2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 推理與證明章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 北師大版選修2-2

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1、第1章 推理與證明 歸納推理 【例1】　(1)觀察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……，由此可歸納出的式子為(　　) A．1＋＋＋…＋< B．1＋＋＋…＋< C．1＋＋＋…＋< D．1＋＋＋…＋< (2)兩點等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α＋sin(π＋α)＝0；三點等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin α＋sin＋sin＝0，由此可以推知，四點等分單位圓時的相應(yīng)正確關(guān)系為__________． 思路探究：(1)觀察各式特點，找準(zhǔn)相關(guān)點，歸納即得． (2)觀察各角的正弦值之間的關(guān)系得出結(jié)論． (1)C　(2)sin α＋sin＋sin(α＋π

2、)＋sin＝0　[(1)由各式特點，可得1＋＋＋…＋<.故選C. (2)用兩點等分單位圓時，關(guān)系為sin α＋sin(π＋α)＝0，兩個角的正弦值之和為0，且第一個角為α，第二個角與第一個角的差為(π＋α)－α＝π， 用三點等分單位圓時，關(guān)系為sin α＋sin＋sin＝0，此時三個角的正弦值之和為0，且第一個角為α，第二個角與第一個角的差與第三個角與第二個角的差相等，即有－＝－α＝. 依此類推，可得當(dāng)四點等分單位圓時，為四個角正弦值之和為0，且第一個角為α，第二個角為＋α＝＋α，第三個角為＋α＋＝π＋α，第四個角為π＋α＋＝＋α，即其關(guān)系為sin α＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝

3、0.] 歸納推理的特點及一般步驟 1．已知函數(shù)y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是，則 (1)函數(shù)y＝sin6 x＋cos6x(x∈R)的值域是__________； (2)類比上述結(jié)論，函數(shù)y＝sin2n x＋cos2nx(n∈N＋)的值域是__________． (1)　(2)[21－n,1]　[(1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2 xcos2 x＋cos4 x)＝sin4x－sin2xcos2 x＋cos4x＝(sin2 x＋cos2 x)2－3sin2xcos2x＝1－sin2(2x)＝1－(1－cos 4

4、x) ＝＋cos 4x∈. (2)由類比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n,1]．] 類比推理 【例2】　類比三角形內(nèi)角平分線定理：設(shè)△ABC的內(nèi)角A的平分線交BC于點M，則＝.若在四面體P-ABC中，二面角B-PA-C的平分面PAD交BC于點D，你可得到什么結(jié)論？并加以證明． 思路探究：此題是平面圖形與立體圖形作類比，因為平面圖形中得出的結(jié)論是線段的比，所以立體圖形中可想到面積的比． [解]　畫出相應(yīng)圖形，如圖所示．由題意類比推理所探索結(jié)論為＝. 證明如下： 由于平面PAD是二面角B-PA-C的平分面，所以點D到平面BPA與它到平面CPA的距離相等

5、． 所以＝. ① 又因為＝＝， ② 由①②知＝成立． 類比推理的特點及一般步驟 2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則cos2A＋cos2B＝1，則在立體幾何中，給出四面體相應(yīng)結(jié)論的猜想． [解]　直角三角形類比三個側(cè)面兩兩垂直的四面體； 直角三角形的兩個銳角類比上述四面體的三個側(cè)面與底面所成的角，分別設(shè)為α，β，γ； 類比直角三角形中相應(yīng)的結(jié)論猜想cos2 α＋cos2 β＋cos2 γ＝1． 綜合法與分析法 【例3】　設(shè)a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8.試用綜合法和分析法分別證明． 思路探究：(1)綜合法：根據(jù)a＋b＝1，分別求＋與的

6、最小值． (2)分析法：把變形為＝＋求證． [證明]　法一：(綜合法) ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4. 又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4， ∴＋＋≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立)． 法二：(分析法) ∵a>0，b>0，a＋b＝1， 要證＋＋≥8， 只要證＋≥8， 只要證＋≥8， 即證＋≥4， 也就是證＋≥4， 即證＋≥2， 由基本不等式可知，當(dāng)a>0，b>0時， ＋≥2成立，所以原不等式成立． 分析法和綜合法的證明特點 1．綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問題的常用的方法，綜合法是由因?qū)Ч?/p>

