)并解方程 代入,解得 〔4〕求最終彎矩圖 (d) A B E D F EI=常數(shù) l l l l C GF q QL 2 l ql
26、 解:〔1〕確定根本未知量 兩個(gè)位移未知量,各種M圖如下 〔2〕位移法典型方程 〔3〕確定系數(shù)并解方程 代入,解得 〔4〕求最終彎矩圖 8m 4m 4m 4m A B C D 50kN·m 80kN·m 20kN 4m 10kN·m 2EI EI EI (e) 解:〔1〕確定根本未知量 兩個(gè)角位移未知量,各種M圖如下 〔2〕位移法典型方程 〔3
27、〕確定系數(shù)并解方程 代入,解得 〔4〕求最終彎矩圖 7-7 試分析以下結(jié)構(gòu)力的特點(diǎn),并說(shuō)明原因。假如考慮桿件的軸向變形,結(jié)構(gòu)力有何變化? FP FP (a) (b) (c) FP 4×2a (d) (e) (f) FP 4×2a FP 4×2a M 4×2a q EI1=∞ EI 對(duì)稱軸 7-8 試計(jì)算圖
28、示具有牽連位移關(guān)系的結(jié)構(gòu),并繪出M圖。 (a) 20kN 4×2a 8m 8m 6m 3m A C D E B F G EI1=∞ EI1=∞ 3EI 3EI 3EI EI 解:〔1〕畫出圖 由圖可得: 由圖可知: 〔2〕列方程與解方程組 解得: 〔3〕最終彎矩圖 4m 6m 8m 4m 10kN 4×2a 10kN B C A D EI=常數(shù) (b)
29、 解:C點(diǎn)繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),由Cy=1知, 知 求 知 FP EI1=∞ EI EI D C B A a a (c) 解:〔1〕作出各M圖 〔2〕列出位移法方程 解得: 〔3〕最終M圖 l 2 l 2 l C A B D EI1=∞ EI k = 4EI l3 q (d) 解:根本結(jié)構(gòu)選取如下
30、列圖。 作出與圖如下。 由位移法方程得出: 作出最終M圖 7-9 試不經(jīng)計(jì)算迅速畫出圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖形。 A C θA B (a) A C B DyB B′ (b) 題7-9圖 7-10 試計(jì)算圖示有剪力靜定桿的剛架,并繪出M圖。 B F A D C qa a G E q q qa a a a EI=常數(shù)
31、 解:〔1〕畫出圖 由圖可知,得到各系數(shù): 求解得: 〔2〕求解最終彎矩圖 7-11 試?yán)脤?duì)稱性計(jì)算圖示剛架,并繪出M圖。 6m 6m 6m 6m C A B D E F G EI=常數(shù) 6m 20kN/m (a) 解:〔1〕利用對(duì)稱性得: 〔2〕由圖可知: 可得: 〔3〕求最終彎矩圖 20kN EI B A C 4m 3m 4m EI EI (b) 解:〔1〕利用對(duì)
32、稱性,可得: 〔2〕由圖可知,各系數(shù)分別為: 解得: 〔3〕求最終彎矩圖如下 l l l FP A= 12I l2 EI EI EI EA A B C D E (c) 解:〔1〕在D下面加一支座,向上作用1個(gè)單位位移,由于BD桿會(huì)在壓力作用下縮短,所以先分析上半局部,如如下圖。 D點(diǎn)向上作用1個(gè)單位,設(shè)B向上移動(dòng)x個(gè)單位,如此,得個(gè)單位。 〔2〕同理可求出Mp圖。 可得: 〔3〕求最終彎矩圖 A D B C A′
33、 D′ B′ EI EI 2EI 2EI EI EI 10kN 4m 4m 4m 4m 4m 3m (d) (e) 50kN EI A B C D B′ A′ 3m 3m 3m 3m EI EI EI EI E C′ EI1=∞ EI1=∞ EI EI 解:〔1〕利用對(duì)稱性,取左半結(jié)構(gòu) 〔2〕由圖可知: 解得: 〔3〕求得最終彎矩圖
