2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)疑難規(guī)律方法學(xué)案 北師大版選修1-1

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1、 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題 1．求參數(shù) 例1　設(shè)曲線y＝f(x)＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a＝________. 解析　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，＝ ＝＝2a＋aΔx，當(dāng)Δx無限趨近于0時，2a＋aΔx無限趨近于2a，即f′(1)＝2a.又由曲線f(x)＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，得2a＝2，即a＝1. 答案　1 2．求傾斜角 例2　求曲線y＝f(x)＝x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角． 分析　要求切線的傾斜角α，先要求切線的斜率k，再根據(jù)斜率

2、k＝tan α，求出傾斜角α. 解　設(shè)曲線y＝f(x)＝x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角為α. ＝ ＝＝(Δx)2－1， 當(dāng)Δx無限趨近于0時，(Δx)2－1無限趨近于－1， 即tan α＝f′(1)＝－1. 因為α∈[0，π)，所以α＝.故切線的傾斜角為. 評注　切線的傾斜角α能通過求切線的斜率得到，在解題過程中，一定要注意切線的傾斜角α的取值范圍． 3．求曲線的切線 例3　求在點P處與曲線y＝x3相切的切線方程． 分析　要求直線在點P處的切線方程，需求得過點P的切線的斜率k，然后根據(jù)點斜式可求得切線方程． 解　因為點P在曲線y＝x3上，Δy＝(2＋Δx)3－×2

3、3＝4Δx＋2(Δx)2＋(Δx)3， 所以＝4＋2Δx＋(Δx)2， 當(dāng)Δx無限趨近于0時， 無限趨近于4，即k＝4. 故所求的切線方程為y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0. 評注　求在點P處與曲線相切的切線方程時，可求出切線的斜率，然后再根據(jù)點斜式求切線方程． 4．求切點的坐標(biāo) 例4　若曲線y＝f(x)＝x3＋1在點P處的切線的斜率為3，求點P的坐標(biāo)． 分析　要求點P的坐標(biāo)，可設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，x＋1)，然后由切線的斜率為3，解方程求得． 解　設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，x＋1)， 因為＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，當(dāng)Δx無限趨近于0時，上式無限趨近于3x，

4、所以3x＝3.解得x0＝±1. 故點P的坐標(biāo)是(1,2)或(－1,0)． 評注　值得注意的是切點P的坐標(biāo)有兩個，部分同學(xué)誤認(rèn)為只有一個而出錯. 2　利用導(dǎo)數(shù)求切線方程 曲線的切線問題是高考的常見題型之一．而導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義為曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，所以利用導(dǎo)數(shù)解決相切問題是常用的方法．下面對“求過一點的切線方程”的題型做以下歸納． 1．已知切點，求曲線的切線方程 此類題只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f′(x)，并代入點斜式方程即可． 例1　曲線f(x)＝x3－3x2＋1在點(1，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝3x－4 B．y＝

5、－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 解析　由f′(x)＝3x2－6x，知在點(1，－1)處的斜率k＝f′(1)＝－3.所以切線方程為y－(－1)＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故選B. 答案　B 2．已知過曲線上一點，求切線方程 過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應(yīng)先設(shè)切點，再求切點，即用待定切點法． 例2　求過曲線f(x)＝x3－2x上的點(1，－1)的切線方程． 解　設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線的斜率為f′(x0)＝3x－2. 所以切線方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)， 即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)． 又知切線過點

6、(1，－1)， 所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)． 解得x0＝1，或x0＝－. 故所求切線方程為y－(1－2)＝(3－2)(x－1)， 或y－(－＋1)＝(－2)(x＋)， 即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0. 點評　可以發(fā)現(xiàn)直線5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)為切點，實際上是經(jīng)過點(1，－1)，且以(－，)為切點的直線．這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切點． 3．已知過曲線外一點，求切線方程 此類題可先設(shè)切點，再求切點，即用待定切點法來求解． 例3　求過點(2,0)且與曲線f(x)＝相切的直線方程． 解　設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線的斜率

