2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 2 充分條件與必要條件學(xué)案 北師大版選修2-1

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1、2 充分條件與必要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解充分條件、必要條件、充要條件的定義.2.會(huì)求某些簡(jiǎn)單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件.3.能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明.知識(shí)點(diǎn)一充分條件與必要條件“若p，則q”形式的命題為真命題是指：由條件p可以得到結(jié)論q，通常記作：pq，讀作“p推出q”.此時(shí)我們稱p是q的_條件，同時(shí)，我們稱q是p的_條件.若pq，但qp，稱p是q的_條件，若qp，但pq，稱p是q的_條件.知識(shí)點(diǎn)二充要條件思考在ABC中，角A、B、C為它的三個(gè)內(nèi)角，則“A、B、C成等差數(shù)列”是“B60”的什么條件？梳理(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq，此

2、時(shí)，我們說，p是q的_條件，簡(jiǎn)稱充要條件.(2)充要條件的實(shí)質(zhì)是原命題“若p，則q”和其逆命題“若q，則p”均為真命題，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果pq，那么p與q互為充要條件.(3)從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件.若AB，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若BA，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若AB，則p，q互為充要條件若AB且BA，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.類型一判斷充分條件、必要條件、充要條件命題角度1在常見數(shù)學(xué)問題中的判斷例1下列各題中，p是

3、q的什么條件？(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：四邊形的對(duì)角線相等，q：四邊形是矩形；(3)p：x1或x2，q：x1；(4)p：m0的解集是R，q：0a4；(2)p：|x2|3，q：1；(3)p：ABA，q：ABB；(4)p：q：命題角度2在實(shí)際問題中的判斷例2如圖所示的電路圖中，“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的什么條件？反思與感悟“充分”的含義是“有它即可”，“必要”的含義是“無(wú)它不可”.用日常生活中的現(xiàn)象來(lái)說明“條件”和“結(jié)論”之間的關(guān)系，更容易理解和接受.用“條件”和“結(jié)論”之間的關(guān)系來(lái)解釋生活中的現(xiàn)象，更加明白、透徹.跟蹤訓(xùn)練2俗語(yǔ)云“好人有好報(bào)”，“好人”是“有好報(bào)”的()A

4、.充分條件 B.必要條件C.既不充分又不必要條件 D.無(wú)法判斷類型二充要條件的探求與證明命題角度1充要條件的探求例3求ax22x10至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是什么？反思與感悟探求一個(gè)命題的充要條件，可以利用定義法進(jìn)行探求，即分別證明“條件結(jié)論”和“結(jié)論條件”，也可以尋求結(jié)論的等價(jià)命題，還可以先尋求結(jié)論成立的必要條件，再證明它也是其充分條件.跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(n1)2t(t為常數(shù))，試問t1是否為數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件？請(qǐng)說明理由.命題角度2充要條件的證明例4已知A，B是直線l上的任意兩點(diǎn)，O是直線l外一點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在直線l上的充要條件是xy，其中x，yR，且xy1

5、.反思與感悟證明充要條件時(shí)要從充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明，首先分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”“結(jié)論”，必要性需要證明“結(jié)論”“條件”.跟蹤訓(xùn)練4已知ab0，求證：ab1是a3b3aba2b20的充要條件.類型三利用充分條件、必要條件求參數(shù)的值(或范圍)例5已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，g(x)lg(xa1)(2ax)(a1)的定義域?yàn)锽.(1)求A；(2)記p：xA，q：xB，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.反思與感悟在有些含參數(shù)的充要條件問題中，要注意將條件p和q轉(zhuǎn)化為集合，從而轉(zhuǎn)化為兩集合之間的子集關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為不等式(或方程)，從