34、10kN 10kN EI=常數(shù) A B C D E F 2m 2m 2m 2m (f) 解:由于Ⅱ不產(chǎn)生彎矩,故不予考慮。只需考慮〔Ⅰ〕所示情況。對(duì)〔Ⅰ〕又可采用半結(jié)構(gòu)來(lái)計(jì)算。如如下圖所示。 7-12 試計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)在支座位移作用下的彎矩,并繪出M圖。 l l l A B C D EI EI EI D (a) 3EI l A D C B l EI EI (
35、b) 解:〔1〕求圖。 〔2〕由圖可知: 代入典型方程,得: 〔3〕求最終彎矩圖 6m 4m A B C +20℃ 0℃ +20℃ 0℃ 題7-13圖 7-13 試用位移法求作如下結(jié)構(gòu)由于溫度變化產(chǎn)生的M圖。桿件截面高度h=0.4m,EI=2×104kN·m2,α=1×10-5。 解:〔1〕畫出圖。 〔2〕求解各系數(shù),得, 典型方程: 解得: 〔3〕求最終彎矩圖 7-14 試用混合法作圖示剛架M圖。 FP F E l A D C B l EI=常數(shù) l
36、l 題7-14圖 習(xí) 題 9-2 解:設(shè)EI=6,如此 結(jié)點(diǎn) A B C 桿端 AB BA BC 分配系數(shù) 固端 絞支 固端彎矩 -60 60 -30 0 分配傳遞 0 最后彎矩 0 (b)解:設(shè)EI=9,如此 結(jié)點(diǎn) A B C 桿端 AB BA BC BD BE 分配系數(shù) 固端 絞支 固端彎矩 0 0 0 45 -90 0 分配傳遞 0 最后彎矩
37、 0 9-3 (a) 解:B為角位移節(jié)點(diǎn) 設(shè)EI=8,如此, 固端彎矩 結(jié)點(diǎn)力偶直接分配時(shí)不變號(hào) 結(jié)點(diǎn) A B C 桿端 AB BA BC 分配系數(shù) 鉸接 固端彎矩 0 48 -58 12 分配傳遞 0 50 50 5 5 12 最后彎矩 0 103 -3 12 (b) 解:存在B、C角位移結(jié)點(diǎn)設(shè)EI=6,如此 固端彎矩: 結(jié)點(diǎn) A B C 桿端 AB BA BC CB CD 分配系數(shù) 固結(jié) 4/7 3/7 固端彎矩 -80
38、80 0 0 -140 分配傳遞 -20 -40 -40 -20 最后彎矩 (c) 解:B、C為角位移結(jié)點(diǎn) 固端彎矩: 結(jié)點(diǎn) A B C D 桿端 AB BA BC CB CD 滑動(dòng) 分配系數(shù) 滑動(dòng) -100 固端彎矩 64 128 -50 50 -200 分配傳遞 -58 -29
39、 最后彎矩 (d) 解: 固端彎矩: 結(jié)點(diǎn) A C D E 桿端 AC CA CD DC DB DE ED 分配系數(shù) 固結(jié) 4/11 3/11 4/11 固結(jié) 固端彎矩 0 0 0 0 0 2.67 分配傳遞 -5 -10 -10 -5 46/33 92/33 69/33 92/33 46/33 - 23/33 - 23/33 最后彎矩
40、 (e) 解:當(dāng)D發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí): 如此 結(jié)點(diǎn) D E B 桿端 DC DA DE ED EB BE 分配系數(shù) 12/37 9/37 16/37 4/7 3/7 固結(jié) 固端彎矩 0 0 -9 9 0 0 分配傳遞 5 最后彎矩 5 -5 (f) 解:截取對(duì)稱結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象。 同理可得:另 9-4 (a)解: 結(jié)點(diǎn) A B C 桿端 AB BA
