高中高考數(shù)學(xué)易錯易混易忘題分類匯總及解析()

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1、高中高考數(shù)學(xué)易錯易混易忘題分類匯總及解析“會而不對，對而不全一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個問題對決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗精心挑選學(xué)生在考試中常見的66個易錯、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實存在，另一方面通過作針對性練習(xí)幫你識破命題者精心設(shè)計的陷阱，以到達(dá)授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實現(xiàn)自已的理想報負(fù)?！疽族e點(diǎn)1】無視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。例1、 設(shè)，假

2、設(shè)，求實數(shù)a組成的集合的子集有多少個？【易錯點(diǎn)分析】此題由條件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。解析：集合A化簡得，由知故當(dāng)時，即方程無解，此時a=0符合條件當(dāng)時，即方程的解為3或5，代入得或。綜上滿足條件的a組成的集合為，故其子集共有個?！局R點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】1在應(yīng)用條件ABAB時，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，將集合是空集的情況優(yōu)先進(jìn)行討論2在解答集合問題時，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性特別是互異性對集合元素的限制。有時需要進(jìn)行檢驗求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語言數(shù)學(xué)語言和自然語

3、言之間的轉(zhuǎn)化如：，其中,假設(shè)求r的取值范圍。將集合所表達(dá)的數(shù)學(xué)語言向自然語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點(diǎn)為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以3，4為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語言的應(yīng)用?！揪?】集合、，假設(shè)，那么實數(shù)a的取值范圍是 。答案：或?！疽族e點(diǎn)2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易無視定義域優(yōu)先的原那么。例2、,求的取值范圍【易錯點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求解，但極易忽略x、y滿足這個條件中的兩個變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。解

4、析：由于得(x+2)2=1-1，-3x-1從而x2+y2=-3x2-16x-12=+因此當(dāng)x=-1時x2+y2有最小值1, 當(dāng)x=-時，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范圍是1, 【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實上我們可以從解析幾何的角度來理解條件對x、y的限制，顯然方程表示以-2，0為中心的橢圓，那么易知-3x-1，。此外此題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解。【練2】05高考重慶卷假設(shè)動點(diǎn)x,y在曲線上變化，那么的最大值為ABCD答案：A【易錯點(diǎn)3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。例3、 是R上的奇函數(shù)，1求a的值2求的反函數(shù)【易錯點(diǎn)分析】求解函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略求解

5、反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯。解析：1利用或求得a=1.2由即，設(shè),那么由于故，而所以【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】1在求解函數(shù)的反函數(shù)時，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后說明假設(shè)反函數(shù)的定義域為R可省略。2應(yīng)用可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值要互換?！揪?】2004全國理函數(shù)的反函數(shù)是A、 B、C、 D、 答案：B【易錯點(diǎn)4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯位例4、函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖象關(guān)于直線對稱，那么的解析式為A、 B、 C、 D、【易錯點(diǎn)分析】解答此題時易由與互為反函數(shù)，而認(rèn)為的反函數(shù)是那么=而錯選A。解析：由得從而再求的反函數(shù)得。正確答案：

6、B【知識點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)與函數(shù)并不互為反函數(shù)，他只是表示中x用x-1替代后的反函數(shù)值。這是因為由求反函數(shù)的過程來看：設(shè)那么，再將x、y互換即得的反函數(shù)為，故的反函數(shù)不是，因此在今后求解此題問題時一定要謹(jǐn)慎。【練4】2004高考福建卷函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f-1(x)，那么函數(shù)y= f-1(1-x)的圖象是答案：B【易錯點(diǎn)5】判斷函數(shù)的奇偶性無視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。例5、 判斷函數(shù)的奇偶性?！疽族e點(diǎn)分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函數(shù)為非奇非偶函數(shù)的錯誤結(jié)論。解析：由函數(shù)的解析式知x滿足即函數(shù)的定義域為定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，在定義域

