2018年高考數(shù)學(xué) 專題11 空間中的平行與垂直教學(xué)案 文

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1、 專題11 空間中的平行與垂直 【2018年高考考綱解讀】 高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有： (1)主要考查空間概念，空間想象能力，點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷，表面積與體積計(jì)算等，A級(jí)要求 (2)主要考查線線、線面、面面平行與垂直的證明，B級(jí)要求 【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì) (1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2．平行關(guān)系的

2、轉(zhuǎn)化 兩平面平行問題常?？梢赞D(zhuǎn)化為直線與平面的平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以下為三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖． 3．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 4．垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化類似，它們之間的轉(zhuǎn)化如下示意圖． 在垂直的相關(guān)定理中，要特別注意記憶面面垂直的性質(zhì)定理：兩

3、個(gè)平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個(gè)平面，當(dāng)題目中有面面垂直的條件時(shí)，一般都要用此定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 【題型示例】 題型一　空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖 例1. 【2017課標(biāo)II，文6】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為 A. B. C. D. 【答案】B 【變式探究】(2015·北京，7)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為(　　) A.1 B. C. D.2

4、解析　四棱錐的直觀圖如圖所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四邊形ABCD為正方形且邊長(zhǎng)為1，最長(zhǎng)棱長(zhǎng)PA＝＝. 答案　C 【變式探究】(2015·重慶，5)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A.＋2π B. C. D. 解析　該幾何體由一個(gè)圓柱和一個(gè)從軸截面截開的“半圓錐”組成，其體積為V＝π×12×2＋×π×12×1＝2π＋＝. 答案　B 題型二　空間幾何體的表面積 例2. 【2017課標(biāo)1，文16】已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SC

5、B，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 【答案】 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，11)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析　由題意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，∴r＝2. 答案　B 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國Ⅱ，10)已知A，B是球O的球

6、面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A.36π B.64π C.144π D.256π 答案　C 3.(2015·安徽，9)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　) A.1＋ B.1＋2 C.2＋ D.2 解析　由幾何體的三視圖可知空間幾何體的直觀圖如圖所示. ∴其表面積S表＝2××2×1＋2××()2＝2＋，故選C. 答案　C 題型三　幾何體的體積 例3. 【201

7、7山東，文13】由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為 . 【答案】 【變式探究】【2017江蘇，6】 如圖,在圓柱內(nèi)有一個(gè)球,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是 ▲ . O O1 O2 (第6題) 【答案】 【解析】設(shè)球半徑為，則．故答案為． 【變式探究】(2016·全國卷Ⅲ)如圖，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)． (1)證明：MN∥平面PAB

8、； (2)求四面體N-BCM的體積． 如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE. 由AB＝AC＝3 得AE⊥BC，AE＝＝. 由AM∥BC得M到BC的距離為， 故S△BCM＝×4×＝2. 所以四面體NBCM的體積 VNBCM＝·S△BCM·＝. 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，6)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓

9、周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 答案　B 【變式探究】(2015·山東，9)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A. B. C.2π D.4π 解析　如圖，設(shè)等腰直角三角形為△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，則AB＝2. 設(shè)D為AB中點(diǎn)，則BD＝AD＝CD＝. ∴所圍成的幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，其體積V＝2××π×

10、()2×＝. 答案　B 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國Ⅱ，19)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形. (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值. 題型四 空間中的平行與垂直 例4、(2017·全國卷Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)證明：直線BC∥平面PAD

11、； (2)若△PCD的面積為2，求四棱錐P-ABCD的體積． (1)證明：在底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°. 所以BC∥AD，(1分) 【舉一反三】【2017山東，文18】（本小題滿分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1- B1CD1后得到的幾何體如圖所示,四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD 的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E平面ABCD, （Ⅰ）證明：∥平面B1CD1; （Ⅱ）設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明：平面A1EM平面B1CD1. 【答案】①證明見解析.②證明見解析. 【解析】 證明： （2）因?yàn)?,E,M分別為AD和OD的中點(diǎn)，

12、 所以, 又 面， 所以 因?yàn)? 所以 又 A1E, EM 所以平面平面， 所以 平面平面 【變式探究】(2016·北京卷)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(導(dǎo)學(xué)號(hào) 55410121) (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？說明理由． 【變式探究】(2015·湖南，18)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn). (1)證明：平面AEF⊥平面B1BCC1； (2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐FAEC的體積. (1)證明　 ∵△ABC為正三角形，E為BC中點(diǎn)， ∴AE⊥BC， ∴又B1B⊥平面ABC，AE?平面ABC， 12