2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點(diǎn)2 解三角形學(xué)案 文

突破點(diǎn)2解三角形核心知識(shí)提煉提煉1 常見(jiàn)解三角形的題型及解法(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解.提煉2 三角形的常用面積公式設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c ，其面積為S.(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)(2)Sabsin Cbcsin AcasinB.(3)Sr(abc)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑)高考真題回訪回訪1正、余弦定理的應(yīng)用1.(2016·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，c2，cos A，則b()A.BC2D3D由余弦定理得5b242×b×2×，解得b3或b(舍去)，故選D.2(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知C60°，b，c3，則A_.75°如圖，由正弦定理，得，sin B.又c>b，B45°，A180°60°45°75°.3(2016·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.又，b.回訪2三角形的面積問(wèn)題4(2013·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2，B，C，則ABC的面積為()A22 B.1C22 D.1BB，C，ABC.由正弦定理，得，即，c2.SABCbcsin A×2×2sin 1.故選B.回訪3正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用5(2014·全國(guó)卷)如圖2­1，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60°，C點(diǎn)的仰角CAB45°以及MAC75°；從C點(diǎn)測(cè)得MCA60°.已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.圖2­1150根據(jù)圖示，AC100 m.在MAC中，CMA180°75°60°45°.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60°，MN100×150(m)熱點(diǎn)題型1正、余弦定理的應(yīng)用題型分析：利用正、余弦定理解題是歷年高考的熱點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，求解的關(guān)鍵是合理應(yīng)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的互化【例1】在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.(1)證明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tanB. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024038】解 (1)證明：根據(jù)正弦定理，可設(shè)k(k>0)則aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，2分即sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)4分在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C.6分(2)由已知，b2c2a2bc，根據(jù)余弦定理，有cos A，8分所以sin A.9分由(1)知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos B sin B，11分故tan B412分方法指津關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口變式訓(xùn)練1 (1)(2017·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，則B_.法一：由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB.2sin Bcos Bsin(B)sinB.又sin B0，cos B，B.法二：在ABC中，acos Cccos Ab，條件等式變?yōu)?bcos Bb，cos B.又0B，B.(2)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acos Bbcos(BC)0.證明：ABC為等腰三角形；若2(b2c2a2)bc，求cos Bcos C的值解證明：acos Bbcos (BC)0，由正弦定理得sin Acos Bsin Bcos(A)0，即sin Acos Bsin Bcos A0，3分sin(AB)0，ABk，kZ4分A，B是ABC的兩內(nèi)角，AB0，即AB，5分ABC是等腰三角形6分由2(b2c2a2)bc，得，7分由余弦定理得cos A，8分cos Ccos(2A)cos 2A12cos2 A10分AB，cos Bcos A，11分cos Bcos C12分熱點(diǎn)題型2三角形面積的求解問(wèn)題題型分析：三角形面積的計(jì)算及與三角形面積有關(guān)的最值問(wèn)題是解三角形的重要命題點(diǎn)之一，本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解三角形，難度中等【例2】設(shè)f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f0，a1，求ABC面積的最大值【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024039】解 (1)由題意知f(x)sin 2x2分由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ4分所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)；單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)6分(2)由fsin A0，得sin A，7分由題意知A為銳角，所以cos A8分由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，10分即bc2，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立因此bcsin A，所以ABC面積的最大值為12分方法指津1在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為yAsin(x)B(或yAcos(x)B，yAtan(x)B)的形式，進(jìn)而利用函數(shù)ysin x(或ycos x，ytan x)的圖象與性質(zhì)解決問(wèn)題2在三角形中，正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac兩項(xiàng)，二者的關(guān)系a2c2(ac)22ac經(jīng)常用到，有時(shí)還可利用基本不等式求最值變式訓(xùn)練2(2017·深圳二模)已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，2basin Bbcos A，c4.(1)求A；(2)若D是BC的中點(diǎn)，AD，求ABC的面積解 (1)由2basin Bbcos A及正弦定理，又0B，可得2sin Acos A，2分即有sin1，4分0A，A，A，A6分(2)設(shè)BDCDx，則BC2x，由余弦定理得cosBAC，得4x2b24b16.7分ADB180°ADC，cosADBcosADC0，8分由余弦定理得0，得2x2b22.9分聯(lián)立，得b24b120，解得b2(舍負(fù))，11分SABCbcsinBAC×2×4×212分7