7、下易證即函數(shù)為奇函數(shù)?！局R點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】1函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時一定要先研究函數(shù)的定義域。2函數(shù)具有奇偶性，那么是對定義域內(nèi)x的恒等式。常常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值?！揪?】判斷以下函數(shù)的奇偶性：答案：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)【易錯點(diǎn)6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。例6、 函數(shù)的反函數(shù)為，證明是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)?！舅季S分析】可求的表達(dá)式，再證明。假設(shè)注意到與具有相同的單調(diào)性和奇偶性，只需研究原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可。解析：，故為奇函數(shù)從而為奇函數(shù)。又令在和

8、上均為增函數(shù)且為增函數(shù)，故在和上分別為增函數(shù)。故分別在和上分別為增函數(shù)?！局R點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于反函數(shù)知識有如下重要結(jié)論：1定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。2奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。3定義域為非單元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù)。4周期函數(shù)不存在反函數(shù)5原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即 ?！揪?】199全國高考題 ，那么如下結(jié)論正確的選項是A、 是奇函數(shù)且為增函數(shù) B、 是奇函數(shù)且為減函數(shù)C、 是偶函數(shù)且為增函數(shù) D、 是偶函數(shù)且為減函數(shù)答案：A22005天津卷設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，那么使成立的的取值范圍為A、 B、 C、 D、答案：A 時，單調(diào)增函數(shù)，所以

9、.【易錯點(diǎn)7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的標(biāo)準(zhǔn)性及樹立定義域優(yōu)先的原那么。例7、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明?！疽族e點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義中的的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識。解析：由于即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可。設(shè) ， 由于 故當(dāng) 時，此時函數(shù)在上增函數(shù)，同理可證函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在和上分別為減函數(shù).【知識歸類點(diǎn)拔】1函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比擬大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值

10、等問題中，應(yīng)引起足夠重視。2單調(diào)性的定義等價于如下形式：在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，這說明增減性的幾何意義：增減函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于小于零。3是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意此題中不能說在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),在表達(dá)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時不能在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號“和“或，【練7】1 濰坊市統(tǒng)考題1用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在上的單調(diào)性。2設(shè)在的最小值為，求的解析式。答案：1函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。22 2001天津設(shè)且為R上的偶函數(shù)。1求a的值2試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并給出證明。答案：12函數(shù)在上為增函數(shù)證明略【易錯點(diǎn)8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓?/p>

11、不充分與不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯誤結(jié)論。例8、2004全國高考卷函數(shù)上是減函數(shù)，求a的取值范圍?！疽族e點(diǎn)分析】是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如在R上遞減，但。解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1當(dāng)時，是減函數(shù)，那么故解得。2當(dāng)時，易知此時函數(shù)也在R上是減函數(shù)。3當(dāng)時，在R上存在一個區(qū)間在其上有，所以當(dāng)時，函數(shù)不是減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是?！局R歸類點(diǎn)拔】假設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：與為增函數(shù)的關(guān)系:能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。時，與為增函數(shù)的關(guān)系:假設(shè)將的根作為分界點(diǎn)，因為

12、規(guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時，是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系:為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有，那么為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，防止討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。因此此題在第一步后再對和進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要

13、條件使用而導(dǎo)致的錯誤還很多，這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴(yán)密性。【練8】12003新課程函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是A、 B、 C、 D、答案：A2是否存在這樣的K值，使函數(shù)在上遞減，在上遞增？答案：。提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，但是函數(shù)在上遞減，在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出K值后要檢驗?！疽族e點(diǎn)9】應(yīng)用重要不等式確定最值時，無視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。例9、 ：a0 , b0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。錯解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)2+(b+)2

14、的最小值是8【易錯點(diǎn)分析】 上面的解答中，兩次用到了根本不等式a2+b22ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。解析：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-+4=(1-2ab)(1+)+4由ab()2= 得：1-2ab1-=,且16，1+17原式17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時，等號成立)(a+)2+(b+)2的最小值是?！局R歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變