7、為f′(x0)＝－. 所以切線方程為y－y0＝－(x－x0)， 即y－＝－(x－x0)． 又已知切線過點(2,0)，把它代入上述方程， 得－＝－(2－x0)． 解得x0＝1，y0＝＝1，即x＋y－2＝0. 點評　點(2,0)實際上是曲線外的一點，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，這充分反映出待定切點法的高效性． 4．求兩條曲線的公切線 例4　已知曲線C1：y＝x2與C2：y＝－x2＋4x－4，直線l與C1，C2都相切，求直線l的方程． 分析　設(shè)出直線與兩條曲線的切點坐標(biāo)，分別求出曲線在切點處的切線方程，再利用兩個方程所表示的直線重合，建立方程組求解． 解　設(shè)l與C1相切

8、于點P(x1，x)，與C2相切于點Q(x2，－x＋4x2－4)．由C1：y＝x2，得y′＝2x， 則與C1相切于點P的切線方程為y－x＝2x1(x－x1)， 即y＝2x1x－x，由C2：y＝－x2＋4x－4，得y′＝－2x＋4， 則與C2相切于點Q的切線方程為 y＝－2(x2－2)x＋x－4. 因為兩切線重合，所以2x1＝－2(x2－2) 且－x＝x－4， 解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0. 所以直線l的方程為y＝0或y＝4x－4. 點評　公切線問題的一般解法是分別求出曲線在切點處的切線方程，再利用兩直線重合的條件建立方程組求解. 　　　　　　　　　　　　　　

9、　　　　　　3　導(dǎo)數(shù)運算中的常見錯誤 1．對f′(x0)與f′(x)理解有誤 例1　已知函數(shù)f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)的值為(　　) A．0 B．－4 C．－2 D．2 錯解　由f(x)＝x2＋2xf′(1)得f(0)＝0. 所以f′(0)＝0.故選A. 錯因分析　解題時沒有弄清導(dǎo)函數(shù)和其在某點處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)時，應(yīng)先求導(dǎo)再求函數(shù)值，同時要注意f′(1)是常數(shù)． 正解　由f(x)＝x2＋2xf′(1)得，f′(x)＝2x＋2f′(1)． 所以f′(1)＝2×1＋2f′(1)．所以f′(1)＝－2. 從而f′(x)＝2x－4.所以

10、f′(0)＝－4.故選B. 2．切點位置的確定有誤 例2　求過點P(1,0)且與曲線f(x)＝x3－x相切的直線的方程． 錯解　由題意知點P(1,0)在曲線上． 因為f′(x)＝3x2－1，所以f′(1)＝2. 所以切線方程為y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 錯因分析　點P(1,0)雖然在曲線上，但不一定是切點，解題時把點P(1,0)當(dāng)作切點顯然是錯誤的．求曲線的切線方程時，應(yīng)注意兩種“說法”：(1)曲線在點P處的切線方程(一定是以點P為切點)；(2)曲線過點P的切線方程(無論點P是否在曲線上，點P都不一定是切點)． 正解　設(shè)切點為(x0，x－x0)， 則過該點的切線

11、方程為y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)． 由切線過點P(1,0)得：0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)， 整理得2x－3x＋1＝0. 即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－. 所以切線方程為2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0. 3．對切線定義的理解有誤 例3　已知曲線C：y＝f(x)＝x3＋，曲線C在點P(2,4)處的切線方程為y＝4x－4，試分析該切線與曲線C是否還有其他公共點？若有，求出公共點的坐標(biāo)；若沒有，說明理由． 錯解　由于直線y＝4x－4與曲線C相切，因此除切點P(2,4)外沒有其他的公共點． 錯因分析　“切線與曲線有唯一公共點”，此說法對圓、橢圓這一類特殊曲線是成立的，但對一般曲線不一定成立． 正解　由消去y整理得： x3－12x＋16＝0，即(x－2)(x2＋2x－8)＝0. 所以(x－2)2(x＋4)＝0，解得x＝2或x＝－4. 所以交點的坐標(biāo)為(2,4)，(－4，－20)， 所以該切線與曲線的公共點除了切點(2,4)外還有點(－4，－20)． 5