41、 BC CB 分配系數(shù) 固結(jié) 7/11 4/11 鉸結(jié) 固端彎矩 0 0 分配傳遞 3M/11 7M/11 4M/11 0 最后彎矩 3M/11 7M/11 4M/11 0 (b解:首先在B點(diǎn)偏右作用一力矩,如下列圖。 根據(jù)桿BC端,可得 根據(jù)桿BA端,可得 由②式得: 將②式代入①式得: 9-5 (a解:作出M圖〔在B處加剛臂〕 結(jié)點(diǎn) A B C E 桿端 AB BD BA BC CB CE EC 分配系數(shù) 鉸結(jié) 0.6 0 0.4 鉸
42、結(jié) 固端彎矩 0 -2ql2 -ql2/3 -ql2/6 0 0 分配傳遞 0 21 ql2/15 0 14ql2/15 -14ql2/15 0 最后彎矩 0 21 ql2/15 -2ql2 3ql2/5 -33ql2/30 0 0 (b 解:提取左半局部分析 〔a〕圖中結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生彎矩,〔b〕圖中結(jié)構(gòu)為反對(duì)稱結(jié)構(gòu),因此可以取下半局部分析得: 9-7 (a)解:AB、CD、EF、GA均為并聯(lián)結(jié)構(gòu)。 ①首先轉(zhuǎn)化結(jié)間荷載 固端彎矩: 于是邊柱和中柱的剪力分配系數(shù)為 轉(zhuǎn)化后的荷載為:37.5+22.5+10=70KN
43、 邊柱和中柱的剪力分別為: 邊柱柱腳彎矩為: 中柱柱腳彎矩為: (b)解:同上題,邊柱和中柱的剪力分配系數(shù)為 轉(zhuǎn)化結(jié)間荷載 邊柱和中柱的剪力分別為: 邊柱柱腳彎矩為: 中柱CD柱腳彎矩為: 中柱EF柱腳彎矩為: (c) 解: 當(dāng)頂層橫梁沒有水平位移時(shí),d、e、b、c并列 R=45KN 設(shè)如此 (d解:結(jié)構(gòu)分析: bc并聯(lián)與de 并聯(lián),經(jīng)串聯(lián)后的結(jié)合柱與a并聯(lián)。 9-8 圖示剛架設(shè)各柱的側(cè)移剛度如括號(hào)所示,試用剪力分配法計(jì)算,并作出M圖。 解: 將〔a〕、〔b〕兩圖疊加得:
44、9-9 (a) 解:對(duì)于跨間均布荷載的等截面連續(xù)梁。其變形曲線如下列圖。C點(diǎn)角位移應(yīng)是順時(shí)針方向。C支座處承受負(fù)彎矩,數(shù)值應(yīng)小于C端為固定端時(shí)的彎矩 (b) 解:假如D點(diǎn)固定,如此 實(shí)際結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)受到彈性約束 假如DE段兩端固結(jié),如此 但,D結(jié)點(diǎn)左側(cè)下緣將受拉 (c)解:對(duì)于僅有結(jié)點(diǎn)線位移的剛架,B端假如為固定端,如此A、B兩點(diǎn)固端彎矩為 B端假如為自由端,如此B端彎矩為,B端實(shí)際彎矩應(yīng)介于兩者之間。 根據(jù)柱的側(cè)移剛度,B端彎矩為左邊受拉。且 (d)解: B點(diǎn)沒有線位移,于是考慮兩種極端情況,如〔b〕、〔c〕所示。 可以看出 且 我們還應(yīng)注意