15、量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)?！揪?】97全國卷文22理22甲、乙兩地相距s km , 汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km/h ,汽車每小時的運(yùn)輸本錢以元為單位由可變局部和固定局部組成：可變局部與速度vkm/h的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定局部為a元。（1） 把全程運(yùn)輸本錢y元表示為速度vkm/h的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（2） 為了使全程運(yùn)輸本錢最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案為:12使全程運(yùn)輸本錢最小，當(dāng)c時，行駛速度v=；當(dāng)c時，行駛速度v=c?！疽族e點(diǎn)10】在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。例10、

16、是否存在實數(shù)a使函數(shù)在上是增函數(shù)？假設(shè)存在求出a的值，假設(shè)不存在，說明理由?！疽族e點(diǎn)分析】此題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大。解析：函數(shù)是由和復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法1當(dāng)a1時，假設(shè)使在上是增函數(shù)，那么在上是增函數(shù)且大于零。故有解得a1。2當(dāng)a1使得函數(shù)在上是增函數(shù)【知識歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項系數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍大于1還是小于1，特別在解決涉及指、對

17、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制。【練10】1黃崗三月分統(tǒng)考變式題設(shè)，且試求函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間。答案：當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。22005 高考天津假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，那么的取值范圍是A、 B、 C、 D、答案：B.記，那么當(dāng)時，要使得是增函數(shù)，那么需有恒成立，所以.矛盾.排除C、D當(dāng)時，要使是函數(shù)，那么需有恒成立，所以.排除A【易錯點(diǎn)11】 用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性例11、求的最大值【易錯點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而利用換元的思想令將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解

18、。但極易忽略換元前后變量的等價性而造成錯解，解析：由條件有且結(jié)合得，而=令那么原式=根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)即時，原式取得最大值?！局R點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識是根底，“方法是手段，“思想是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合表達(dá)就是“能力，解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條

19、件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計算和推證簡化?！揪?1】1高考變式題設(shè)a0，000求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。答案：f(x)的最小值為2a2a，最大值為2不等式ax的解集是(4,b)，那么a_，b_。答案：提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為【易錯點(diǎn)12】求時, 易忽略n的情況例12、2005高考北京卷數(shù)列前n項和且。1求的值及數(shù)列的通項公式。【易錯點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用與的關(guān)系時誤認(rèn)為對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗證。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯誤結(jié)論。解析：易求得。由得

20、故得又，故該數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列故。【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于數(shù)列與之間有如下關(guān)系：利用兩者之間的關(guān)系可以求。但注意只有在當(dāng)適合時兩者才可以合并否那么要寫分段函數(shù)的形式?！揪?2】2004全國理數(shù)列滿足那么數(shù)列的通項為 。答案：將條件右端視為數(shù)列的前n-1項和利用公式法解答即可【易錯點(diǎn)13】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集從1開始例13、等差數(shù)列的首項，前n項和，當(dāng)時，。問n為何值時最大?【易錯點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這個限制條件。解析：由題

21、意知=此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因為，當(dāng)時，故即此二次函數(shù)開口向下，故由得當(dāng)時取得最大值，但由于，故假設(shè)為偶數(shù)，當(dāng)時，最大。當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)時最大?！局R點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可視為定義域為正整數(shù)集或其子集從1開始上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識解決問題。特別的等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項，反之滿足形如所對應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項和。此時由知數(shù)列中的點(diǎn)是同一直線上，這也是一個很重要的結(jié)論。此外形如前n項和所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項和。【練13】2001全國高考題設(shè)是等差數(shù)列，是前n項和，且，那么以下結(jié)論錯誤

22、的選項是A、B、C、 D、和均為的最大值。答案：C提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答【易錯點(diǎn)14】解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。例14、關(guān)于的方程和的四個根組成首項為的等差數(shù)列，求的值?！舅季S分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項是如何排列的。解析：不妨設(shè)是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程的另一根是此等差數(shù)列的第四項，而方程的兩根是等差數(shù)列的中間兩項，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：故從而=。【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性

