線性代數(shù)第五章 課后習題及解答

第五章課后習題及解答1. 求下列矩陣的特征值和特征向量：(1) 解： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：(2)解： 所以，特征值為：(單根)，(二重根) 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：(3)解： 所以，特征值為：(三重根) 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：(為不全為零的任 意常數(shù))。(4)解： 所以，特征值為：(四重根)所以，的基礎(chǔ)解系為：因此，的屬于的所有特征向量為：()(5)解： 所以，特征值為：(三重根) 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：()(6)解： 所以，特征值為：(單根), (單根), (單根), 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：() 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：() 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于的所有特征向量為：()2. 已知矩陣的特征值(二重)，, 求的值，并求其特征向量。解： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于3的所有特征向量為：(為不全為零的任意常數(shù)) 所以，的基礎(chǔ)解系為： 因此，的屬于12的所有特征向量為：()3. 設(shè)是矩陣不同特征值的特征向量，證明不是的一個特征向量。證：（反證法）若是的屬于特征值的一個特征向量，是的屬于特征值的特征向量且，則：所以，屬于不同特征值 線性無關(guān)即與矛盾。所以，不是的一個特征向量。4. 設(shè)分別是矩陣對應(yīng)于互不相同的特征值的特征向量，證明不是的一個特征向量。證：類似3題可證。5. 證明對合矩陣(即)的特征值只能為1或.證： 的特征值只有1. 若為的特征值，則為的特征值 的特征值只能為1或.6. 設(shè)可逆，討論與的特征值(特征向量)之間的相互關(guān)系。解： 若則.7. 若問：是否成立？解：成立。8. 已知求解：相似矩陣具有相同的特征值 9. 已知求解： 10. 設(shè)是矩陣屬于特征值的特征向量。證明：是矩陣對應(yīng)其特征值的一個特征向量。證： 11. 設(shè)為非奇異矩陣，證明與相似。證：為非奇異矩陣 存在 與相似12. 設(shè)證明：證： 存在可逆矩陣, 使得 13. 證明：階矩陣只有零特征值，且特征子空間是的一維子空間，并求它的基。解： 只有零特征值。 的基礎(chǔ)解系為：14. 若可逆，不可逆，那么，關(guān)于的特征值能做出怎樣的斷語？解：可逆，不可逆 不是的特征值，1是的特征值。15. 若證明: 1或至少有一個是的特征值。證： 或 1或至少有一個是的特征值。16. 在第1題中，哪些矩陣可對角化？并對可對角化的矩陣, 求矩陣和對角矩陣, 使得解：由矩陣可對角化的條件及第1題的求解過程易知：(1), (6)可對角化。(1) (2)17. 主對角元互不相等的上（下）三角形矩陣是否與對角陣相似（說明理由）？解：可以，因為有個互不相等的特征值。18. 設(shè)階矩陣的個元素全為1，試求可逆矩陣使為對角陣，并寫出與相似的對角陣。解：所以，特征值為：(單根)，(重根)所以，的基礎(chǔ)解系為：所以，的基礎(chǔ)解系為：所以，與相似的對角陣為：19. 已知4階矩陣的特征值為(三重)，對應(yīng)于的特征向量有對應(yīng)于的特征向量為問：可否對角化？如能對角化，求出及(為正整數(shù))。解：容易驗證，線性無關(guān)，所以，可對角化。 令則 20. 設(shè)三階矩陣有二重特征值如果都是對應(yīng)于的特征向量，問可否對角化？解： 所以，線性無關(guān)。又因為剩余的那個特征值是單根，所以可對角化。21. 已知(1) 求(為正整數(shù))。(2) 若求解：(1) 所以，特征值為：(單根)，(單根) 所以，的基礎(chǔ)解系為：所以，的基礎(chǔ)解系為：令則：所以，(2)22. 設(shè)求(為正整數(shù))。(提示：按對角塊矩陣求.)解：令則從而， 所以，特征值為： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 所以，的基礎(chǔ)解系為： 令 則 23. 