45、BD桿沒有剪力。 (e) +t EI=常數(shù),正六邊形 (f)解: 反對(duì)稱:可知AB桿和ED桿沒有剪力,因?yàn)槿绻校绱思袅Ψ较蛞粯?,結(jié)構(gòu)水平方向的里無(wú)法平衡。所以AB桿與ED桿的彎矩與桿平行。 對(duì)稱:C鉸只能提供水平力,忽略軸向變形。 〔a〕、〔b〕兩圖疊加,得 (g) 解:忽略軸向變形,如此豎直方向的Fp不產(chǎn)生彎矩,可略去。 對(duì)稱結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生彎矩。 反對(duì)稱: b圖中因BC桿的比擬大,所以接近于。 其中,所以反彎點(diǎn)偏上,這是考慮節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的原因。 (h)解:?jiǎn)为?dú)
46、考慮力矩和豎向荷載。 力矩: 反對(duì)稱: AB,BD桿中無(wú)剪力,又因?yàn)?,所以AB桿中無(wú)彎矩,又因?yàn)镈E桿的,D點(diǎn)無(wú)轉(zhuǎn)角,對(duì)于剪力靜定桿而言,無(wú)轉(zhuǎn)角如此無(wú)彎矩,所以DB桿中無(wú)彎矩。對(duì)稱: 這是結(jié)點(diǎn)無(wú)線位移結(jié)構(gòu),又因?yàn)镈E桿與BC桿的,所以結(jié)點(diǎn)又無(wú)轉(zhuǎn)角,所以AB桿、BD桿、BC桿無(wú)彎矩。 〔a〕、〔b〕圖疊加: 豎向荷載: 本結(jié)構(gòu)無(wú)線位移,D、B兩結(jié)點(diǎn)又無(wú)轉(zhuǎn)角,DB桿、BA桿上又無(wú)荷載,所以DB桿、BA桿無(wú)彎矩。(c)(d)兩圖疊加得: 9-10 試用靜力法求圖a所示超靜定梁B支座反力FyB的影響線方程,并繪制它的影響線。設(shè)取根本結(jié)構(gòu)如圖b所示。 (a) 解:
47、由力法求出: 故影響線為: 9-11解:① ② ③ ④ ⑤ 第十章 10-5 試確定圖示各體系的動(dòng)力自由度,忽略彈性桿自身的質(zhì)量。 (a)EI m1 m2 EI (b) 分布質(zhì)量的剛度為無(wú)窮大,由廣義坐標(biāo)法可知,體系僅有兩個(gè)振動(dòng)自由度y,。 EI EI 2EI m m (c) (d) 在集中質(zhì)量處施加剛性鏈桿以限制質(zhì)量運(yùn)動(dòng)體系。有四個(gè)自由度。 10-8 圖示結(jié)構(gòu)橫梁具有無(wú)限剛性和均布質(zhì)量,B處有一彈性支座〔剛度系數(shù)為k〕,C處有一阻尼器〔阻尼系數(shù)為
48、c〕,梁上受三角形分布動(dòng)力荷載作用,試用不同的方法建立體系的運(yùn)動(dòng)方程。 解:1〕剛度法 該體系僅有一個(gè)自由度。 可設(shè)A截面轉(zhuǎn)角a為坐標(biāo)順時(shí)針為正,此時(shí)作用于分布質(zhì)量上的慣性力呈三角形分布。其端部集度為。 取A點(diǎn)隔離體,A結(jié)點(diǎn)力矩為: 由動(dòng)力荷載引起的力矩為: 由彈性恢復(fù)力所引起的彎矩為: 根據(jù)A結(jié)點(diǎn)力矩平衡條件可得: 整理得: 2〕力法 解:取AC桿轉(zhuǎn)角為坐標(biāo),設(shè)在平衡位置附近發(fā)生虛位移。根據(jù)幾何關(guān)系,虛功方程為: 如此同樣有:。 10-9 圖示結(jié)構(gòu)AD和DF桿具有無(wú)限剛性和均布質(zhì)量,A處轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧鉸的剛度系數(shù)為kθ,C、E處彈簧的剛度系數(shù)為k,B處阻尼器的阻尼系
49、數(shù)為c,試建立體系自由振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程。 a A c EI=∞ k B m a a a a E D C F k m kθ 解: 取DF隔離體,: 取AE隔離體: 將R代入,整理得: 10-10 試建立圖示各體系的運(yùn)動(dòng)方程。 l A B EI l 2 m EI1=∞ M(t) (a) 解:〔1〕以支座B處轉(zhuǎn)角作為坐標(biāo),繪出梁的位移和受力圖如下所示。圖中慣性力為三角形分布,方向與運(yùn)動(dòng)方向相反。
