2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)案 文 北師大版

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1、 第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 [考綱傳真]　1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第72頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))． (2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中插入一個(gè)數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列

2、，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，＝，G2＝ab，G＝±，那么G叫作a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝aB． 2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1. (2)前n項(xiàng)和公式： Sn＝ 3．等比數(shù)列的性質(zhì) 已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和． (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則有ak·al＝am·an. (2)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性： 當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列； 當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，數(shù)列{an}是遞

3、減數(shù)列； 當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{an}是常數(shù)列． (3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm. (4)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn. [知識(shí)拓展] 1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件． 2．若q≠0，q≠1，則Sn＝k－kqn(k≠0)是數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)k＝. [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)

4、列{an}為等比數(shù)列．(　　) (2)G為a，b的等比中項(xiàng)?G2＝aB．(　　) (3)若{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　　) (4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(2018·廣州模擬)已知等比數(shù)列{an}的公比為－，則的值是(　　) A．－2　　　　 B．－　　　　 C．　　　　 D．2 A　[＝＝－2.] 3．(2017·東北三省四市一聯(lián))等比數(shù)列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，則a6＝ (　　) 【導(dǎo)學(xué)

5、號(hào)：00090168】 A．64 B．128 C．256 D．512 A　[設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q， 則由 解得或(舍去)， 所以a6＝a1q5＝64，故選A．] 4．(教材改編)在9與243中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為__________． 27,81　[設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的兩個(gè)數(shù)分別為9×3＝27,27×3＝81.] 5．(2018·長(zhǎng)春模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝______

6、____. 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． 又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第72頁) 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 　(1)(2018·合肥模擬)已知Sn是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a2·a4＝16，S3＝7，則a8＝(　　) A．32　　　　 B．64　　　　 C．128　　　　 D．256 (2)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于__________． (1)C　(2)2n－1　[(1)∵{an}為等比數(shù)

7、列，a2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0， ∴q＝－或q＝2.∵an>0，∴q＝2， 則a1＝1，∴a8＝27＝128. (2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則有 解得或 又{an}為遞增數(shù)列，∴∴Sn＝＝2n－1.] [規(guī)律方法]　1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用． 2．在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，在運(yùn)算過程中，應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算． [變式訓(xùn)練1

8、]　(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項(xiàng)和S3＝21，則公比q的值為 (　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若27a3－a6＝0，則＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090169】 (1)C　(2)28　[(1)根據(jù)已知條件得 ②÷①得＝3. 整理得2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. (2)由題可知{an}為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.] 等比數(shù)列

9、的判定與證明 　(2016·全國卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2)若S5＝，求λ. [解]　(1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 2分 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 3分 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 5分 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{(lán)an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 于是an＝n－1. 7分 (2)由(1)得Sn＝1－n. 9分 由S5＝得1－5＝，

10、即5＝. 10分 解得λ＝－1. 12分 [規(guī)律方法]　等比數(shù)列的判定方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． (2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． 說明：前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后者常用于選擇題、填空題中的判定． [變式訓(xùn)練2]　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－ an－1(n≥2)，且an＋

11、Sn＝n. (1)設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)證明：∵an＋Sn＝n， ① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1， ∴2(an＋1－1)＝an－1，即2cn＋1＝cn. 3分 由a1＋S1＝1得a1＝，∴c1＝a1－1＝－， 從而cn≠0，∴＝. ∴數(shù)列{cn}是以－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. 6分 (2)由(1)知cn＝－×n－1＝－n， 7分 又cn＝an－1，∴an＝cn＋1＝1－n， 9分 ∴當(dāng)n≥2時(shí)，

12、 bn＝an－an－1＝1－n－＝n. 又b1＝a1＝，適合上式，故bn＝n.12分 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 　(1)(2016·安徽六安一中綜合訓(xùn)練)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若 am＋1·am－1＝2am(m≥2)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，若T2m－1＝512，則m的值為(　　) A．4　　　 　 B．5　　　 　 C．6　　　 　 D．7 (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝3，則＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090170】 A．2 B． C． D．3 (1)B　(2)B　[(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知am＋1·am－1

13、＝a＝2am(m≥2)，所以am＝2，即數(shù)列{an}為常數(shù)列，an＝ 2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5，故選B． (2)法一：由等比數(shù)列的性質(zhì)及題意，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比數(shù)列，由已知得S6＝3S3，∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝. 法二：＝1＋＝1＋q3＝3，所以q3＝2. 則＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度． 2．等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的

14、變形；二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形．根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． [變式訓(xùn)練3]　(1)(2017·合肥三次質(zhì)檢)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1 008·a1 009＝，則lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝(　　) A．2 015 B．2 016 C．－2 015 D．－2 016 (2)(2018·湖北六校聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，則Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a等于(　　) A．(2n－1) B．(1－24n) C．(4n－1) D．(1－2n) (1)D　(2)B　[(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝lg a1a2…a2 016＝lg(a1 008·a1 009)1 008＝lg1 008＝lg1 008＝－2 016，故選D． (2)在數(shù)列{an}中，由a1＝1，an＋1＝2an，可得an＝2n－1， 則Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a ＝1－4＋16－64＋…＋42n－2－42n－1 ＝＝(1－42n)＝(1－24n)．] 7