《線性代數(shù)第五章 課后習(xí)題及解答》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《線性代數(shù)第五章 課后習(xí)題及解答（33頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第五章課后習(xí)題及解答1. 求下列矩陣的特征值和特征向量：(1) 解： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：(2)解： 所以，特征值為：(單根)，(二重根) 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：(3)解： 所以，特征值為：(三重根) 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：(為不全為零的任 意常數(shù))。(4)解： 所以，特征值為：(四重根)所以，的基礎(chǔ)解系為：因此，的屬于的所有特征向量為：()(5)解： 所以，特征值為：(三重根) 所以，的基礎(chǔ)解系
2、為： 因此，的屬于的所有特征向量為：()(6)解： 所以，特征值為：(單根), (單根), (單根), 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：() 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：() 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：()2. 已知矩陣的特征值(二重)，, 求的值，并求其特征向量。解： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于3的所有特征向量為：(為不全為零的任意常數(shù)) 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于12的所有特征向量為：()3. 設(shè)是矩陣不同特征值的特征向量，證明不是的一個(gè)特征向量。證：（反證法）若是的屬于特征值的一個(gè)特征向量，是的屬于特征
3、值的特征向量且，則：所以，屬于不同特征值 線性無(wú)關(guān)即與矛盾。所以，不是的一個(gè)特征向量。4. 設(shè)分別是矩陣對(duì)應(yīng)于互不相同的特征值的特征向量，證明不是的一個(gè)特征向量。證：類似3題可證。5. 證明對(duì)合矩陣(即)的特征值只能為1或.證： 的特征值只有1. 若為的特征值，則為的特征值 的特征值只能為1或.6. 設(shè)可逆，討論與的特征值(特征向量)之間的相互關(guān)系。解： 若則.7. 若問(wèn)：是否成立？解：成立。8. 已知求解：相似矩陣具有相同的特征值 9. 已知求解： 10. 設(shè)是矩陣屬于特征值的特征向量。證明：是矩陣對(duì)應(yīng)其特征值的一個(gè)特征向量。證： 11. 設(shè)為非奇異矩陣，證明與相似。證：為非奇異矩陣 存在
4、與相似12. 設(shè)證明：證： 存在可逆矩陣, 使得 13. 證明：階矩陣只有零特征值，且特征子空間是的一維子空間，并求它的基。解： 只有零特征值。 的基礎(chǔ)解系為：14. 若可逆，不可逆，那么，關(guān)于的特征值能做出怎樣的斷語(yǔ)？解：可逆，不可逆 不是的特征值，1是的特征值。15. 若證明: 1或至少有一個(gè)是的特征值。證： 或 1或至少有一個(gè)是的特征值。16. 在第1題中，哪些矩陣可對(duì)角化？并對(duì)可對(duì)角化的矩陣, 求矩陣和對(duì)角矩陣, 使得解：由矩陣可對(duì)角化的條件及第1題的求解過(guò)程易知：(1), (6)可對(duì)角化。(1) (2)17. 主對(duì)角元互不相等的上（下）三角形矩陣是否與對(duì)角陣相似（說(shuō)明理由）？解：可以
5、，因?yàn)橛袀€(gè)互不相等的特征值。18. 設(shè)階矩陣的個(gè)元素全為1，試求可逆矩陣使為對(duì)角陣，并寫出與相似的對(duì)角陣。解：所以，特征值為：(單根)，(重根)所以，的基礎(chǔ)解系為：所以，的基礎(chǔ)解系為：所以，與相似的對(duì)角陣為：19. 已知4階矩陣的特征值為(三重)，對(duì)應(yīng)于的特征向量有對(duì)應(yīng)于的特征向量為問(wèn)：可否對(duì)角化？如能對(duì)角化，求出及(為正整數(shù))。解：容易驗(yàn)證，線性無(wú)關(guān)，所以，可對(duì)角化。 令則 20. 設(shè)三階矩陣有二重特征值如果都是對(duì)應(yīng)于的特征向量，問(wèn)可否對(duì)角化？解： 所以，線性無(wú)關(guān)。又因?yàn)槭Ｓ嗟哪莻€(gè)特征值是單根，所以可對(duì)角化。21. 已知(1) 求(為正整數(shù))。(2) 若求解：(1) 所以，特征值為：(單根)
6、，(單根) 所以，的基礎(chǔ)解系為：所以，的基礎(chǔ)解系為：令則：所以，(2)22. 設(shè)求(為正整數(shù))。(提示：按對(duì)角塊矩陣求.)解：令則從而， 所以，特征值為： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 令 則 23. 對(duì)5.2節(jié)例1的矩陣求正交矩陣使為對(duì)角陣。解：借助5.2節(jié)例1的求解過(guò)程，對(duì)單位化，對(duì)構(gòu)成的線性無(wú)關(guān)向量組利用施密特正交化方法進(jìn)行處理，即得所求的正交矩陣為：24. 對(duì)下列實(shí)對(duì)稱矩陣求正交矩陣和對(duì)角矩陣使(1) (2) (3) (4) (5) (1) 解： 所以，特征值為：(二重根)，(單根) 所以，的基礎(chǔ)解系為： 用施密特正交化方法得：所以，的基礎(chǔ)解系為：?jiǎn)挝换茫核裕?2)