50、〔2〕畫出和圖〔在B點(diǎn)處作用一附加約束〕 〔3〕列出剛度法方程 ,, 代入、的值,整理得: (b)m l 2 l 2 FP(t) EI 解: 圖 圖 試用柔度法解題 此體系自由度為1 。設(shè)質(zhì)量集中處的豎向位移y為坐標(biāo)。 y是由動(dòng)力荷載和慣性力矩共同引起的。 由圖乘法: , 慣性力矩為, 經(jīng)整理得,體系運(yùn)動(dòng)方程為:。 10-11 試求圖示各結(jié)構(gòu)的自振頻率,忽略桿件自身的質(zhì)量。 m 2a a a EI=常數(shù) (a)
51、 解: 圖 圖乘得: m EI1=∞ l l 2 k (b) 解:此體系為靜定結(jié)構(gòu),力容易求得。 在集中質(zhì)量處施加垂直力P,使質(zhì)量發(fā)生豎向單位位移,可得彈簧處位移為。 由此根據(jù)彎矩平衡可求得。 。 (c) EA1=∞ l 2 l 2 l 2 l 2 EI 2EI m EI 解:可以將兩個(gè)簡(jiǎn)支梁視為兩個(gè)并聯(lián)的彈簧。 上簡(jiǎn)支梁柔度系數(shù)為下簡(jiǎn)支梁柔度系數(shù)為 于是兩者并
52、聯(lián)的柔度系數(shù)為, l l l l m EI =常數(shù) (d) 解:在原結(jié)構(gòu)上質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方向加上一根水平支桿后,施加單位水平位移后畫得彎矩圖如下。 水平支桿中力為,即。, 4a 4a 3a m EA=常數(shù) (e)忽略水平位移 解: 圖 (f) l 2 l 2 m l EI=常數(shù) 解: 圖 圖
53、 M圖 10-15 設(shè)已測(cè)得某單自由度結(jié)構(gòu)在振動(dòng)10周后振幅由1.188mm減小至0.060mm,試求該結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ。解: 10-16 設(shè)有阻尼比ξFP(t)= F作用,且有。假如阻尼比降低至ξ=0.02,試問(wèn)要使動(dòng)位移幅值不變,簡(jiǎn)諧荷載的幅值應(yīng)調(diào)整到多大? 解: 從0.2降低至0.02.,,A不變。 F簡(jiǎn)諧荷載的幅值應(yīng)調(diào)整到0.827F。 10-19 試求圖示梁在簡(jiǎn)諧荷載作用下作無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)質(zhì)量處以與動(dòng)力荷載作用點(diǎn)的動(dòng)位移幅值,并繪制最大動(dòng)力彎矩圖。設(shè)。 EI m t F q sin A B l (a)
54、 解:由力法可知,單位荷載作用在B點(diǎn)引起位移。 , 即幅值為 當(dāng)幅值最大時(shí),彎矩也最大。 圖 B EI m t F q sin A C (b) 解: 圖 圖 〔1〕求結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程 如所示彎矩圖,圖乘后, 其中,穩(wěn)態(tài)解: 所示結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為,C點(diǎn)最大動(dòng)位移幅值為 〔2〕求B點(diǎn)的動(dòng)位移反響 , B點(diǎn)的動(dòng)位移幅值為 〔3〕繪制最大動(dòng)力彎矩圖 圖 圖
