2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 12.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理練習(xí) 理 北師大版

12.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理及其應(yīng)用 1.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有()A.30B.20C.10D.62.甲、乙、丙三個(gè)人踢毽,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過(guò)4次傳遞后,毽又被踢回給甲,那么不同的傳遞方法共有()A.4種B.6種C.10種D.16種3.“漸升數(shù)是指每個(gè)數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1 458),假設(shè)把四位“漸升數(shù)按從小到大的順序排列,那么第30個(gè)“漸升數(shù)是_. 【解析】1.選D.可分兩類:一類兩個(gè)數(shù)都為奇數(shù):1,3;1,5;3,5,共3種方法;另一類兩個(gè)數(shù)都為偶數(shù):0,2;0,4;2,4,共3種方法,所以共有3+3=6種取法.2.選B.分兩類:甲第一次踢給乙時(shí),滿足條件有3種方法(如圖),同理,甲先傳給丙時(shí),滿足條件有3種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有3+3=6(種)傳遞方法.3.漸升數(shù)由小到大排列,形如的漸升數(shù)共有6+5+4+3+2+1=21(個(gè)).形如 的漸升數(shù)共有5個(gè).形如 的漸升數(shù)共有4個(gè).故此時(shí)共有21+5+4=30(個(gè)).因此從小到大的四位漸升數(shù)的第30個(gè)必為1 359.答案:1 359應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理的四個(gè)步驟(1)完成的一件事是什么.(2)確定分類時(shí),n類方法的每一種方法都可以獨(dú)立完成這件事.(3)確定恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),對(duì)完成這件事的方法分類時(shí)要“不重不漏,即每一種的方法必屬于某一類,不同類中的方法都是不相同的.(4)把所有類中的方法數(shù)相加,即得完成這件事的方法數(shù).考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理及其應(yīng)用 【典例】1.一個(gè)小朋友從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù),那么他寫出的三位數(shù)有_個(gè).() A.1 000B.900C.720D.6482.集合A中有4個(gè)元素,B中有3個(gè)元素,C中有9個(gè)元素,那么集合中的元素個(gè)數(shù)為_. 3.有4個(gè)同學(xué)各自在2021年元旦的三天假期中任選一天去敬老院參加活動(dòng),那么有多少種選法?【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由組成三位數(shù)想到先確定百位數(shù)字,再確定十位數(shù)字,最后確定個(gè)位數(shù)字2由xA,yB,zC想到先確定x,再確定y,最后確定z3由4個(gè)同學(xué)在三天中任選一天,聯(lián)想到每個(gè)人有3種選擇.【解析】1.選D.分三個(gè)步驟:第一步確定百位數(shù)字,有9種方法,第二步確定十位數(shù)字,有9種方法,第三步確定個(gè)位數(shù)字,有8種方法,所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得他寫出的三位數(shù)有9×9×8=648(個(gè)).2.分三個(gè)步驟,第一步確定x,有4種方法,第二步確定y,有3種方法,第三步確定z,有9種方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得集合中元素個(gè)數(shù)為4×3×9=108.答案:1083.每個(gè)同學(xué)都有3種選擇,所以4個(gè)同學(xué)的選法共有3×3×3×3=81(種).應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的三個(gè)步驟(1)完成的一件事是什么.(2)需要分幾個(gè)步驟.每一步各有多少種方法.每一步中的每一種方法都能獨(dú)立完成這個(gè)步驟,但是不能完成這件事.(3)把每一步中的方法數(shù)相乘即得完成這件事的方法數(shù).1.(2021·濟(jì)南模擬)某校2021年數(shù)理化三科奧賽進(jìn)入冬令營(yíng)的選手共15人,其中數(shù)學(xué)科有7人,物理科有5人,化學(xué)科有3人,從三個(gè)學(xué)科中各選一人作護(hù)旗手,那么選出這3個(gè)人的方法有_種() A.15B.35C.56D.105【解析】選D.因?yàn)閺娜齻€(gè)學(xué)科中各選一人作護(hù)旗手,所以應(yīng)該分成三步:第一步,從數(shù)學(xué)科7人中選出1人,有7種方法,第二步,從物理科5人中選出1人,有5種方法,第三步,從化學(xué)科3人中選出1人,有3種方法,所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得選出這3個(gè)人的方法有7×5×3=105(種).2.從集合1,2,3,11中任意取兩個(gè)元素作為橢圓方程+=1中的m和n,那么能組成落在矩形區(qū)域B=(x,y)|x|<11,|y|<9內(nèi)的橢圓的個(gè)數(shù)是()A.43B.72C.86D.90【解析】選B.根據(jù)題意,m是不大于10的正整數(shù),n是不大于8的正整數(shù).但是當(dāng)m=n時(shí),+=1是圓而不是橢圓.先確定n,n有8種可能,對(duì)每一個(gè)確定的n,m有10-1=9種可能,故滿足條件的橢圓有8×9=72個(gè).應(yīng)選B.考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 命題精解讀1.考什么:(1)考查“分類與“分步的關(guān)系(2)考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用2.怎么考:以實(shí)際問(wèn)題(數(shù)字組數(shù)、小球入盒、方塊染色、人員安排等)為背景,考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,多數(shù)是以選擇題或填空題,或者解答題的一個(gè)小題的形式考查3.新趨勢(shì):結(jié)合新背景,考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)霸好方法利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題的關(guān)鍵:(1)認(rèn)真閱讀審題,選擇適合的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理分類,簡(jiǎn)化問(wèn)題(2)根據(jù)題意,弄清楚完成一件事的要求,正確區(qū)分先分類再分步還是先分步再分類數(shù)字問(wèn)題【典例】用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有_個(gè).