2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理與概率 第55講 排列與組合學(xué)案

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1、 第55講　排列與組合 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.理解排列、組合的概念． 2．能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式． 3．能用排列與組合解決簡單的實際問題. 2017·全國卷Ⅱ，6 2017·浙江卷，16 2016·全國卷Ⅲ，12 2016·四川卷，4 兩個計數(shù)原理與排列、組合的綜合問題是高考的熱點，以考查基本概念、基本方法(如“含”“不含”問題、相鄰問題、相間問題)為主，主要考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、補集思想和邏輯思維能力. 分值：5分 1．排列與組合的概念 名稱 定義 排列 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照_

2、_一定的順序__排成一列 組合 合成一組 2．排列數(shù)與組合數(shù) (1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用__A__表示． (2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的__所有不同組合__的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用__C__表示． 3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì) 公式 A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__＝， C＝＝____＝ 性質(zhì) 0?。絖_1__，A＝__n！__， C＝C，C＝__C＋C__ 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“

3、×”)． (1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．(　×　) (2)A＝n(n－1)(n－2)×…×(n－m)．(　×　) (3)若組合式C＝C，則x＝m成立．(　×　) (4)排列定義規(guī)定給出的n個元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情況．也就是說，如果某個元素已被取出，則這個元素就不再取了．(　√　) (5)C＋C＋C＋…＋C＝C.(　√　) 2．用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為(　C　) A．8　　 B．24　　 C．48　　 D．120 解析 C×A＝2×4×3×2＝48. 3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須

4、在A的右側(cè)(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有(　B　) A．24種　　 B．60種　　 C．90種　　 D．120種 解析 可先排C，D，E三人，共有A種，剩余A，B兩人只有一種排法．故滿足條件的排法共有A×1＝60種． 4．方程3A＝2A＋6A的解為__5__. 解析 由排列數(shù)公式可知 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， ∵x≥3且x∈N，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)， 即3x2－17x＋10＝0，(3x－2)(x－5)＝0，∴x＝5. 5．已知－＝，則C＝__28__. 解析 由已知得m的取值范圍為{m|0≤m≤5

5、，m∈Z}， －＝， 整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2. 故C＝C＝28. 一　排列問題 (1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法． (2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法． 【例1】 (1)3名男生，4名女生，選其中5人排成一排，則有__2_520__種不同的排法． (2)將某大學(xué)4名大四學(xué)生安排到某城市的甲、乙、丙、丁四所中學(xué)

6、進行教學(xué)實習(xí)，要求每所學(xué)校都分一名學(xué)生，且學(xué)生A不分到甲校，則不同的實習(xí)安排方案共有__18__種． 解析 (1)問題即為從7個元素中選出5個全排出， 有A＝2 520種排法． (2)先將A分配到乙校，再分配另外3個學(xué)生，有A種方法，同理可得，將A分配到丙丁各有A種，則共有3A＝18(種)． 二　組合問題 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型．“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。? (2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型，考慮逆向思維，用間接法處理． 【例2】 (1)若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同

7、時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法的種數(shù)是(　D　) A．60　　 B．63　　 C．65　　 D．66 (2)要從12人中選出5人去參加一項活動，A，B，C三人必須入選，則有__36__種不同選法． 解析 (1)因為1,2,3，…，9中共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，故有C＋C＋CC＝66種不同的取法． (2)只需從A，B，C之外的9人中選擇2人，即有C＝36種選法． 三　排列組合的綜合問題 利用先選后排法解決問題的三個步驟 【例3】 從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶

8、數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為(　C　) A．300　　 B．216 C．180　　 D．162 解析 分兩類：第1類，不取0，即從1,2,3,4,5中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有CCA＝72(個)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)； 第2類，取0，此時2和4只能取一個，再取兩個奇數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有CC(A－A)＝108(個)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，滿足題意的四位數(shù)共有72＋108＝180(個)． 四　分組分配問題 分組分配問題的處理策略 (1)不同元素的分配問題，往