55、 最大動(dòng)力彎矩圖 C A B l EI=∞ m D m 3 t q q sin q(t) = k 10-20 試求圖示集中質(zhì)量體系在均布簡(jiǎn)諧荷載作用下彈簧支座的最大動(dòng)反力。設(shè)桿件為無(wú)限剛性,彈簧的剛度系數(shù)為k。 解: 假如為靜力荷載,彈簧中反力為。 圖示體系為靜定結(jié)構(gòu),具有一個(gè)自由度。設(shè)為B點(diǎn)處順時(shí)針方向轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)。建立動(dòng)力方程: 如此彈簧支座的最大動(dòng)反力為。 10-21 設(shè)圖a所示排架在橫梁處受圖b所示水平脈沖荷載作用,試求各柱所受的最大動(dòng)剪力。EI=6×106N·m2,t1=0.1s,F(xiàn)P0=8×104N。
56、6m 4000kN EI 2EI EI EA=∞ EA=∞ 2000kN 2000kN FP(t) (a) 解:求排架自振頻率,橫梁無(wú)限剛性,如此各排架水平側(cè)移一樣。 可將排架柱視為三個(gè)并聯(lián)的彈簧。 邊柱剛度柔數(shù) 中柱, , 數(shù)值很小 所以認(rèn)為當(dāng)作用完畢時(shí),結(jié)構(gòu)位移很小,彈性力忽略不計(jì),于是根據(jù)動(dòng)量守恒原理可得: 再根據(jù)勢(shì)能守恒得: , 10-22 設(shè)圖a所示排架橫梁為無(wú)限剛性,并有圖b所示水平短時(shí)動(dòng)力荷載作用,試求橫
57、梁的動(dòng)位移。 (a) 解:在三角形沖擊荷載作用下單自由度體系的質(zhì)點(diǎn)位移反響可分兩個(gè)階段考慮。 第一階段〔〕: 求T的過(guò)程。 圖 ,, 第二階段〔〕 因?yàn)椴皇芡饬ψ饔茫詸M梁以時(shí)刻的位移和速度為初始值做自由振動(dòng)。 FP(t) t FP0 t1 O (b) 10-23 設(shè)題10-22圖a所示剛架m=4000kg,h=4m,剛架作水平自由振動(dòng)時(shí)因阻尼引起振幅的對(duì)數(shù)遞減率γ=0.10。假如要求振幅在10秒衰減到最大振幅的5%,試求剛架柱子的彎曲剛度EI至少為何值。 解:〔1〕求周期數(shù)。 〔2〕求k: 兩柱并聯(lián) 10-24
58、 設(shè)某單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載FP(t)= F作用下作有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng),試問(wèn)簡(jiǎn)諧荷載頻率分別為何值時(shí),體系的位移響應(yīng)、速度響應(yīng)和加速度響應(yīng)達(dá)到最大? 解:在簡(jiǎn)諧荷載FP(t)= F作用下,穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)可表示為 其中: 〔1〕使動(dòng)位移最大,即使最大,從而得出最小。 設(shè), 使,如此 〔2〕 設(shè) 如果使速度響應(yīng)最大,如此最大,設(shè),顯然要求最小。使:得。 〔3〕 令顯然要求最小。 如此解的: 10-26 試用柔度法求如下集中質(zhì)量體系的自振頻率和主振型。 (a) m EI=常數(shù) l
59、 l l m 解: 圖 圖 〔1〕 , 〔2〕振型方程 令,頻率方程為: 〔3〕振型圖如下 l l l l 第一振型 第二振型 (b) 解: 體系具有兩個(gè)自由度。先求柔度系數(shù),做出單位彎矩圖,由圖乘法可得: 得振型方程: ,令 ,由頻率方程D=0 解得:, , (c)
