數(shù)學(xué)選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 2 參數(shù)方程 文

第二節(jié)參 數(shù) 方 程【教材基礎(chǔ)回顧】1.曲線的參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)_,并且對(duì)于t的每一個(gè) x f t ,y g t 允許值,由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上,那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做_,簡稱_.相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程F(x,y)=0叫_方程.參變數(shù)參數(shù)普通2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)參數(shù)方程化普通方程:利用兩個(gè)方程相加、減、乘、除或者代入法消去參數(shù).(2)普通方程化參數(shù)方程:如果x=f(t),把它代入普通方程,求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t),則得曲線的參數(shù)方程 x f ty g t .（），（）3.直線、圓與橢圓的普通方程和參數(shù)方程軌跡軌跡普通方程普通方程參數(shù)方程參數(shù)方程直線直線y yy y0 0=tan (x=tan (xx x0 0) )( ( ，點(diǎn)斜式，點(diǎn)斜式) )_(t(t為參數(shù)為參數(shù)) )圓圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2_(為參數(shù)為參數(shù)) )橢圓橢圓 =1 =1(ab0)(ab0)_( (為參數(shù)為參數(shù)) )00 xxtcos ,yytsin2x a rcos ,y b rsin 2222xyabx acos ,y bsin【金榜狀元筆記】1.參數(shù)方程化普通方程(1)常用技巧:代入消元、加減消元、平方后加減消元等.(2)常用公式:cos 2+sin 2=1,1+tan 2= 21.cos 2.直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程是 若M1,M2是l上的兩點(diǎn),其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1,t2,則00 x xtcos ,y ytsin .(1)|M1M2|=|t1-t2|.(2)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t,則t= 中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|=|t|= (3)若M0為線段M1M2的中點(diǎn),則t1+t2=0.12tt2，12tt|.2【教材母題變式】1.把下列參數(shù)方程化為普通方程,并說明它們各表示什么曲線?(1) (t為參數(shù))(2) (為參數(shù))x 3t 2,y t 1 x 5cos ,y 4sin【解析】(1)由y=t-1得t=y+1,代入x=3t+2得x=3(y+1)+2,故所求普通方程為x-3y-5=0,這是一條直線.(2)曲線方程化為 所以 這是橢圓.xcos ,5ysin ,422xy125 16 ，2.已知曲線C的參數(shù)方程是 (t為參數(shù),aR),點(diǎn)M(-3,4)在曲線C上.(1)求常數(shù)a的值.(2)判斷點(diǎn)P(1,0),Q(3,-1)是否在曲線C上?2x 1 2t,y at 【解析】(1)將M(-3,4)的坐標(biāo)代入曲線C的參數(shù)方程 消去參數(shù)t,得a=1.22x 1 2t,3 1 2t,y at4 at 得(2)由(1)可得,曲線C的參數(shù)方程是 把點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,0)代入方程組,解得t=0,因此P在曲線C上,把點(diǎn)Q的坐標(biāo)(3,-1)代入方程組,得到這個(gè)方程組無解,因此點(diǎn)Q不在曲線C上.2x 1 2t,y t , 23 1 2t,1 t 3.已知點(diǎn)P是橢圓 +y2=1上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l:x+2y=0的距離的最大值.2x4【解析】因?yàn)闄E圓 +y2=1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),故可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cos ,sin ),又直線l:x+2y=0.因此點(diǎn)P到直線l的距離d= 2x4x2cos ,y sin222 2|sin()|2cos2sin |4.512又0,2),所以dmax= 即點(diǎn)P到直線l:x+2y=0的距離的最大值為 2 22 1055，2 10.5【母題變式溯源】題號(hào)題號(hào)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)源自教材源自教材1 1參數(shù)方程化普通方程參數(shù)方程化普通方程P25P25例例3 32 2用參數(shù)方程研究點(diǎn)與曲用參數(shù)方程研究點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系線的位置關(guān)系P22P22例例1 13 3參數(shù)方程研究最值問題參數(shù)方程研究最值問題P28P28例例1 1考向一 參數(shù)方程與普通方程的互化【典例1】將下列參數(shù)方程化為普通方程. 221xt1(t).1yt1tx2 sin 2().y1 cos 2 ，為參數(shù)為參數(shù)【解析】(1)由t2-10t1或t-10 x1或-1x0,所以t1t2=-11,即|PA|PB|=11.3x 1t,21y 2t2 2231(1t)(2t)1622，3考向三 極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 高頻考點(diǎn)【典例3】(1)(2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為 (m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C.x 2 ty kt ，x2 mmyk ，寫出C的普通方程;以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:(cos +sin )- =0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.2(2)(2018衡水模擬)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是2=4cos +6sin -12.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).1x 2t,23y 1t2 寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程,并判斷它們的位置關(guān)系;將曲線C向左平移兩個(gè)單位,再向下平移三個(gè)單位得到曲線D,設(shè)曲線D經(jīng)過伸縮變換 得到曲線E,設(shè)曲線E上任一點(diǎn)為M(x,y),求 的取值范圍.xx,y2y13xy2(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的方程為(為參數(shù)).