對5.2節(jié)例1的矩陣求正交矩陣使為對角陣。解：借助5.2節(jié)例1的求解過程，對單位化，對構(gòu)成的線性無關(guān)向量組利用施密特正交化方法進行處理，即得所求的正交矩陣為：24. 對下列實對稱矩陣求正交矩陣和對角矩陣使(1) (2) (3) (4) (5) (1) 解： 所以，特征值為：(二重根)，(單根) 所以，的基礎(chǔ)解系為： 用施密特正交化方法得：所以，的基礎(chǔ)解系為：單位化得：所以，(2) , (3), (4), (5)類似(1)可求解。25. 設(shè)是階實對稱矩陣，且證明存在正交矩陣使得 證：設(shè)是的對應(yīng)于特征值的一個特征向量，則： 為非零向量 或0 為實對稱矩陣 存在正交矩陣使得26. 設(shè)階實對稱矩陣的特征值證明存在特征值非負的實對稱矩陣, 使得證：為實對稱矩陣 存在正交陣使得 取則滿足條件。27. 設(shè)為階實對稱冪等矩陣試求解: (求解過程參考p240例4) 補充題28. 設(shè)多項式是矩陣的一個特征值，是對應(yīng)于的特征向量。證明是的特征值，且仍是對應(yīng)于的特征向量。證： = 是的特征值，且仍是對應(yīng)于的特征向量29. 設(shè)證明：證： 存在可逆矩陣使得 30. 設(shè)已知0是的二重特征值，1是的(一重)特征值，求矩陣的特征多項式解： 的所有特征值為：0(二重根)，1(單根)，(單根) 31. 設(shè)階矩陣的每行元素之和皆為1，問：能否至少求得的一個特征值？解：設(shè)則： 即： 所以，的一個特征值為1.32. 設(shè)是矩陣的個特征值，證明：證：是矩陣的個特征值 是的個特征值 的主對角元之和 =33. 設(shè)是對應(yīng)于特征值的特征向量，證明：(的特征子空間)證： 34. 證明: 若階矩陣有個互不相同的特征值，則的充要條件是的特征向量也是的特征向量。證：(充分性) 不妨設(shè)是的個線性無關(guān)的特征向量(因為，有個互不相同的特征值，所以，必可取出這樣的) 的特征向量也是的特征向量也是的個線性無關(guān)的特征向量令則(為對角形矩陣)，則所以，(必要性) 由33題可知：若是對應(yīng)于特征值的特征向量，則有個互不相同的特征值 是一維的特征子空間為中的非零向量 存在使得即也是的特征向量。35. 設(shè)皆為階矩陣，證明：可逆的充要條件為的任一特征值都不是的特征值。(提示：設(shè)利用不是的特征值時，討論的充分必要條件。)證：設(shè), 則 所以，的充要條件是即()都不是的特征值。36. 證明反對稱實矩陣的特征值是0或純虛數(shù)。證：設(shè)為反對稱實矩陣，則 設(shè)是對應(yīng)于特征值的一特征向量，即 是0或純虛數(shù)37. 已知中兩個非零的正交向量證明：矩陣的特征值全為0，且不可對角化。證：為兩個非零正交實向量 的特征值全為0 若為的特征值，則為的特征值 的特征值全為0 的基礎(chǔ)解系中含個向量 不可對角化38. 設(shè)且試求矩陣的特征值，并求可逆矩陣使成對角形。解： 0是的特征值且是的特征方程的重根。 的所有特征值之和等于其主對角元之和 是的特征方程的單根 的每列向量都是的解 可取為的一個基礎(chǔ)解系 的一個基礎(chǔ)解系為：可取39. 已知的一個特征向量(1) 確定及對應(yīng)的特征值；(2) 能否相似于對角矩陣？說明理由。解：(1)由求解得：(2) 特征值為：(三重根) 只有一個線性無關(guān)的特征向量 不能與對角矩陣相似40. 設(shè)已知且有一特征值其特征向量試求及解：是的一特征值，是對應(yīng)的一特征向量 由及可得到41. 設(shè)已知有3個線性無關(guān)的特征向量，且是其二重特征值，求使(對角矩陣)。解：有3個線性無關(guān)的特征向量 可對角化 屬于的線性無關(guān)的特征向量有兩個 設(shè)另一特征值為則 的一基礎(chǔ)解系為： 的一基礎(chǔ)解系為： 可取則42. 設(shè)均為非零向量，已知試求：(1) (2) 的特征值與特征向量。解：(1) (2) 0是的特征值 的一基礎(chǔ)解系為： 0至少是重特征值。設(shè)另一特征值為則：0是的特征方程的重根。的特征值為0. 特征向量為：(為不全為零的任意常數(shù))。下列4346題為選擇題。43. 已知是階矩陣的個特征值，則行列式 解：44. 已知階矩陣的行列式為的一個特征值，則(為單位矩陣)必有特征值 45. 若均為階矩陣，且則 與有相同的特征值和特征向量; 對于任意常數(shù)均有46. 已知與相似，則 解：相似矩陣有相同的特征值。由特征值的性質(zhì)有：