60、 k= EI l3 m1 = m l l l l EI EI m2 = m 解: 圖 圖 〔1〕,, 〔2〕振型方程 令,頻率方程為: 〔3〕當(dāng)時(shí),設(shè) 當(dāng)時(shí),設(shè) 繪出振型圖如下: 第一振型 第二振型 (d) EI1=∞ m k1= 12EI a3 k2= 6EI a3 a a a EI EI 解: 圖
61、 圖 頻率方程為: 取代入整理得: 其中 振型方程為: 將代入〔a〕式中的第一個(gè)方程中,得: 繪出振型圖如下: 第一振型 第二振型 a a a a EI=常數(shù) m m (e) 解: 圖 圖 圖 〔
62、1〕,, 〔2〕振型方程 令,頻率方程為: 振型圖如下: 第一振型 第二振型 第三振型 (f) a a a 4m m m EI=常數(shù) 解: 圖 圖 圖 〔2〕振型方程為: 令,頻率方程為: EI1=∞ EI l l EI EI EI m1 = m EI1=∞ m2 = 2m
63、 10-27 試用剛度法求如下集中質(zhì)量體系的自振頻率和主振型。 (a) 解: 圖 圖 , , 振型圖如下: 第一振型 第二振型 (b) EA l EA m EA l 解: 圖 圖 振型方程: 令,頻率方程為: (c) k= EI l3 m EI l EI m 解
64、: 圖 圖 作出附加連桿移動(dòng)單位位移的彎矩圖 ,, 列出頻率方程: 解得:結(jié)構(gòu)自振頻率分別為: 求第一振型:令得 求第二振型:令得 結(jié)構(gòu)的振型向量形式為: 振型圖如下: 第一振型 第二振型 (d)m EI EI l l l EI1=∞ 解: 圖 圖 ,, 列振型方程: 其中 列頻率方程并求解: 求振型 將代入方程組〔*〕中得:,即
65、將代入方程組〔*〕中得:,即 振型圖如下: 第一振型 第二振型 10-28 試說(shuō)明在應(yīng)用多自由度體系強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅方程〔10-66〕和〔10-71〕時(shí),對(duì)動(dòng)力荷載的性質(zhì)、特點(diǎn)和作用位置分別有何要求? 10-29 試說(shuō)明為什么可以將慣性力幅值與簡(jiǎn)諧荷載幅值同時(shí)作用在體系上,按靜力學(xué)方法計(jì)算體系的動(dòng)力幅值。 a C A B EI m EI a a D qsinq t 10-30 試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)的最大豎向動(dòng)位移,并繪制最大動(dòng)力彎矩圖。設(shè)均布簡(jiǎn)諧荷載頻率,B點(diǎn)處彈性支座的剛度系數(shù)
66、,忽略阻尼的影響。 解: 圖 圖 畫圖 列出方程得: 解得: 根據(jù)公式畫出最大動(dòng)力彎矩圖。 M圖 m 2m 2m 2222 A C EI EI t F q sin B 10-31 圖示結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)處有水平簡(jiǎn)諧荷載作用,試求集中質(zhì)量處的最大水平位移和豎向位移,并繪制最大動(dòng)力彎矩圖。設(shè),忽略阻尼的影響。 解:作出圖 圖 圖 圖 , , ,代入慣性力幅值方程: 解得:, 將以上求得最大慣性力、和動(dòng)力荷載,同時(shí)作用于結(jié)構(gòu),可得最大動(dòng)力彎矩圖: M圖 10-32 圖示剛架各橫梁為無(wú)限剛性,試求橫梁處的位移幅值和柱端彎矩幅值。m=100t,l=5m,EI=5×105kN·m2;簡(jiǎn)諧荷載幅值F=30 kN,每分鐘振動(dòng)240次;忽略阻尼的影響。 l l l m1=2m m 2m
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