7、的思維方式，而分析法的思路恰恰相反，它是執(zhí)果索因的思維方式． 2．分析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法．分析法是倒溯，綜合法是順推，二者各有優(yōu)缺點．分析法容易探路，且探路與表述合一，缺點是表述易錯；綜合法條理清晰，易于表述，因此對于難題常把二者交互運用，互補優(yōu)缺，形成分析綜合法，其邏輯基礎(chǔ)是充分條件與必要條件． 3．(1)已知a，b，c為互不相等的非負(fù)數(shù)， 求證：a2＋b2＋c2>(＋＋)． (2)用分析法證明：2cos(α－β)－＝. [證明]　(1)因為a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， 又因為a，b，c為互不相等的非負(fù)數(shù)， 所以上面三

8、個式子中都不能取“＝”， 所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac， 因為ab＋bc≥2，bc＋ac≥2， ab＋ac≥2， 又a，b，c為互不相等的非負(fù)數(shù)， 所以ab＋bc＋ac>(＋＋)， 所以a2＋b2＋c2>(＋＋)． (2)要證原等式成立，只需證： 2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因為①左邊＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α] ＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β＝右邊， 所以①成立，即

9、原等式成立. 反證法 【例4】　設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列． (1)推導(dǎo){an}的前n項和公式； (2)設(shè)q≠1，證明：數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列． 思路探究：(1)利用等比數(shù)列的概念及通項公式推導(dǎo)前n項和公式；(2)利用反證法證明要證的結(jié)論． [解]　(1)設(shè){an}的前n項和為Sn， 當(dāng)q＝1時，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 當(dāng)q≠1時，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn， ② ①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴Sn＝，∴Sn＝ (2)證明：假設(shè){an＋1}是等比數(shù)列，則對任意

10、的k∈N＋， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1， ∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1． ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0， ∴q＝1，這與已知矛盾． ∴假設(shè)不成立，故{an＋1}不是等比數(shù)列． 反證法證題思路 反證法是間接證明的一種基本方法，用反證法證明時，假定原結(jié)論的對立面為真，從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論．反證法的思路：反設(shè)→歸謬→結(jié)論． 4．

11、已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖像與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且00. (1)證明：是f(x)＝0的一個根； (2)試比較與c的大?。? [解]　(1)證明：∵f(x)的圖像與x軸有兩個不同的交點， ∴f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2． ∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根． 又x1x2＝， ∴x2＝， ∴是f(x)＝0的一個根． (2)假設(shè)0， 由00， 知f>0與f＝0矛盾， ∴≥c.又∵≠c，∴>c. 數(shù)學(xué)歸納法 【例5】　已知正數(shù)數(shù)列{an}(n∈N＋)中，前

12、n項和為Sn，且2Sn＝an＋，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＝－. [證明]　(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝， 所以a＝1(an>0)，所以a1＝1，又－＝1， 所以n＝1時，結(jié)論成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，結(jié)論成立，即ak＝－. 當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝－ ＝－ ＝－， 所以a＋2ak＋1－1＝0， 解得ak＋1＝－(an>0)，所以n＝k＋1時，結(jié)論成立． 由(1)(2)可知，對n∈N＋都有an＝－. 數(shù)學(xué)歸納法使用的兩個關(guān)注點 關(guān)注點一：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是數(shù)學(xué)歸納法的常見題型，其關(guān)鍵點在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)

13、成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少． 關(guān)注點二：由n＝k到n＝k＋1時，除等式兩邊變化的項外還要利用n＝k時的式子，即利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明． 5．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝(n∈N＋)，a2＝2． (1)求a1，a3； (2)猜想{an}的通項公式，并證明． [解]　(1)由Sn＝，得a1＝1，又由a2＝2，得a3＝3. (2)猜想：an＝n. 證明如下：①當(dāng)n＝1時，猜想成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時，猜想成立，即ak＝k， 那么當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝－ ＝－. 所以ak＋1＝k＋1， 所以當(dāng)n＝k＋1時，猜想也成立． 根據(jù)①②知，對任意n∈N＋，都有an＝n. - 8 -