《數(shù)列問(wèn)題》word版

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1、三 數(shù)列問(wèn)題 ——從高斯的故事談起 高斯是 19 世紀(jì)德國(guó)的著名數(shù)學(xué)家。他從小喜歡學(xué)數(shù)學(xué)，善于思考，聰明 過(guò)人。據(jù)說(shuō)他在讀小學(xué)三年級(jí)的時(shí)候，一次老師布置一道題目：“把從 1 到 100 的自然數(shù)加起來(lái)，和是多少？”正當(dāng)同學(xué)們埋頭一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)加的時(shí)候， 小高斯很快報(bào)出答數(shù)為 5050，這使得老師非常吃驚。 小高斯是采取什么辦法巧妙地進(jìn)行計(jì)算的呢？ 先來(lái)觀察一下題目，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的排列是有規(guī)律的。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+??+100。 這是按自然數(shù)排列的，后面一個(gè)數(shù)都比前面一個(gè)數(shù)大 1，好比上體育課 同學(xué)們排成一隊(duì)，叫做隊(duì)列，這就叫做數(shù)列。請(qǐng)觀察下面的數(shù)列： ①1，3，5，

2、7，9，11； ②2，6， 10， 14， 18，22； ③5， 10， 15， 20， 25， 30。 這些數(shù)列的兩個(gè)數(shù)之間的差都是相等的，所以叫做等差數(shù)列。既然這些 數(shù)列排列都有規(guī)律可找，因此可以發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，這些就是數(shù)列問(wèn)題。 小高斯做的題目是最簡(jiǎn)單的數(shù)列問(wèn)題。100 個(gè)數(shù)相加大多了。我們先用 九個(gè)數(shù)來(lái)研究一下： 這樣湊成 4 個(gè) 10 再加上 5，和為 45。 還有一個(gè)辦法： 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 和 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 和 ? ?2 倍和

3、 ? 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 90 把數(shù)列顛倒過(guò)來(lái)相加，所得結(jié)果是和的 2 倍，只要除以 2 就得到答案： 和＝90÷2＝45。 按照這個(gè)道理，可以得到求等差數(shù)列的和的一般公式： （首項(xiàng)+末項(xiàng)）×個(gè)數(shù)÷2 把小高斯做的題目： 1+2+3+4+5+?+100 代入公式： （1+100）×100÷2 =101×100÷2 =10100÷2 =5050 例 1 1+2+3+?+250＝31375 （1+250）×250÷2 =251×250÷2 =62750÷2 =31375 例 2

4、1+3+5+7+9+?+199＝10000 這是一列奇數(shù)數(shù)列，也可代入公式 （首項(xiàng)十末項(xiàng)）×個(gè)數(shù)÷2 （1+199）×100÷2=20000÷2=10000 怎樣算出連續(xù)奇數(shù)的個(gè)數(shù)，不必一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)出來(lái)。只要（首項(xiàng)+末項(xiàng)） ÷2，就能求出個(gè)數(shù)。 例 3 101+103+105+?+199=？ 這道題和上面講的有所不同。它雖然也是求連續(xù)奇數(shù)的和，但卻不是從 1 開(kāi)始的。其實(shí)也不難，只要先算出從 1 到 199 的連續(xù)奇數(shù)的和，再減去從 1 到 99 的連續(xù)奇數(shù)的和，問(wèn)題就解決了。 ∵1+3+5+?+99=2500， 1+3+5+?+199=10000， ∴101+103+105

5、+?+199=10000-2500＝7500。 例 4 2+4+6+?+100=？ 這道題一看就知道，是求從 2 開(kāi)始連續(xù)偶數(shù)的和。同樣可用上面的公式 代入 （2+100）×50÷2=5100÷2=2550。 要知道從 2 開(kāi)始連續(xù)偶數(shù)的個(gè)數(shù)，也不用一個(gè)一個(gè)地去數(shù)，只要把最后 那個(gè)偶數(shù)除以 2 就可以了。 例 5 五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是 150，這五個(gè)偶數(shù)是哪幾個(gè)數(shù)？ 粗看這道題目覺(jué)得很難，感到無(wú)從下手。可以先枚舉幾組五個(gè)連續(xù)偶數(shù) 觀察一下： 請(qǐng)你仔細(xì)觀察分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，湊巧是中間數(shù) 的 5 倍。中間數(shù)找到了，前后四個(gè)數(shù)就能寫(xiě)出來(lái)了。解例 5： 先求出五個(gè)連續(xù)