23、質(zhì)是數(shù)列知識的一個重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數(shù)列，假設(shè)，那么；對于等比數(shù)列，假設(shè)，那么；假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等比數(shù)列；假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用?！揪?4】2003全國理天津理方程和的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，那么= A、1 B、 C、 D、答案：C【易錯點(diǎn)15】用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比的情況例15、數(shù)列中，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。I求使成立的的取值范圍；II求數(shù)列的前項的和【易錯點(diǎn)分析】對于等比數(shù)列的前n項和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯誤。再者學(xué)

24、生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列是公比為的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受阻。解：I數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由得，即，解得II由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，這說明數(shù)列的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是，又，當(dāng)時，當(dāng)時，【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】此題中拆成的兩個數(shù)列都是等比數(shù)列，其中是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項、偶數(shù)項都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，解題時要慎重，寫出數(shù)列的前幾項進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計陷阱使考生產(chǎn)生對現(xiàn)而

25、不全的錯誤?！揪?5】2005高考全國卷一第一問設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項和1求q的取值范圍。答案：【易錯點(diǎn)16】在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項和不會采用錯項相減法或解答結(jié)果不到位。例16、2003北京理數(shù)列是等差數(shù)列，且1求數(shù)列的通項公式2令求數(shù)列前項和的公式?！舅季S分析】此題根據(jù)條件確定數(shù)列的通項公式再由數(shù)列的通項公式分析可知數(shù)列是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列，可用錯項相減的方法求和。解析：1易求得2由1得令那么用減去注意錯過一位再相減得當(dāng)當(dāng)時綜上可得：當(dāng)當(dāng)時【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對于數(shù)列有其中數(shù)列和分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，那么其前n項

26、和可通過在原數(shù)列的每一項的根底上都乘上等比數(shù)列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。【練16】2005全國卷一理當(dāng)時，求數(shù)列的前n項和答案：時當(dāng)時.【易錯點(diǎn)17】不能根據(jù)數(shù)列的通項的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項求和方法時對裂項后抵消項的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項或少項。例17、求【易錯點(diǎn)分析】此題解答時一方面假設(shè)不從通項入手分析各項的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。解：由等差數(shù)列的前項和公式得，取，就分別得到，【知識歸類點(diǎn)拔】“裂項法有兩個特點(diǎn)，一是每個分式的分子相同；二是每項的分

27、母都是兩個數(shù)也可三個或更多相乘，且這兩個數(shù)的第一個數(shù)是前一項的第二個數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項的規(guī)律一般情況下剩余項是前后對稱的。常見的變形題除此題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項，即，問題會很容易解決。另外還有一些類似“裂項法的題目，如：，求其前項和，可通過分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。【練17】2005濟(jì)南統(tǒng)考求和答案：【易錯點(diǎn)18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例18、2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項和為Sn.()假設(shè)首項

28、，公差，求滿足的正整數(shù)k；()求所有的無窮等差數(shù)列an，使得對于一切正整數(shù)k都有成立.【易錯點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的根本知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力.學(xué)生在解第()時極易根據(jù)條件“對于一切正整數(shù)k都有成立這句話將k取兩個特殊值確定出等差數(shù)列的首項和公差，但沒有認(rèn)識到求解出的等差數(shù)列僅是對條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。解：I當(dāng)時由，即 又.II設(shè)數(shù)列an的公差為d，那么在中分別取k=1,2,得12由1得 當(dāng)假設(shè)成立,假設(shè)故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)假設(shè)假設(shè).綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：an : an=0，即0，0，0，；an :

