2017-2018版高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 2 充分條件與必要條件學案 北師大版選修2-1

2 充分條件與必要條件學習目標1.理解充分條件、必要條件、充要條件的定義.2.會求某些簡單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件.3.能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進行充要條件的證明.知識點一充分條件與必要條件“若p，則q”形式的命題為真命題是指：由條件p可以得到結(jié)論q，通常記作：pq，讀作“p推出q”.此時我們稱p是q的_條件，同時，我們稱q是p的_條件.若pq，但qp，稱p是q的_條件，若qp，但pq，稱p是q的_條件.知識點二充要條件思考在ABC中，角A、B、C為它的三個內(nèi)角，則“A、B、C成等差數(shù)列”是“B60°”的什么條件？梳理(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq，此時，我們說，p是q的_條件，簡稱充要條件.(2)充要條件的實質(zhì)是原命題“若p，則q”和其逆命題“若q，則p”均為真命題，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果pq，那么p與q互為充要條件.(3)從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件.若AB，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若BA，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若AB，則p，q互為充要條件若AB且BA，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.類型一判斷充分條件、必要條件、充要條件命題角度1在常見數(shù)學問題中的判斷例1下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是矩形；(3)p：x1或x2，q：x1；(4)p：m<1，q：x2xm0無實根；(5)p：ab0，q：直線axbyc0與兩坐標軸都相交.反思與感悟判斷充分條件和必要條件的方法：(1)定義法；(2)等價命題法，原命題與其逆否命題是“同真同假”的等價命題，這一點在充要條件的判斷中經(jīng)常用到；(3)集合法，P是Q的充分不必要條件集合PQ，P是Q的必要不充分條件集合PQ，P是Q的充要條件集合PQ，P是Q的既不充分也不必要條件集合PQ，且PQ；(4)傳遞法，對于較復雜的關(guān)系，常用，等符號進行傳遞，畫出它們的綜合結(jié)構(gòu)圖，可降低解題難度.跟蹤訓練1指出下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：ax2ax1>0的解集是R，q：0<a<4；(2)p：|x2|<3，q：<1；(3)p：ABA，q：ABB；(4)p：q：命題角度2在實際問題中的判斷例2如圖所示的電路圖中，“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的什么條件？反思與感悟“充分”的含義是“有它即可”，“必要”的含義是“無它不可”.用日常生活中的現(xiàn)象來說明“條件”和“結(jié)論”之間的關(guān)系，更容易理解和接受.用“條件”和“結(jié)論”之間的關(guān)系來解釋生活中的現(xiàn)象，更加明白、透徹.跟蹤訓練2俗語云“好人有好報”，“好人”是“有好報”的()A.充分條件 B.必要條件C.既不充分又不必要條件 D.無法判斷類型二充要條件的探求與證明命題角度1充要條件的探求例3求ax22x10至少有一個負實根的充要條件是什么？反思與感悟探求一個命題的充要條件，可以利用定義法進行探求，即分別證明“條件結(jié)論”和“結(jié)論條件”，也可以尋求結(jié)論的等價命題，還可以先尋求結(jié)論成立的必要條件，再證明它也是其充分條件.跟蹤訓練3已知數(shù)列an的前n項和Sn(n1)2t(t為常數(shù))，試問t1是否為數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件？請說明理由.命題角度2充要條件的證明例4已知A，B是直線l上的任意兩點，O是直線l外一點，求證：點P在直線l上的充要條件是xy，其中x，yR，且xy1.反思與感悟證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明，首先分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”“結(jié)論”，必要性需要證明“結(jié)論”“條件”.跟蹤訓練4已知ab0，求證：ab1是a3b3aba2b20的充要條件.類型三利用充分條件、必要條件求參數(shù)的值(或范圍)例5已知函數(shù)f(x)的定義域為A，g(x)lg(xa1)(2ax)(a<1)的定義域為B.(1)求A；(2)記p：xA，q：xB，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.反思與感悟在有些含參數(shù)的充要條件問題中，要注意將條件p和q轉(zhuǎn)化為集合，從而轉(zhuǎn)化為兩集合之間的子集關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為不等式(或方程)，從而求得參數(shù)的取值范圍.根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍的步驟：(1)記集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要條件，則MN，若p是q的必要不充分條件，則NM，若p是q的充要條件，則MN；(3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組)；(4)求出參數(shù)的范圍.跟蹤訓練5設(shè)Ay|y，xR，By|yxm，x1,1，記命題p：“yA”，命題q：“yB”，若p是q的必要不充分條件，則m的取值范圍為_.1.