6、偶數(shù)的中間數(shù)：150÷5=30。 所以這五個(gè)連續(xù)偶數(shù)是：26，28，30，32，34。 例 6 已知四個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是 84，這四個(gè)偶數(shù)是哪幾個(gè)數(shù)？ 這道題是四個(gè)連續(xù)偶數(shù)，沒(méi)有中間數(shù)，上面的辦法不適用了，要根據(jù)上 題的思路重新想辦法。先枚舉幾組題目觀察一下： 從上面兩組題發(fā)現(xiàn)，四個(gè)連續(xù)偶數(shù)分成兩個(gè)數(shù)對(duì)，每個(gè)數(shù)對(duì)的和是相等 的。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，可以從這個(gè)和中先求出一個(gè)數(shù)對(duì)，然后再推算出四個(gè)連 續(xù)偶數(shù)來(lái)。 84÷2=42 然后推算出這個(gè)四個(gè)偶數(shù)：18，20，22，24。 例 7 10 到 80 之間能被 7 整除的各數(shù)之和是多少？ 10 到 80 之間，7 的最小倍數(shù)是 14，

7、7 的最大倍數(shù)是 77，這是一列 7 的 倍數(shù)的數(shù)列： 14+21+28+?+77＝455。 代入求等差數(shù)列之和的公式得： （14+77）×10÷2=910÷2=455。 例 1 1 1 1 ? 8 ×1 2 + 2×3 + 3×4 + + 99×100 = ? 求這一數(shù)列各數(shù)之和，如果按照普通方法計(jì)算實(shí)在太麻煩了。你愿意試 一下的話(huà)，恐怕半天還算不出來(lái)呢。 從何下手呢？首先要仔細(xì)分析題目，看看這些分?jǐn)?shù)有什么特點(diǎn)。不難看 出，這 99 個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是 1，分母都是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的乘積。這一數(shù) 列的編列是有規(guī)律可找的。 根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的法則，它們都可以分成兩個(gè)分

8、數(shù)相乘，如： 1 1 1 1 1 1 = × · × = × . 1 1 1×2 1 1 2 2 3 2 3 ∵ × = 2 1 2 1 3 1 - = 3 1 6 3 - 2 6 1 1 1 = . 6 1 ∴ × 2 3 = - 2 3 。 根據(jù)上面分析，兩個(gè)分?jǐn)?shù)的積與這兩個(gè)數(shù)的差可能相等。但這兩個(gè)分?jǐn)?shù) 不是任意的，它們必須符合一定的條件。具體地說(shuō)，就是它們的分子都是 1， 分母分別是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中的一個(gè)。 分析到這里，愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)會(huì)恍然大悟解答例 8 可以

9、找到簡(jiǎn)便方法 了。只要用兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差的形式代入式子里： 同學(xué)們看到這里一定會(huì)高興得跳起來(lái)。這個(gè)方法太巧妙了！ 1 + 1 , 1 1 - + 2 2 3 3 13+13 ? ? 不 是 都 等 于 0 嗎 ？ 最 后 就 只 剩下第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)帶“一”號(hào)的數(shù)，即1 - 1 ，所以立即可以算得結(jié) 100 果 99 。 100 一道復(fù)雜繁難的題目，現(xiàn)在竟不費(fèi)吹灰之力就解決了。所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)， 一定要勤于思考、善于分析。 練習(xí)三 1.101+102+103+104+??+200= 2.1+3+5+7+??+259= 3.

10、52+54+56+??+150= 4.72+74+76+??+200= 5.比 101 小的所有的偶數(shù)的和是多少？ （天津市小學(xué)生紅花獎(jiǎng)競(jìng)賽中年級(jí)試題） 6.全部三位數(shù)的和是多少？ （哈爾濱市第八屆小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 7.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是 231，這三個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)是多少？ （江西省 1990 年“八一杯”小學(xué)數(shù)學(xué)比賽題） 8.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是 2730，這三個(gè)數(shù)分別是多少？ （宜興市 1990 年第五屆小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 9.一個(gè)數(shù)分別與相鄰兩個(gè)偶數(shù)相乘，所得的積相差 50，這個(gè)數(shù)是多少？ （北京市第三屆小學(xué)生“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 1 1 1 1 10. + + + ?? + × = 1×2 1 2×3 3×4 1 199 200 1 11. ×100 101 1 + ×101 102 + ×102 103 + ?? + 199×200