2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 12.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理練習 理 北師大版

《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 12.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理練習 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 12.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理練習 理 北師大版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、12.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理核心考點精準研析考點一分類加法計數(shù)原理及其應(yīng)用1.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中,任取兩個不同數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有()A.30B.20C.10D.62.甲、乙、丙三個人踢毽,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,毽又被踢回給甲,那么不同的傳遞方法共有()A.4種B.6種C.10種D.16種3.“漸升數(shù)是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1 458),假設(shè)把四位“漸升數(shù)按從小到大的順序排列,那么第30個“漸升數(shù)是_.【解析】1.選D.可分兩類:一類兩個數(shù)都為奇數(shù):1,3;1,5;3,5,共3種方法;另一類

2、兩個數(shù)都為偶數(shù):0,2;0,4;2,4,共3種方法,所以共有3+3=6種取法.2.選B.分兩類:甲第一次踢給乙時,滿足條件有3種方法(如圖),同理,甲先傳給丙時,滿足條件有3種方法.由分類加法計數(shù)原理知,共有3+3=6(種)傳遞方法.3.漸升數(shù)由小到大排列,形如的漸升數(shù)共有6+5+4+3+2+1=21(個).形如 的漸升數(shù)共有5個.形如 的漸升數(shù)共有4個.故此時共有21+5+4=30(個).因此從小到大的四位漸升數(shù)的第30個必為1 359.答案:1 359應(yīng)用分類加法計數(shù)原理的四個步驟(1)完成的一件事是什么.(2)確定分類時,n類方法的每一種方法都可以獨立完成這件事.(3)確定恰當?shù)姆诸悩藴?/p>

3、,對完成這件事的方法分類時要“不重不漏,即每一種的方法必屬于某一類,不同類中的方法都是不相同的.(4)把所有類中的方法數(shù)相加,即得完成這件事的方法數(shù).考點二分步乘法計數(shù)原理及其應(yīng)用【典例】1.一個小朋友從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)字中選取3個不同的數(shù)字組成三位數(shù),那么他寫出的三位數(shù)有_個.()A.1 000B.900C.720D.6482.集合A中有4個元素,B中有3個元素,C中有9個元素,那么集合中的元素個數(shù)為_.3.有4個同學(xué)各自在2021年元旦的三天假期中任選一天去敬老院參加活動,那么有多少種選法?【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由組成三位數(shù)想到先確定百位數(shù)字,再確定十位

4、數(shù)字,最后確定個位數(shù)字2由xA,yB,zC想到先確定x,再確定y,最后確定z3由4個同學(xué)在三天中任選一天,聯(lián)想到每個人有3種選擇.【解析】1.選D.分三個步驟:第一步確定百位數(shù)字,有9種方法,第二步確定十位數(shù)字,有9種方法,第三步確定個位數(shù)字,有8種方法,所以由分步乘法計數(shù)原理得他寫出的三位數(shù)有998=648(個).2.分三個步驟,第一步確定x,有4種方法,第二步確定y,有3種方法,第三步確定z,有9種方法,由分步乘法計數(shù)原理得集合中元素個數(shù)為439=108.答案:1083.每個同學(xué)都有3種選擇,所以4個同學(xué)的選法共有3333=81(種).應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理的三個步驟(1)完成的一件事是什么

5、.(2)需要分幾個步驟.每一步各有多少種方法.每一步中的每一種方法都能獨立完成這個步驟,但是不能完成這件事.(3)把每一步中的方法數(shù)相乘即得完成這件事的方法數(shù).1.(2021濟南模擬)某校2021年數(shù)理化三科奧賽進入冬令營的選手共15人,其中數(shù)學(xué)科有7人,物理科有5人,化學(xué)科有3人,從三個學(xué)科中各選一人作護旗手,那么選出這3個人的方法有_種()A.15B.35C.56D.105【解析】選D.因為從三個學(xué)科中各選一人作護旗手,所以應(yīng)該分成三步:第一步,從數(shù)學(xué)科7人中選出1人,有7種方法,第二步,從物理科5人中選出1人,有5種方法,第三步,從化學(xué)科3人中選出1人,有3種方法,所以由分步乘法計數(shù)原理

6、得選出這3個人的方法有753=105(種).2.從集合1,2,3,11中任意取兩個元素作為橢圓方程+=1中的m和n,那么能組成落在矩形區(qū)域B=(x,y)|x|11,|y|9內(nèi)的橢圓的個數(shù)是()A.43B.72C.86D.90【解析】選B.根據(jù)題意,m是不大于10的正整數(shù),n是不大于8的正整數(shù).但是當m=n時,+=1是圓而不是橢圓.先確定n,n有8種可能,對每一個確定的n,m有10-1=9種可能,故滿足條件的橢圓有89=72個.應(yīng)選B.考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用命題精解讀1.考什么:(1)考查“分類與“分步的關(guān)系(2)考查兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用2.怎么考:以實際問題(數(shù)字組數(shù)、小球入盒、方塊染