29、an=1，即1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實上，“條件中使得對于一切正整數(shù)k都有成立.就等價于關(guān)于k的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項系數(shù)同時為零，于是此題也可采用這程等價轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能防止因無視充分性的檢驗而犯下的邏輯錯誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系?！揪?8】12000全國數(shù)列,其中,且數(shù)列答案：p=2或p=3提示可令n=1,2,3根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，再說明p值對任意自然數(shù)n都成立【易錯點(diǎn)19】用判別式判定方程解的個數(shù)或交點(diǎn)的個數(shù)時，易忽略討論二次項的系數(shù)是否為尤其是直線與圓錐曲線相交時更易

30、忽略.例19、雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個數(shù)【易錯點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，那么直線與曲線就有幾個交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程后，易無視對方程的種類進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。解析：聯(lián)立方程組消去y得到1當(dāng)時，即，方程為關(guān)于x的一次方程，此時方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)。2當(dāng)時即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個交點(diǎn)3當(dāng)時，方程組有兩個交點(diǎn)此時且。4當(dāng)時即或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點(diǎn)。綜上知當(dāng)或時直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)，當(dāng)且。時直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，當(dāng)或時

31、方程組無解此時直線與雙曲線無交點(diǎn)?！局R點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個數(shù)對應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但只有一個公共點(diǎn)，通過這一點(diǎn)也說明直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過此題可以加深體會這種數(shù)與形的統(tǒng)一?！揪?9】12005重慶卷橢圓的方程為，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為的左右頂點(diǎn)，而的左右頂點(diǎn)分別是的左右焦點(diǎn)。1求雙曲線的方程2假設(shè)

32、直線與橢圓及雙曲線恒有兩個不同的交點(diǎn)，且與的兩個交點(diǎn)A和B滿足，其中O為原點(diǎn)，求k的取值范圍。答案：122雙曲線C： ，過點(diǎn)P1，1作直線l, 使l與C有且只有一個公共點(diǎn)，那么滿足上述條件的直線l共有_條。答案：4條可知kl存在時，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-(1-k2)-4=0, 當(dāng)4-k2=0即k=2時，有一個公共點(diǎn)；當(dāng)k2時，由=0有，有一個切點(diǎn)另：當(dāng)kl不存在時，x=1也和曲線C有一個切點(diǎn)綜上，共有4條滿足條件的直線【易錯點(diǎn)20】易遺忘關(guān)于和齊次式的處理方法。例20、，求1；2的值.【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用可將2式分子分母除去即

33、可。解：1； (2) .【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)如果不具備，通過構(gòu)造的方法得到，進(jìn)行弦、切互化，就會使解題過程簡化。這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1的種種代換有著廣泛的應(yīng)用【練20】2004年湖北卷理科的值.答案：原式可化為，【易錯點(diǎn)21】解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第n項與數(shù)列的前n項和混淆導(dǎo)致錯誤解答。mm的報紙對拆,再對拆.對拆50次后,報紙的厚度是多少?你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(地球與月球的距離約為米)【易錯點(diǎn)分析】對拆50次后,報紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第n項,易誤理解為是比等比數(shù)列的前n項和。解析：對拆一次厚度增加為原來的一倍，

34、設(shè)每次對拆厚度構(gòu)成數(shù)列，那么數(shù)列是以米為首項，公比為2的等比數(shù)列。從而對拆50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第51項，利用等比數(shù)列的通項公式易得a51=0.0510-3250=5.631010,而地球和月球間的距離為41080，所以.猜想：當(dāng)且僅當(dāng)，且時，每年年初魚群的總量保持不變. 假設(shè)b的值使得0，由 知 , 特別地，有. 即，而(0, 2)，所以，由此猜想b的最大允許值是1. 下證 當(dāng)(0, 2) ，b=1時，都有(0, 2), 。 當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立.假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即(0, 2),那么當(dāng)n=k+1時，.又因為.所以(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立.由、可知，對于任意的，都有(0,2).綜上所述，為保證對任意(0, 2), 都有0， ，那么捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的局部對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步