2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5

第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課 整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 警示·易錯提醒1柯西不等式的易錯點在應(yīng)用柯西不等式求最值時，易忽視等號成立的條件2排序不等式的易錯點不等式具有傳遞性，但并不是任意兩個不等式比較大小都可以用傳遞性來解決的，由am，bm，推出ab是錯誤的專題一柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式主要有二維形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式，不僅可以用來求最值，還可以用來證明不等式例已知實數(shù)x，y，z滿足x22y23z23，求ux2y3z的最小值和最大值解：因為(x2y3z)2(x·1y·z·)2x2(y)2(z)2·12()2()2(x22y23z2)(123)18.當(dāng)且僅當(dāng)，即xyz時，等號成立所以3x2y3z3，即u的最小值為3，最大值為3.歸納升華柯西不等式可以用來求最值和證明不等式，應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩個適當(dāng)?shù)臄?shù)組，并且要注意等號成立的條件變式訓(xùn)練設(shè)a，b，x，y都是正數(shù)，且xyab，求證：.證明：因為a，b，x，y都大于0，且xyab，由柯西不等式，知(ax)(by)(ab)2.又axby2(ab)0，所以.專題二排序不等式的應(yīng)用1用排序不等式證明不等式的關(guān)鍵是根據(jù)問題的條件和結(jié)論構(gòu)造恰當(dāng)?shù)男蛄?，如何排好這個序列是難點所在2注意等號成立的條件例在ABC中，試證：.證明：不妨設(shè)abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得，又由0bca，0abc，0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)得.由得原不等式成立歸納升華利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組 變式訓(xùn)練已知a，b，cR，求證abc.證明：不妨設(shè)abc0，則有a2b2c2，abacbc.由排序原理，得a2bcab2cabc2a3cb3ac3b.又a3b3c3，且abc，由排序原理，得a3cab3bc3a4b4c4，所以abc.專題三轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在解決問題時，將問題通過變換使之化繁為簡，化難為易的一種解決問題的思想例3求使lg(xy)lg a·對大于1的任意x與y恒成立的a的取值范圍解：因為0，且x1，y1，所以原不等式等價于lg a.令f(x，y)(lg x0，lg y0)因為lg2xlg2y2lg xlg y0，所以01，所以1f(x，y)，即lg a，所以a10.歸納升華解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些直接求解較為困難的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題(相對來說自己較熟悉的問題)，通過求解新問題，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想”本講常見的化歸與轉(zhuǎn)化的問題是通過換元或恒等變形把命題的表達(dá)形式化為柯西不等式或排序不等式的形式變式訓(xùn)練已知|x|1，|y|1，試求xy的最大值解：由柯西不等式，得x y ·1，當(dāng)且僅當(dāng)xy·，即x2y21時，等號成立，所以x y 的最大值為1.4