2019-2020學年高中數(shù)學 第2章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)學案 新人教A版必修2

《2019-2020學年高中數(shù)學 第2章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)學案 新人教A版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學年高中數(shù)學 第2章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)學案 新人教A版必修2（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3.3　直線與平面垂直的性質(zhì)2.3.4　平面與平面垂直的性質(zhì) 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1. 理解直線和平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理．(重點) 2.能應用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理證明相關(guān)問題．(重點、難點) 3.理解平行與垂直之間的相互轉(zhuǎn)化．(易錯點) 1.通過學習直線與平面垂直的性質(zhì)，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng). 2.通過學習平面與平面垂直的性質(zhì)，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算的數(shù)學素養(yǎng). 1．直線與平面垂直的性質(zhì)定理 文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行 符號語言 ?a∥b 圖形語言

2、 作用 ①線面垂直?線線平行②作平行線 思考：過一點有幾條直線與已知平面垂直？ [提示]　有且僅有一條．假設(shè)過一點有兩條直線與已知平面垂直，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得這兩條直線平行，應無公共點，這與過同一點相矛盾，故只有一條直線． 2．平面與平面垂直的性質(zhì)定理 文字語言 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直 符號語言 ?a⊥β 圖形語言 作用 ①面面垂直?線面垂直 ②作面的垂線 思考：如果α⊥β，則α內(nèi)的直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線嗎？ [提示]　正確．若設(shè)α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，則a⊥b，故β內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于

3、α內(nèi)的任意直線． 1．直線n⊥平面α，n∥l，直線m?α，則l、m的位置關(guān)系是(　　) A．相交　　　B．異面　　　C．平行　　　D．垂直 D　[由題意可知l⊥α，所以l⊥m.] 2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則(　　) A．α∥γ B．α⊥γ C．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能 D　[可能平行，也可能相交．如圖，α與δ平行，α與γ垂直．] 3．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是(　　) A．b∥α B．b?α C．b⊥α D．b與α相交 C　[由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當b⊥α，a⊥α時，a∥b.] 4

4、．平面α⊥平面β，直線l?α，直線m?β，則直線l，m的位置關(guān)系是________． 相交、平行或異面　[根據(jù)題意，l，m可能相交、平行或異面．] 線面垂直性質(zhì)定理的應用 【例1】　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC. 求證：MN∥AD1. [證明]　因為四邊形ADD1A1為正方形， 所以AD1⊥A1D. 又因為CD⊥平面ADD1A1， 所以CD⊥AD1. 因為A1D∩CD＝D， 所以AD1⊥平面A1DC. 又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1. 證明線線平行常用如下方法：

5、 (1)利用線線平行定義：證共面且無公共點； (2)利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線； (3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行； (4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直； (5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行. 1．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l. [證明]　因為EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B，

6、 所以a⊥平面EAB. 由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l. 面面垂直性質(zhì)定理的應用 【例2】　如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求證：BC⊥AB. [證明]　如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC?平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB?平面PAB，∴BC⊥AB. 1．證明或判定線面垂直的常用方法：

7、(1)線面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性質(zhì)定理； (3)若a∥b，a⊥α，則b⊥α(a、b為直線，α為平面)； (4)若a⊥α，α∥β，則a⊥β(a為直線，α，β為平面)； 2．兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，方法是在其中一個面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線． 2．如圖，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD. 求證：平面VBC⊥平面VAC. [證明]　∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB，面VAB∩面ABCD＝AB，BC?平面ABCD. ∴BC⊥面VAB， 又VA?平面VAB，∴BC⊥VA， 又V

8、B⊥面VAD，∴VB⊥VA， 又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC， ∵VA?面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC. 線線、線面、面面垂直的綜合應用 [探究問題] 試總結(jié)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系． [提示]　垂直問題轉(zhuǎn)化關(guān)系如下所示： 【例3】　如圖所示，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，求證：(1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA. 思路探究：(1)設(shè)出BD，分別求出DE、DA的長度或證明DM⊥AE，即證DM為AE的中垂線即可．(2)(3)只需證明DM

9、⊥平面ECA即可． [證明]　(1)設(shè)BD＝a，如圖，作DF∥BC交CE于F， 則CF＝DB＝a.因為CE⊥平面ABC， 所以BC⊥CF，DF⊥EC， 所以DE＝＝a. 又因為DB⊥平面ABC， 所以DA＝＝a， 所以DE＝DA. (2)取CA的中點N，連接MN，BN，則MNCEDB. 所以四邊形MNBD為平行四邊形，所以MD∥BN. 又因為EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD. 又DE＝DA，M為EA的中點，所以DM⊥AE. 所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA. (3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM?平面DEA， 所以平面DEA⊥平

10、面ECA. 　本例條件不變，試求平面ADE與平面ABC所成二面角的大?。? [解]　如圖延長ED交CB延長線于點N，連接AN，設(shè)BD＝a，由例題知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a， 在△CEN中，由＝知B為CN中點， ∴CB＝BN＝2a. ∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°， ∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA. 又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C， ∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC， 且AN為平面ADE與平面ABC的交線． ∴∠CAE為平面ADE與平面ABC所成二面角的平面角， 在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠C

11、AE＝45°. 所以平面ADE與平面ABC所成二面角為45°. 垂直關(guān)系的互化及解題策略： 空間問題化成平面問題是解決立體幾何問題的一個基本原則，解題時，要抓住幾何圖形自身的特點，如等腰(邊)三角形的三線合一、中位線定理、菱形的對角線互相垂直等.還可以通過解三角形，產(chǎn)生一些題目所需要的條件，對于一些較復雜的問題，注意應用轉(zhuǎn)化思想解決問題. 1．線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)． 2．面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學中的化歸轉(zhuǎn)化思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：

12、 1．直線a與直線b垂直，直線b⊥平面α，則直線a與平面α的位置關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)⊥α　　　 B．a(chǎn)∥α C．a(chǎn)?α D．a(chǎn)?α或a∥α D　[a⊥b，b⊥α，則a∥α或a?α. 選D.] 2．已知l⊥平面α，直線m?平面β.有下面四個命題： ①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β. 其中正確的兩個命題是(　　) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ D　[∵l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，∵m?β，∴l(xiāng)⊥m，故①正確；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m?β，∴α⊥β，故③正確．] 3．如圖所示，三棱錐P-ABC中，平

13、面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，則(　　) A．PD?平面ABC B．PD⊥平面ABC C．PD與平面ABC相交但不垂直 D．PD∥平面ABC B　[∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.] 4．如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC⊥底面ABCD，求證：平面SCD⊥平面SBC. [證明]　因為底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD. 又平面SDC⊥平面ABCD， 平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面SCD. 又因為BC?平面SBC. 所以平面SCD⊥平面SBC. - 8 -