7、色、人員安排等)為背景,考查兩個計數(shù)原理,多數(shù)是以選擇題或填空題,或者解答題的一個小題的形式考查3.新趨勢:結(jié)合新背景,考查兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)霸好方法利用兩個計數(shù)原理解題的關(guān)鍵:(1)認真閱讀審題,選擇適合的分類標準進行合理分類,簡化問題(2)根據(jù)題意,弄清楚完成一件事的要求,正確區(qū)分先分類再分步還是先分步再分類數(shù)字問題【典例】用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有_個.(用數(shù)字作答)【解析】分兩種情況:第一種:四位數(shù)都不是偶數(shù)的個數(shù)為:5432=120,第二種:四位數(shù)中有一位為偶數(shù)的個數(shù)為44543=960,那么共有

8、1 080個.答案:1 080如何求與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題?提示:(1)先確定是分類還是分步,分類時確定好統(tǒng)一標準,不重復(fù),也不遺漏,分步時,確定好步驟.(2)先根據(jù)題意確定特殊數(shù)位的數(shù)字(如首位不能為0,奇數(shù)的個位為奇數(shù)等),再確定其他位置上的數(shù)字.染色問題【典例】如下圖,將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,求不同的染色方法總數(shù).【解析】可分為兩大步進行,先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色,然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù),用分步乘法計數(shù)原理即可得出結(jié)論.由題設(shè),四棱錐S-ABCD的頂點S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有543=60(種)染色方

9、法.當S,A,B染好時,不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3,假設(shè)C染2,那么D可染3或4或5,有3種染法;假設(shè)C染4,那么D可染3或5,有2種染法;假設(shè)C染5,那么D可染3或4,有2種染法.可見,當S,A,B已染好時,C,D還有7種染法,故不同的染色方法有607=420(種).如何求解染色問題的計數(shù)?提示:(1)分清所給的顏色是否用完,并選擇恰當?shù)娜旧樞?(2)選擇好分類標準,分清楚哪些可以同色,分類與分步交叉時不要計數(shù)重復(fù),也不要遺漏.幾何中的計數(shù)問題【典例】設(shè),是兩個平行平面,假設(shè)內(nèi)有3個不共線的點,內(nèi)有4個點(任意3點不共線),從這些點中任取4個點最多可以構(gòu)成_個四面體 ()A.34B.18

10、C.12D.7【解析】選A.完成的一件事是“任取4個點構(gòu)成四面體,所以分成三類:第一類,從上取1個點,上取3個不同的點,可以構(gòu)成四面體的個數(shù)為34=12,第二類,從上取2個點,上取2個不同的點,可以構(gòu)成四面體的個數(shù)為36=18,第三類,從上取3個點,上取1個不同的點,可以構(gòu)成四面體的個數(shù)為14=4,所以共有四面體的個數(shù)為12+18+4=34.如何解決幾何中的計數(shù)問題?提示:(1)準確讀取題目中的有用信息,明確與未知;(2)正確進行分類與分步,會在實際問題中應(yīng)用它.1.小明有一盒10種顏色的畫筆,給如下圖圖形涂上顏色,相鄰的兩塊顏色不能相同,那么他可以有_種涂色方法()ABCA.810B.1 0

11、00C.27D.4 320【解析】選A.分三個步驟:第一步涂A,有10種方法,第二步涂B,有9種方法,第三步涂C,有9種方法,所以由分步乘法計數(shù)原理得共有1099=810(種)涂色方法.2.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有()A.144個B.120個C.96個D.72個【解析】選B.由題意可得,比40 000大的五位數(shù)萬位只能是4或5,當萬位是4時,由于該五位數(shù)是偶數(shù),個位只能從0或2中任選一個,其余三位數(shù)字從剩下的四個數(shù)中任選三個,有2432=48(種)情況;當萬位是5時,由于該五位數(shù)是偶數(shù),個位只能從0,2或4中任選一個,其余三位數(shù)字從剩

12、下的四個數(shù)中任選三個,有3432=72(種)情況;由分類加法計數(shù)原理可得,滿足題意的數(shù)共有48+72=120(個).3.某班要從5名男生和3名女生中選出2人作為社區(qū)效勞志愿者,假設(shè)用變量x表示選出的志愿者中女生的人數(shù),y表示對應(yīng)的方法數(shù),試用列表法表示這個函數(shù).【解析】x的取值為0,1,2(1)x=0,即選出的2人都是男生,把5名男生編號為1,2,3,4,5,那么選出的兩人有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共10種方法,此時y=10.(2)x=1,即選出的2人中1個男生,1個女生,分兩個步驟,第一步選出男生,有5種方法,第二步選出女生,有3種方法,所以共有53=15

13、種方法,此時y=15.(3)x=2,即選出的2人都是女生,有3種方法,此時y=3.列表如下:x012y101531.一個小朋友用1,2,3,4,5,6,7,8,9寫出的兩位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)為_.【解析】分兩個步驟:第一步,寫個位數(shù)字,從2,4,6,8中選一個,有4種方法,第二步,寫十位數(shù)字,有9種方法,所以寫出的兩位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)為49=36.答案:362.如果一條直線與一個平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對.在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對的個數(shù)是_.【解析】分兩種情況討論:(1)對于每一條棱,都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對,這樣的“正交線面對有212=24(個).(2)對于每一條面對角線,都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對,這樣的“正交線面對有12個.所以正方體中“正交線面對共有36個.答案:36- 7 -