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1、如圖,已知△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動,同時點Q在線段CA上由C點向A點運動.當一個點停止運動時時,另一個點也隨之停止運動.設運動時間為t.
(1)用含有t的代數(shù)式表示CP.
(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,經(jīng)過1秒后,△BPD與△CQP是否全等,請說明理由;
(3)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當點Q的運動速度為多少時,能夠使△BPD與△CQP全等?
如圖,在長方形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm,點P從點B出發(fā),以2cm/秒的速度沿BC向點C運
2、動,設點P的運動時間為t秒:
(1) PC=_________cm(用t的代數(shù)式表示)
(2) 當t為何值時,△ABP≌△DCP?
(3)當點P從點B開始運動,同時,點Q從點C出發(fā),以v cm/秒的速度沿CD向點D運動,是否存在這樣v的值,使得△ABP與△PQC全等?若存在,請求出v的值;若不存在,請說明理由.
如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=16.點P從A點出發(fā)沿A-C-B路徑
向終點運動,終點為B點;點Q從B點出發(fā)沿B-C-A路徑向終點運動,終點為A點.點P和Q分別以2和6的運動速度同時開始運動,兩點都要到相應的終點時才能停止運動,在某時刻,分別過
3、P和Q作PE⊥l于E,QF⊥l于F.
問:點P運動多少時間時,△PEC與QFC全等?請說明理由.
1. 如圖,已知正方形ABCD中,邊長為10厘米,點E在AB邊上,BE=6厘米.
(1)如果點P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點向C點運動,同時,點Q在線段CD上由C點向D點運動.
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,經(jīng)過1秒后,△BPE與△CQP是否全等,請說明理由;
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當點Q的運動速度為多少時,能夠使△BPE與△CQP全等?
(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā),點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā),都逆時針沿正方形ABCD四邊運
4、動,求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在正方形ABCD邊上的何處相遇?
(1) 操作發(fā)現(xiàn):如圖①,D是等邊△ABC邊BA上一動點(點D與點B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方作等邊△DCF,連接AF.你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
(2)類比猜想:如圖②,當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時,其他作法與(1)相同,猜想AF與BD在(1)中的結(jié)論是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如圖③,當動點D在等邊△ABC邊BA上運動時(點D與點B不重合)連接DC,以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′,連接AF、BF′,探究A
5、F、BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系?并證明你探究的結(jié)論.
Ⅱ.如圖④,當動點D在等邊△邊BA的延長線上運動時,其他作法與圖③相同,Ⅰ中的結(jié)論是否成立?若不成立,是否有新的結(jié)論?并證明你得出的結(jié)論.
如圖,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,點D為AB的中點.
(1)如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動,同時,點Q在線段CA上由C點向A點運動.
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,經(jīng)過1s后,△BPD與△CQP是否全等,請說明理由;
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當點Q的運動速度為多少時,能夠使△BPD與△CQP全等?
(
6、2)若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā),點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā),都逆時針沿△ABC三邊運動,求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇?
如圖,在等邊△ABC中,AB=9cm,點P從點C出發(fā)沿CB邊向點B點以2cm/s的速度移動,點Q點從B點出發(fā)沿BA邊向A點以5cm/s速度移動.P、Q兩點同時出發(fā),它們移動的時間為t秒鐘.
(1)你能用t表示BP和BQ的長度嗎?請你表示出來.
(2)請問幾秒鐘后,△PBQ為等邊三角形?
(3)若P、Q兩點分別從C、B兩點同時出發(fā),并且都按順時針方向沿△ABC三邊運動,請問經(jīng)過幾秒鐘后點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相
7、遇?
問題情境:如圖1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,可知:∠BAD=∠C(不需要證明);
特例探究:如圖2,∠MAN=90°,射線AE在這個角的內(nèi)部,點B、C在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于點F,BD⊥AE于點D.證明:△ABD≌△CAF;
歸納證明:如圖3,點B,C在∠MAN的邊AM、AN上,點E,F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求證:△ABE≌△CAF;
拓展應用:如圖4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.點D在邊BC上,CD=2BD,點E、F在
8、線段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為15,則△ACF與△BDE的面積之和為.
如圖①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC=2,AD是BC邊上的高.作正方形DEFG,使點A、C分別在DG和DE上,且DE=BC,且連接AE、BG.
(1)試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系,請直接寫出你得到的結(jié)論;
(2)將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后(旋轉(zhuǎn)角度大于0°,或小于90°),DG、DE分別交AB、AC于點M和N(如圖②),則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?如果成立,請予以證明;如果不成立,請說明理由.
(3)在(2)的情況下,當AE∥BC時,求
9、AM的值.
如圖1,在△ABC中,點P為BC邊中點,直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn),若點B,P在直線a的異側(cè),BM⊥直線a于點M.CN⊥直線a于點N,連接PM,PN.
(1)延長MP交CN于點E(如圖2).
①求證:△BPM≌△CPE;
②求證:PM=PN;
(2)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,點B,P在直線a的同側(cè),其它條件不變,此時PM=PN還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;
(3)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時,其它條件不變,請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM=PN還成立嗎?不必說明理由.
如圖(1),在等邊的頂點B、C處各有一只蝸牛,它們同時出發(fā)△ABC分別以每分鐘1各單位的速度油B向C和由C向A爬行,其中一只蝸牛爬到終點s時,另一只也停止運動,經(jīng)過t分鐘后,它們分別爬行到D,P處,請問:
(1)在爬行過程中,BD和AP始終相等嗎?為什么?
(2)問蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小有無變化?請證明你的結(jié)論.
(3)若蝸牛沿著BC和CA的延長線爬行,BD與AP交于點Q,其他條件不變,如圖(2)所示,蝸牛爬行過程中的∠DQA大小變化了嗎?若無變化,請證明.若有變化,請直接寫出∠DQA的度數(shù).