6、而求得參數(shù)的取值范圍.根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍的步驟：(1)記集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要條件，則MN，若p是q的必要不充分條件，則NM，若p是q的充要條件，則MN；(3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組)；(4)求出參數(shù)的范圍.跟蹤訓(xùn)練5設(shè)Ay|y，xR，By|yxm，x1,1，記命題p：“yA”，命題q：“yB”，若p是q的必要不充分條件，則m的取值范圍為_.1.人們常說“無(wú)功不受祿”，這句話表明“受祿”是“有功”的()A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2.設(shè)命題p：x23x20，q：0，則p是q的()A.充分不必要條件 B

7、.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.“x24x50”是“x5”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 4.記不等式x2x60的解集為集合A，函數(shù)ylg(xa)的定義域?yàn)榧螧.若“xA”是“xB”的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.5.“a0”是“直線l1：x2ay10與l2：2x2ay10平行”的_條件.充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分又不必要條件反映了條件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問題進(jìn)行判斷時(shí)，常采用如下方法：(1)定義法：分清條件p和結(jié)論q，然后判斷“pq”及“qp”的真假，根據(jù)定義下結(jié)論.(

8、2)等價(jià)法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與之等價(jià)的又便于判斷真假的命題.(3)集合法：寫出集合Ax|p(x)及集合Bx|q(x)，利用集合之間的包含關(guān)系加以判斷.提醒：完成作業(yè)第一章2答案精析2充分條件與必要條件問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一充分必要充分不必要必要不充分知識(shí)點(diǎn)二思考因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，故2BAC，又因?yàn)锳BC180，故B60，反之，亦成立，故“A、B、C成等差數(shù)列”是“B60”的充分必要條件.梳理(1)充分必要題型探究例1解(1)ab0a2b20；a2b20ab0，p是q的必要不充分條件.(2)四邊形的對(duì)角線相等四邊形是矩形；四邊形是矩形四邊形的對(duì)角線相等，p是q的必要不充分條件.(3)x1或x

9、2x1；x1x1或x2，p是q的充要條件.(4)若方程x2xm0無(wú)實(shí)根，則14m0，即m.m1m；mm0滿足題意；當(dāng)a0時(shí)，由可得0a4.故p是q的必要不充分條件.(2)易知p：1x5，q：1x5，所以p是q的充要條件.(3)因?yàn)锳BAABB，所以p是q的充要條件.(4)由根據(jù)同向不等式相加、相乘的性質(zhì)，有即pq.但比如，當(dāng)1，5時(shí)，而2，所以qp，所以p是q的充分不必要條件.例2解如圖(1)，閉合開關(guān)A或者閉合開關(guān)C都可能使燈泡B亮.反之，若要燈泡B亮，不一定非要閉合開關(guān)A.因此“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的充分不必要條件.如圖(2)，閉合開關(guān)A而不閉合開關(guān)C，燈泡B不亮.反之，若要燈泡B亮

10、，則開關(guān)A必須閉合，說明“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的必要不充分條件.如圖(3)，閉合開關(guān)A可使燈泡B亮，而燈泡B亮，開關(guān)A一定是閉合的，因此“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的充要條件.如圖(4)，閉合開關(guān)A但不閉合開關(guān)C，燈泡B不亮.反之，燈泡B亮也可不必閉合開關(guān)A，只要閉合開關(guān)C即可，說明“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的既不充分又不必要條件.跟蹤訓(xùn)練2A例3解(1)當(dāng)a0時(shí)，原方程變?yōu)?x10，即x，符合要求.(2)當(dāng)a0時(shí)，ax22x10為一元二次方程，它有實(shí)根的充要條件是0，即44a0，a1.方程ax22x10只有一個(gè)負(fù)根的充要條件是即a0.方程ax22x10有兩個(gè)負(fù)根的充要條件是即00，即(xa1)(x2a)0，又a2a，Bx|2axa1.p是q的必要不充分條件，BA，2a1或a11，解得a1或a2.a的取值范圍為(，2，1).跟蹤訓(xùn)練5(，)當(dāng)堂訓(xùn)練1.A2.A3.B 4.(，35.充要9