(修改版)華東師范大學出版社九年級上冊數(shù)學知識點總結

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1 華師大版九年級上冊數(shù)學知識點總結 第 21 章 二次根式 1 二次根式的概念 形如 的式子叫做二次根式 2 二次根式的性質(zhì) 1 a 0 2 0 a 0 3 2 a 0 2aa 3 二次根式的乘除 計算公式 0 abb 乘 法 運 算 除 法 運 算 4 概念 1 2最 簡 二 次 根 式 1 2 3 同 類 二 次 根 式 5 二次根式的加減 一化 二找 三合并 1 將每個二次根式化為最簡二次根式 2 找出其中的同類二次根式 3 合并同類二次根式 6 二次根式化簡求值步驟 1 一分 分解因數(shù) 因式 平方數(shù) 式 2 二移 根據(jù)算術平方根的概念 把根號內(nèi)的平方數(shù)或者平方式移到根號外面 3 三化 化 去被開方數(shù)中的分母 7 二次根式的混合運算 1 二次根式的混合運算順序與實數(shù)運算類似 先算乘方 再算乘除 最后算加減 有括號先算括號里面的 2 對于二次根式混合運算 原來學過的所有運算律 運算法則及乘法公式仍然適 用 3 在二次根式混合運算中 如能結合題目特點 靈活運用二次根式的性質(zhì) 選擇恰 當?shù)慕忸}途徑 往往能事半功倍 第 22 章 一元二次方程 1 一元二次方程 1 一元二次方程 含有一個未知數(shù) 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程 2 一元二次方程的一般形式 0 2 acbxa 它的特征 等式左邊是一個關于未知數(shù) x 的二次多項式 等式右邊是零 叫做二次項 a 叫做二次項系數(shù) bx 叫做一次項 b 叫做一次項系數(shù) c 叫做常2x 數(shù)項 2 一元二次方程的解法 2 1 直接開平方法 利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法 直接開平方法適用于解形如 的一元二次方程 根據(jù)平方根的定義可知 bax 2 是 b 的平方根 當 時 當 b0 時 一元二次方程有 2 個不相等的實數(shù)根 2 當 0 時 一元二次方程有 2 個相同的實數(shù)根 3 當 0 時 一元二次方程沒有實數(shù)根 4 韋達定理 如果方程 的兩個實數(shù)根是 那么 0 2 acbxa 21x abx 21 也就是說 對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程 兩根之和等于方程的一cx 21 次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù) 兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得 的商 5 一元二次方程的二次函數(shù)的關系 其實一元二次方程也可以用二次函數(shù)來表示 其實一元二次方程也是二次函數(shù)的一個特 殊情況 就是當 y 0 的時候就構成了一元二次方程了 那如果在平面直角坐標系中表示 出來 一元二次方程就是二次函數(shù)中 圖象與 X 軸的交點 也就是該方程的解了 第 23 章 圖形的相似 1 比例線段的有關概念 b d 叫后項 d 叫 在 比 例 式 中 叫 外 項 叫 內(nèi) 項 叫 前 項 ac bd abcac 3 第四比例項 如果 b c 那么 b 叫做 a d 的比例中項 2 比例性質(zhì) 基 本 性 質(zhì) ad 更比性質(zhì) 交換比例的內(nèi)項或外項 交 換 內(nèi) 項交 換 外 項同 時 交 換 內(nèi) 外 項同 時 交 換 比 的 前 項 和 后 項bcdaabbcda 合 比 性 質(zhì) babcd 等 比 性 質(zhì) cdmnnacmbdnab 0 3 黃金分割 在線段 AB 上 點 C 把線段 AB 分成兩條線段 AC 和 BC AC BC 如果 ACB 即 AC2 AB BC 那么稱線段 AB 被點 C 黃金分割 點 C 叫做線段 AB 的黃金分割點 AC 與 AB 的比叫做黃金比 其中 0 618 AB215 4 平行線分線段成比例定理 定理 三條平行線截兩條直線 所得的對應線段成比例 如圖 l1 l 2 l 3 則 ABCDEFCAEFD 推 論 平 行 于 三 角 形 一 邊 的 直 線 截 其 他 兩 邊 或 兩 邊 的 延 長 線 所 得 的 對 應 線 段 成 比 例 定理 如果一條直線截三角形的兩邊 或兩邊的延長線 所得 的對應線段成比例 那么這條直線平行于三角形的第三邊 5 相似三角形的判定 兩角對應相等 兩個三角形相似 兩邊對應成比例且夾角相等 兩三角形相似 三邊對應成比例 兩三角形相似 6 相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對應角相等 對應邊成比例 相似三角形對應高的比 對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比 相似三角形周長的比等于相似比 面積的比等于相似比的平方 7 六種相似基本模型 4 CABDCABDEEDB AC DE BC B AED B ACDADB CDOBACOD CBA X 型 母子型 AC BD B C AD 是 Rt ABC 斜邊上的高 8 射影定理 由 得 即 由 得 即 由 得 即 9 中 位 線 1 三角形的中位線 連結三角形兩邊中點的線段 三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半 三角形三條邊上的中線交于一點 這個點就是三角形的重心 重心與一邊中點的線段的 長是對應中線長的 31 2 梯形的中位線 連結梯形兩腰中點的線段 梯形的中位線平行于兩底邊 并且等于兩底邊和的一半 10 位 似 如果兩個圖形不僅是相似圖形 而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點 那么這 樣的兩個圖形叫做位似圖形 這個點叫做位似中心 這時的相似比又稱為位似比 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比 