求過橢圓的右焦點(diǎn),且與直線 (t為參數(shù))垂直的直線l的普通方程;求橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值.x4cosy7sin，x4 2ty 3 t ，【解析】(1)直線l1的普通方程為y=k(x-2),直線l2的普通方程為x=-2+ky,消去k得x2-y2=4,即C的普通方程為x2-y2=4.l3的直角坐標(biāo)方程為x+y= 聯(lián)立 所以2=x2+y2= 所以l3與C的交點(diǎn)M的極徑為 2,223 2xx y22xy42y.2 ，得，18 25,445.(2)直線l的普通方程為 曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+(y-3)2=1.因?yàn)?所以直線l和曲線C相切.3x y 2 3 1 0, 2|23 3 2 3 1|1,31 曲線D為x2+y2=1,曲線D經(jīng)過伸縮變換 得到曲線E的方程為x2+ =1.則其參數(shù)方程為 (為參數(shù)),xx,y2y2y4x cos ,y 2sin代入 得,所以 的取值范圍為-2,2.13xy213xy3cossin2sin(),2313xy2(3)橢圓方程為 橢圓的右焦點(diǎn)為(3,0),已知直線的斜率k= ,于是所求直線l的方程可設(shè)為y=-2x+b,又直線過(3,0)所以所求直線方程為:y=-2x+6.22xy1,16712設(shè)A(4cos , sin ),則橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積S=4|xy|=16 |sin cos |=8 |sin 2|,面積最大為8 .7777【技法點(diǎn)撥】極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的解題策略(1)求交點(diǎn)坐標(biāo)、距離、線段長.可先求出直角坐標(biāo)系方程,然后求解.(2)判斷位置關(guān)系.先轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程,然后再作出判斷.(3)求參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程綜合的問題.一般是先將方程化為直角坐標(biāo)方程,利用直角坐標(biāo)方程來研究問題.【同源異考金榜原創(chuàng)】命題點(diǎn)1求交點(diǎn)坐標(biāo)、距離、線段長1.在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1:2-4cos +3=0,0,2,曲線C2:= 0,2.3,4sin()6(1)求曲線C1的一個(gè)參數(shù)方程.(2)若曲線C1和曲線C2相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的值.【解析】(1)由2-4cos +3=0可知:x2+y2-4x+3=0,所以(x-2)2+y2=1.令x-2=cos ,y=sin ;所以C1的一個(gè)參數(shù)方程為 (R).x2 cosy sin ，(2)C2: 所以 即2x- -3=0,因?yàn)橹本€2x- -3=0與圓(x-2)2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),所以圓心到直線的距離為d= 所以 4 (sin coscos sin ) 366 ，134( xy) 322 ，2 3y2 3y14，211515AB 21 ( )2.442 命題點(diǎn)2判斷位置關(guān)系2.在極坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)O(0,0), (1)求經(jīng)過O,A,B的圓C1的極坐標(biāo)方程.(2)以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,圓C2的參數(shù)方程為 (是參數(shù)),若圓C1與圓C2外切,求實(shí)數(shù)a的值.A(2),B(2 2, ).24，x1 acos ,y1 asin 【解析】(1)O(0,0), 對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)分別為O(0,0),A(0,2),B(2,2),則過O,A,B的圓的普通方程為x2+y2-2x-2y=0,又因?yàn)?代入可求得經(jīng)過O,A,B的圓C1的極坐標(biāo)方程為= A(2),B(2 2, )24，xcosysin，2 2cos().4(2)圓C2: (是參數(shù))對(duì)應(yīng)的普通方程為(x+1)2+(y+1)2=a2,當(dāng)圓C1與圓C2外切時(shí),有 +|a|=2 ,解得a= .x1 acos ,y1 asin 222命題點(diǎn)3求最值和取值范圍問題3.(2018唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:x+y=4,曲線C2: (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.x 1 cosy sin ，(1)求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程.(2)若射線l:=(0)分別交C1,C2于A,B兩點(diǎn),求 的最大值.OBOA【解析】(1)因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系xOy中,曲線C1:x+y=4,曲線C1的極坐標(biāo)方程為(cos +sin )=4,C2的普通方程為(x-1)2+y2=1,所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2cos .(2)設(shè)A(1,),B(2,), 則1= 2=2cos , 2cos (cos +sin )當(dāng)= 時(shí), 取得最大值 42 ，4,cossin21OB1OA411(cos 2sin 21) 2cos(2) 1444 ，8OBOA12 1 .4（）核心素養(yǎng)系列（六十一）數(shù)學(xué)建模參數(shù)方程中的核心素養(yǎng)建立有關(guān)曲線的參數(shù)方程,研究解析幾何中位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、弦長和最值問題.【典例】(2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=4cos .x acos ty 1 asin t，(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程.(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.【解析】(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為2-2sin +1-a2=0.(2)C2:=4cos ,兩邊同乘,得2=4cos ,因?yàn)?=x2+y2,cos =x,所以x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.C3:化為直角坐標(biāo)方程為y=2x,由題意:C1和C2的公共弦所在直線即為C3.-得:4x-2y+1-a2=0,即為C3,所以1-a2=0,所以a=1.