7、關系或角的關系.判斷三角形的形狀是高考中考查能力的常見題型，此類題目要求準確地把握三角形的分類，三角形按邊的關系分為等腰三角形和不等邊三角形；三角形按角的關系分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.
判斷三角形的形狀，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關系，用代數方法求解；將已知條件統(tǒng)一化成角的關系，用三角知識求解.
[跟蹤訓練]
2．在△ABC中，若＝，試判斷△ABC的形狀.
【導學號：91432091】
[解] 由已知＝＝＝，
得＝.
可有以下兩種解法．
法一：(利用正弦定理，將邊化角)
由正弦定理得＝，∴＝，
即sin Ccos C＝sin Bcos B，
8、
即sin 2C＝sin 2B.
∵B，C均為△ABC的內角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.
即B＝C或B＋C＝90°.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
法二：(利用余弦定理，將角化邊)
∵＝，
∴由余弦定理得＝，
即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．
∴a2c2－c4＝a2b2－b4，
即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0.
∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，
即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0.
∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，
即b＝c或a2＝b2＋c2.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
9、
正、余弦定理的實際應用
如圖1-2所示，某市郊外景區(qū)內有一條筆直的公路a經過三個景點A、B、C.景區(qū)管委會開發(fā)了風景優(yōu)美的景點D.經測量景點D位于景點A的北偏東30°方向上8 km處，位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75°方向上．已知AB＝5 km.
圖1-2
(1)景區(qū)管委會準備由景點D向景點B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；
(2)求景點C與景點D之間的距離．(結果精確到0.1 km)
(參考數據：＝1.73，sin 75°＝0.97，cos 75°＝0.26，tan 75°＝3.73，sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60
10、，tan 53°＝1.33，sin 38°＝0.62，cos 38°＝0.79，tan 38°＝0.78)
思路探究：(1)以BD為邊的三角形為△ABD和△BCD，在△ABD中，一角和另外兩邊易得，所以可在△ABD中利用余弦定理求解DB.
(2)以CD為邊的兩個三角形中的其他邊不易全部求得，而角的關系易得，考慮應用正弦定理求解．
[解] (1)設BD＝x km，則在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－2×8xcos 30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.因為4＋3>8，應舍去，所以x＝4－3≈3.9，即這條公路的長約為3.9 km.
(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，
11、所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝·sin∠ADB＝＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×≈3.9.故景點C與景點D之間的距離約為3.9 km.
[規(guī)律方法] 正弦定理、余弦定理在實際生活中有著非常廣泛的應用.常用的有測量距離問題，測量高度問題，測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關系)，最后確定用哪個定理轉化，用哪個定理求解，并進行作答，解題時還要注
12、意近似計算的要求.
[跟蹤訓練]
3．如圖1-3，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點A處有一個水聲監(jiān)測點，另兩個監(jiān)測點B，C分別在A的正東方20 km和54 km處．某時刻，監(jiān)測點B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號，8 s后監(jiān)測點A,20 s后監(jiān)測點C相繼收到這一信號，在當時氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.
圖1-3
(1)設A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；
(2)求靜止目標P到海防警戒線a的距離(精確到0.01 km).
【導學號：91432092】
[解] (1)由題意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，
13、
PC－PB＝1.5×20＝30(km)．
∴PB＝x－12，PC＝18＋x.
在△PAB中，AB＝20 km，
cos∠PAB＝＝＝.
同理cos∠PAC＝.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，
∴＝，解得x＝.
(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·＝≈17.71(km)．
所以靜止目標P到海防警戒線a的距離為17.71 km.
與三角形有關的綜合問題
[探究問題]
1．如圖1-4所示，向量與的夾角是∠B嗎？在△ABC中，兩向量·的數量積與余弦定理有怎樣的聯(lián)系？
圖1-4
提示：向量與的夾角是∠B的補
14、角，大小為180°－∠B，
由于·＝||·||cos A＝bccos A.
所以·＝bccos A＝(b2＋c2－a2)，有時直接利用此結論解決與向量數量積有關的解三角形問題．
2．在解三角形的過程中，求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？
提示：用余弦定理可以根據角的余弦值的符號直接判斷是銳角還是鈍角，但計算比較復雜．用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要結合已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般選擇用正弦定理去計算比較小的邊所對的角，避免討論．
在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
15、
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值.
【導學號：91432093】
思路探究：(1)由平面向量的數量積定義及余弦定理，列出關于a，c的方程組即可求解．
(2)由(1)結合正弦定理分別求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．
[解] (1)由·＝2得cacos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.
解得或
因為a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因為a＝b＞c，
16、所以C為銳角，
因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝×＋×＝.
母題探究：1.(變條件，變結論)將本例中的條件“a>c，·＝2，cos B＝，b＝3”變?yōu)椤耙阎猄△ABC＝30且cos A＝”求·的值．
[解] 在△ABC中，cos A＝，
∴A為銳角且sin A＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝bc·＝30.
∴bc＝156.
∴·＝||·||cos A
＝bccos A＝156×＝144.
2．(變條件，變結論)在“母題探究1”中再加上條件“c－b＝1”能否求a的值？
[解] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2×156×＝25，∴a＝＝5.
[規(guī)律方法] 正、余弦定理將三角形中的邊和角關系進行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據，而三角形中的問題常與向量、函數、方程及平面幾何相結合，通?？梢岳谜?、余弦定理完成證明、求值等問題.
(1)解三角形與向量的交匯問題，可以結合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉化求解.
(2)解三角形與其他知識的交匯問題，可以運用三角形的基礎知識、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換，通過等價轉化或構造方程及函數求解.
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2018年秋高中數學 第一章 解三角形 階段復習課 第1課 解三角形學案 新人教A版必修5