第 24 章 解直角三角形 考點一 直角三角形的性質(zhì) 1 直角三角形的兩個銳角互余 可表示如下 C 90 A B 90 2 在直角三角形中 30 角所對的直角邊等于斜邊的一半 30192AD 3 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ADB C 5 9012ACBDABDD 為 的 中 點 4 勾股定理 直角三角形兩直角邊 a b 的平方和等于斜邊 c 的平方 即 22cba 5 攝影定理 在直角三角形中 斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項 每條直角邊是 它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項 290CDABAB 6 常用關系式 由三角形面積公式可得 AB CD AC BC 考點二 直角三角形的判定 1 有一個角是直角的三角形是直角三角形 2 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半 那么這個三角形是直角三角形 3 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長 a b c 有關系 那么這個三角形是直角三角形 22cba 考點三 銳角三角函數(shù)的概念 1 如圖 在 ABC 中 C 90 銳角 A 的對邊與斜邊的比叫做 A 的正弦 記為 sinA 即 asinc 的 對 邊斜 邊 銳角 A 的鄰邊與斜邊的比叫做 A 的余弦 記為 cosA 即 Abcosc 的 鄰 邊斜 邊 銳角 A 的對邊與鄰邊的比叫做 A 的正切 記為 tanA 即 atan的 對 邊的 鄰 邊 銳角 A 的鄰邊與對邊的比叫做 A 的余切 記為 cotA 即 bcotA 的 鄰 邊的 對 邊 2 銳角三角函數(shù)的概念 銳角 A 的正弦 余弦 正切 余切都叫做 A 的銳角三角函數(shù) 3 各銳角三角函數(shù)之間的關系 1 互余關系 sinA cos 90 A cosA sin 90 A tanA cot 90 A cot A tan 90 A 2 平方關系 1cossin22 3 倒數(shù)關系 tanA cotA 1 4 弦切關系 tanA cot A sicsin 4 銳角三角函數(shù)的增減性 當角度在 0 90 之間變化時 6 1 正弦值隨著角度的增大 或減小 而增大 或減小 2 余弦值隨著角度的增大 或減小 而減小 或增大 3 正切值隨著角度的增大 或減小 而增大 或減小 4 余切值隨著角度的增大 或減小 而減小 或增大 5 一些特殊角的三角函數(shù)值 三角函數(shù) 0 30 45 60 90 sin 0 2131 cos 1 0 tan 0 31 3不存在 cot 不存在 1 0 考點四 解直角三角形 1 解直角三角形的概念 在直角三角形中 除直角外 一共有五個元素 即三條邊和兩個銳角 由直角三角形中 除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形 2 解直角三角形的理論依據(jù) 在 Rt ABC 中 C 90 A B C 所對的邊分別為 a b c 1 三邊之間的關系 勾股定理 22cba 2 銳角之間的關系 A B 90 3 邊角之間的關系 sin cos tan cot bAAabBB 第 25 章 隨機事件的概率 1 概率 1 表示一個事件發(fā)生的可能性大小的這個數(shù) 叫做該事件的概率 P 所關注的事件 所關注的結果 所有等可能的結果 2 概率的預測 1 要清楚我們關注的是發(fā)生哪個或哪些結果 2 要清楚所有機會的結果 1 2 兩個結果個數(shù)之比就是關注的結果發(fā)生的概率 7 方法 畫樹狀圖 列表法 事件的分類 1 確定事件 必然發(fā)生的事件 當 A 是必然發(fā)生的事件時 P A 1 不可能發(fā)生的事件 當 A 是不可能發(fā)生的事件時 P A 0 2 隨機事件 當 A 是可能發(fā)生的事件時 P A 概率的意義 一般地 在大量重復試驗中 如果事件 A 發(fā)生的頻率 mn會穩(wěn)定在某個常數(shù) p 附近 那么這個常數(shù) p 就叫做事件 A 的概率 概率的表示方法 一般地 事件用英文大寫字母 A B C 表示事件 A 的概率 p 可記為 P A P 概率的求解方法 利用頻率估算法 大量重復試驗中 事件 A 發(fā)生的頻率 mn會穩(wěn)定在某個常數(shù) p 附近 那么這個 常數(shù) p 就叫做事件 A 的概率 有些時候用計算出 發(fā)生的所有頻率的平均值作為其概率 狹義定義法 如果在一次試驗中 有 n 種可能的結果 并且它們發(fā)生的可能性都相等 考察事 件 A 包含其中的 m 中結果 那么事件 A 發(fā)生的概率為 P A n 列表法 當一次試驗要設計兩個因素 可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時 為不重不漏地列出所有可 能的結果 通常采用列表法 其中一個因素作為行標 另一個因素作為列標 特別注意放回去與不放回去的列表法的不同 如 一只箱子中有三張卡片 上面分別是數(shù)字 第一抽出一張后再放回去再抽第二次 兩次抽到數(shù)字為數(shù)字 和 或者 和 的概率是多 少 若不放回去 兩次抽到數(shù)字為數(shù)字 和 或者 和 的概率是多少 放回去 P 和 92 不放回去 P 和 62 3 3 2 3 1 3 222 1 3 1 2 1 1第 一 次 結 果 321第 二 次第 一 次 結 果 第 二 次 3 2 3 1 3 2 3 22 1 1 2 1第 一 次 結 果 321第 二 次第 一 次 結 果 第 二 次 樹狀圖法 當一次試驗要設計三個或更多的因素時 用列表法就不方便了 為了不重不漏地列 出所有可能的結果 通常采用樹狀圖法求概率 8 注意 求概率的一個重要技巧 求某一事件的概率較難時 可先求其余事件的概率或考慮其反面的 概率再用 減 即正難則反易 概率的實際意義 對隨機事件發(fā)生的可能性的大小即計算其概率 一方面要評判一些游戲規(guī)則對參與游戲者是否公平 就是要看各事件發(fā)生概率 另一方面通過對概率的學習讓我們更加理智的對待一些買彩票抽獎活動