人們常說“無功不受祿”，這句話表明“受祿”是“有功”的()A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2.設(shè)命題p：x23x2<0，q：0，則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.“x24x50”是“x5”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 4.記不等式x2x6<0的解集為集合A，函數(shù)ylg(xa)的定義域為集合B.若“xA”是“xB”的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為_.5.“a0”是“直線l1：x2ay10與l2：2x2ay10平行”的_條件.充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分又不必要條件反映了條件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問題進行判斷時，常采用如下方法：(1)定義法：分清條件p和結(jié)論q，然后判斷“pq”及“qp”的真假，根據(jù)定義下結(jié)論.(2)等價法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個與之等價的又便于判斷真假的命題.(3)集合法：寫出集合Ax|p(x)及集合Bx|q(x)，利用集合之間的包含關(guān)系加以判斷.提醒：完成作業(yè)第一章§2答案精析§2充分條件與必要條件問題導學知識點一充分必要充分不必要必要不充分知識點二思考因為A、B、C成等差數(shù)列，故2BAC，又因為ABC180°，故B60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差數(shù)列”是“B60°”的充分必要條件.梳理(1)充分必要題型探究例1解(1)ab0a2b20；a2b20ab0，p是q的必要不充分條件.(2)四邊形的對角線相等四邊形是矩形；四邊形是矩形四邊形的對角線相等，p是q的必要不充分條件.(3)x1或x2x1；x1x1或x2，p是q的充要條件.(4)若方程x2xm0無實根，則14m<0，即m<.m<1m<；m<m<1，p是q的充分不必要條件.(5)由ab0，即a0且b0，此時直線axbyc0與兩坐標軸都相交；又當axbyc0與兩坐標軸都相交時，a0且b0，即ab0，故p是q的充要條件.跟蹤訓練1解(1)當a0時，1>0滿足題意；當a0時，由可得0<a<4.故p是q的必要不充分條件.(2)易知p：1<x<5，q：1<x<5，所以p是q的充要條件.(3)因為ABAABB，所以p是q的充要條件.(4)由根據(jù)同向不等式相加、相乘的性質(zhì)，有即pq.但比如，當1，5時，而<2，所以qp，所以p是q的充分不必要條件.例2解如圖(1)，閉合開關(guān)A或者閉合開關(guān)C都可能使燈泡B亮.反之，若要燈泡B亮，不一定非要閉合開關(guān)A.因此“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的充分不必要條件.如圖(2)，閉合開關(guān)A而不閉合開關(guān)C，燈泡B不亮.反之，若要燈泡B亮，則開關(guān)A必須閉合，說明“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的必要不充分條件.如圖(3)，閉合開關(guān)A可使燈泡B亮，而燈泡B亮，開關(guān)A一定是閉合的，因此“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的充要條件.如圖(4)，閉合開關(guān)A但不閉合開關(guān)C，燈泡B不亮.反之，燈泡B亮也可不必閉合開關(guān)A，只要閉合開關(guān)C即可，說明“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的既不充分又不必要條件.跟蹤訓練2A例3解(1)當a0時，原方程變?yōu)?x10，即x，符合要求.(2)當a0時，ax22x10為一元二次方程，它有實根的充要條件是0，即44a0，a1.方程ax22x10只有一個負根的充要條件是即a<0.方程ax22x10有兩個負根的充要條件是即0<a1.綜上所述，ax22x10至少有一個負實根的充要條件是a1.跟蹤訓練3解是充要條件.充分性：當t1時，Sn(n1)21n22n.a1S13，當n2時，anSnSn12n1.又a13適合上式，an2n1(nN)，又an1an2(常數(shù))，數(shù)列an是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列.故t1是an為等差數(shù)列的充分條件.必要性：an為等差數(shù)列，則2a2a1a3，解得t1，故t1是an為等差數(shù)列的必要條件.綜上，t1是數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件.例4證明充分性：若點P滿足xy，其中x，yR，且xy1，消去y，得x(1x)x()，x()，即x.點P在直線AB上，即點P在直線l上.必要性：設(shè)點P在直線l上，則由共線向量基本定理知，存在實數(shù)t，使得tt()，tt(1t)t.令1tx，ty，則xy，其中x，yR，且xy1.跟蹤訓練4證明充分性：ab1，b1a，a3b3aba2b2a3(1a)3a(1a)a2(1a)2a313a3a2a3aa2a212aa20，即a3b3aba2b20.必要性：a3b3aba2b20，(ab)(a2abb2)(a2abb2)0，(a2abb2)(ab1)0.ab0，a0且b0，a2abb20.ab10，ab1.綜上可知，當ab0時，ab1是a3b3aba2b20的充要條件.例5解(1)要使f(x)有意義，則3(x2)(2x)0，化簡整理得(x1)(x1)0，解得x1或x1，Ax|x1或x1.(2)要使g(x)有意義，則(xa1)(2ax)>0，即(xa1)(x2a)<0，又a<1，a1>2a，Bx|2a<x<a1.p是q的必要不充分條件，BA，2a1或a11，解得a<1或a2.a的取值范圍為(，2，1).跟蹤訓練5(，)當堂訓練1.A2.A3.B 4.(，35.充要9