7、, (3), (4), (5)類似(1)可求解。25. 設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且證明存在正交矩陣使得 證：設(shè)是的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量，則： 為非零向量 或0 為實(shí)對(duì)稱矩陣 存在正交矩陣使得26. 設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值證明存在特征值非負(fù)的實(shí)對(duì)稱矩陣, 使得證：為實(shí)對(duì)稱矩陣 存在正交陣使得 取則滿足條件。27. 設(shè)為階實(shí)對(duì)稱冪等矩陣試求解: (求解過(guò)程參考p240例4) 補(bǔ)充題28. 設(shè)多項(xiàng)式是矩陣的一個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)于的特征向量。證明是的特征值，且仍是對(duì)應(yīng)于的特征向量。證： = 是的特征值，且仍是對(duì)應(yīng)于的特征向量29. 設(shè)證明：證： 存在可逆矩陣使得 30. 設(shè)已知0是的二重特征值，1是的(
8、一重)特征值，求矩陣的特征多項(xiàng)式解： 的所有特征值為：0(二重根)，1(單根)，(單根) 31. 設(shè)階矩陣的每行元素之和皆為1，問(wèn)：能否至少求得的一個(gè)特征值？解：設(shè)則： 即： 所以，的一個(gè)特征值為1.32. 設(shè)是矩陣的個(gè)特征值，證明：證：是矩陣的個(gè)特征值 是的個(gè)特征值 的主對(duì)角元之和 =33. 設(shè)是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，證明：(的特征子空間)證： 34. 證明: 若階矩陣有個(gè)互不相同的特征值，則的充要條件是的特征向量也是的特征向量。證：(充分性) 不妨設(shè)是的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(因?yàn)椋袀€(gè)互不相同的特征值，所以，必可取出這樣的) 的特征向量也是的特征向量也是的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量令則(為對(duì)角
9、形矩陣)，則所以，(必要性) 由33題可知：若是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，則有個(gè)互不相同的特征值 是一維的特征子空間為中的非零向量 存在使得即也是的特征向量。35. 設(shè)皆為階矩陣，證明：可逆的充要條件為的任一特征值都不是的特征值。(提示：設(shè)利用不是的特征值時(shí)，討論的充分必要條件。)證：設(shè), 則 所以，的充要條件是即()都不是的特征值。36. 證明反對(duì)稱實(shí)矩陣的特征值是0或純虛數(shù)。證：設(shè)為反對(duì)稱實(shí)矩陣，則 設(shè)是對(duì)應(yīng)于特征值的一特征向量，即 是0或純虛數(shù)37. 已知中兩個(gè)非零的正交向量證明：矩陣的特征值全為0，且不可對(duì)角化。證：為兩個(gè)非零正交實(shí)向量 的特征值全為0 若為的特征值，則為的特征值 的特征
10、值全為0 的基礎(chǔ)解系中含個(gè)向量 不可對(duì)角化38. 設(shè)且試求矩陣的特征值，并求可逆矩陣使成對(duì)角形。解： 0是的特征值且是的特征方程的重根。 的所有特征值之和等于其主對(duì)角元之和 是的特征方程的單根 的每列向量都是的解 可取為的一個(gè)基礎(chǔ)解系 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：可取39. 已知的一個(gè)特征向量(1) 確定及對(duì)應(yīng)的特征值；(2) 能否相似于對(duì)角矩陣？說(shuō)明理由。解：(1)由求解得：(2) 特征值為：(三重根) 只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 不能與對(duì)角矩陣相似40. 設(shè)已知且有一特征值其特征向量試求及解：是的一特征值，是對(duì)應(yīng)的一特征向量 由及可得到41. 設(shè)已知有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，且是其二重特征值，求使(
11、對(duì)角矩陣)。解：有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 可對(duì)角化 屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè) 設(shè)另一特征值為則 的一基礎(chǔ)解系為： 的一基礎(chǔ)解系為： 可取則42. 設(shè)均為非零向量，已知試求：(1) (2) 的特征值與特征向量。解：(1) (2) 0是的特征值 的一基礎(chǔ)解系為： 0至少是重特征值。設(shè)另一特征值為則：0是的特征方程的重根。的特征值為0. 特征向量為：(為不全為零的任意常數(shù))。下列4346題為選擇題。43. 已知是階矩陣的個(gè)特征值，則行列式 解：44. 已知階矩陣的行列式為的一個(gè)特征值，則(為單位矩陣)必有特征值 45. 若均為階矩陣，且則 與有相同的特征值和特征向量; 對(duì)于任意常數(shù)均有46. 已知與相似，則 解：相似矩陣有相同的特征值。由特征值的性質(zhì)有：
線性代數(shù)第五章 課后習(xí)題及解答