(用數(shù)字作答)【解析】分兩種情況:第一種:四位數(shù)都不是偶數(shù)的個(gè)數(shù)為:5×4×3×2=120,第二種:四位數(shù)中有一位為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為4×4×5×4×3=960,那么共有1 080個(gè).答案:1 080如何求與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題?提示:(1)先確定是分類還是分步,分類時(shí)確定好統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn),不重復(fù),也不遺漏,分步時(shí),確定好步驟.(2)先根據(jù)題意確定特殊數(shù)位的數(shù)字(如首位不能為0,奇數(shù)的個(gè)位為奇數(shù)等),再確定其他位置上的數(shù)字.染色問(wèn)題【典例】如下圖,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,求不同的染色方法總數(shù).【解析】可分為兩大步進(jìn)行,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論.由題設(shè),四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有5×4×3=60(種)染色方法.當(dāng)S,A,B染好時(shí),不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3,假設(shè)C染2,那么D可染3或4或5,有3種染法;假設(shè)C染4,那么D可染3或5,有2種染法;假設(shè)C染5,那么D可染3或4,有2種染法.可見,當(dāng)S,A,B已染好時(shí),C,D還有7種染法,故不同的染色方法有60×7=420(種).如何求解染色問(wèn)題的計(jì)數(shù)?提示:(1)分清所給的顏色是否用完,并選擇恰當(dāng)?shù)娜旧樞?(2)選擇好分類標(biāo)準(zhǔn),分清楚哪些可以同色,分類與分步交叉時(shí)不要計(jì)數(shù)重復(fù),也不要遺漏.幾何中的計(jì)數(shù)問(wèn)題【典例】設(shè),是兩個(gè)平行平面,假設(shè)內(nèi)有3個(gè)不共線的點(diǎn),內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)(任意3點(diǎn)不共線),從這些點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)最多可以構(gòu)成_個(gè)四面體 () A.34B.18C.12D.7【解析】選A.完成的一件事是“任取4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成四面體,所以分成三類:第一類,從上取1個(gè)點(diǎn),上取3個(gè)不同的點(diǎn),可以構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為3×4=12,第二類,從上取2個(gè)點(diǎn),上取2個(gè)不同的點(diǎn),可以構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為3×6=18,第三類,從上取3個(gè)點(diǎn),上取1個(gè)不同的點(diǎn),可以構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為1×4=4,所以共有四面體的個(gè)數(shù)為12+18+4=34.如何解決幾何中的計(jì)數(shù)問(wèn)題?提示:(1)準(zhǔn)確讀取題目中的有用信息,明確與未知;(2)正確進(jìn)行分類與分步,會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用它.1.小明有一盒10種顏色的畫筆,給如下圖圖形涂上顏色,相鄰的兩塊顏色不能相同,那么他可以有_種涂色方法() ABCA.810B.1 000C.27D.4 320【解析】選A.分三個(gè)步驟:第一步涂A,有10種方法,第二步涂B,有9種方法,第三步涂C,有9種方法,所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有10×9×9=810(種)涂色方法.2.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有()A.144個(gè)B.120個(gè)C.96個(gè)D.72個(gè)【解析】選B.由題意可得,比40 000大的五位數(shù)萬(wàn)位只能是4或5,當(dāng)萬(wàn)位是4時(shí),由于該五位數(shù)是偶數(shù),個(gè)位只能從0或2中任選一個(gè),其余三位數(shù)字從剩下的四個(gè)數(shù)中任選三個(gè),有2×4×3×2=48(種)情況;當(dāng)萬(wàn)位是5時(shí),由于該五位數(shù)是偶數(shù),個(gè)位只能從0,2或4中任選一個(gè),其余三位數(shù)字從剩下的四個(gè)數(shù)中任選三個(gè),有3×4×3×2=72(種)情況;由分類加法計(jì)數(shù)原理可得,滿足題意的數(shù)共有48+72=120(個(gè)).3.某班要從5名男生和3名女生中選出2人作為社區(qū)效勞志愿者,假設(shè)用變量x表示選出的志愿者中女生的人數(shù),y表示對(duì)應(yīng)的方法數(shù),試用列表法表示這個(gè)函數(shù).【解析】x的取值為0,1,2(1)x=0,即選出的2人都是男生,把5名男生編號(hào)為1,2,3,4,5,那么選出的兩人有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共10種方法,此時(shí)y=10.(2)x=1,即選出的2人中1個(gè)男生,1個(gè)女生,分兩個(gè)步驟,第一步選出男生,有5種方法,第二步選出女生,有3種方法,所以共有5×3=15種方法,此時(shí)y=15.(3)x=2,即選出的2人都是女生,有3種方法,此時(shí)y=3.列表如下:x012y101531.一個(gè)小朋友用1,2,3,4,5,6,7,8,9寫出的兩位數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為_. 【解析】分兩個(gè)步驟:第一步,寫個(gè)位數(shù)字,從2,4,6,8中選一個(gè),有4種方法,第二步,寫十位數(shù)字,有9種方法,所以寫出的兩位數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為4×9=36.答案:362.如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì).在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)的個(gè)數(shù)是_. 【解析】分兩種情況討論:(1)對(duì)于每一條棱,都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì),這樣的“正交線面對(duì)有2×12=24(個(gè)).(2)對(duì)于每一條面對(duì)角線,都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì),這樣的“正交線面對(duì)有12個(gè).所以正方體中“正交線面對(duì)共有36個(gè).答案:36- 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