9、往是先分組再分配，在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的差異． (2)對于相同元素的“分配”問題，常用的方法是采用“隔板法”． 【例4】 (1)(2017·全國卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　D　) A．12種　　 B．18種　　 C．24種　　 D．36種 (2)(2017·浙江卷)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有__660__種不同的選法(用數(shù)字作答)． 解析 (1)因為安排3

10、名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，所以必有1人完成2項工作．先把4項工作分成3組，即2,1,1，有C＝6種，再分配給3個人，有A＝6種，所以不同的安排方式共有6×6＝36(種)． (2)分兩步，第一步，選出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55種不同的選法；第二步，從4人中選出隊長、副隊長各1人，有A＝12種不同的選法．根據(jù)分步乘法計算原理知共有55×12＝660種不同的選法． 1．從0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字中任意取4個數(shù)字組成一個沒有重復(fù)數(shù)字且能被3整除的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有__96__個． 解析 依題意，只需組成的四位數(shù)各位數(shù)字的和能被3整除

11、．將這6個數(shù)字按照被3除和余數(shù)分類，共分為3類：{0,3}，{1,4}，{2,5}，若四位數(shù)含0，則另外3個數(shù)字分別為1,4之一，2,5之一，3，此時有CCCA＝72種；若四位數(shù)不含0，則4個數(shù)字為1,2,4,5，此時有A＝24種，由分類計數(shù)原理，這樣的四位數(shù)有72＋24＝96個． 2．“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1 458)，若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，則第30個數(shù)為__1_359__. 解析 “漸升數(shù)”由小到大排列，形如的“漸升數(shù)”共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個； 形如的“漸升數(shù)”共有5個； 形如的“漸升數(shù)”共有4個，故此時共有21＋5＋4＝3

12、0個，因此按從小到大的順序排列的四位“漸升數(shù)”的第30個數(shù)為1 359. 3．由0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，求： (1)有多少個含有2,3，但它們不相鄰的五位數(shù)？ (2)有多少個數(shù)字1,2,3必須由大到小順序排列的六位數(shù)？ 解析 (1)先不考慮0是否在首位，0,1,4,5先排三個位置，則有A個，2,3去排四個空位，有A個，即有AA個； 而0在首位時，有AA個， 即有AA－AA＝252個含有2,3，但它們不相鄰的五位數(shù)． (2)在六個位置先排0,4,5，先不考慮0是否在首位，則有A個，去掉0在首位，即有A－A個，0,4,5三個元素排在六個位置上留下了三

13、個空位，1,2,3必須由大到小進入相應(yīng)位置，并不能自由排列，所以有A－A＝100個六位數(shù). 4．從1到9的9個數(shù)字中取3個偶數(shù)4個奇數(shù)，試問： (1)能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？ (2)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起的有幾個？ (3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個？ 解析 (1)分三步完成：第一步，在4個偶數(shù)中取3個，有C種情況；第二步，在5個奇數(shù)中取4個，有C種情況；第三步，3個偶數(shù)，4個奇數(shù)進行排列，有A種情況．所以符合題意的七位數(shù)有CCA＝100 800個． (2)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起的有CCAA＝14 400個． (3)上述七位數(shù)

14、中，3個偶數(shù)排在一起，4個奇數(shù)也排在一起的有CCAAA＝5 760個． 易錯點　錯用“隔板法” 錯因分析：①不熟悉“隔板”法所處理問題的兩個基本特點：元素必須相同；必須保證每組至少1個元素．②當問題不具備這些特點時，不能完成轉(zhuǎn)化． 【例1】 (1)12個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，問每個盒子中至少有一個小球的不同放法有多少種？ (2)12個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，要求每個盒子中的小球數(shù)不小于其編號數(shù)，問不同的放法有多少種？ (3)12個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，每盒可空，問不同的放法有多少種？ 解析 (1)將12個小球排

15、成一排，中間11個間隔，在這11個間隔中選出3個，放上“隔板”，若記作“|”看作隔板，則如圖00|0000|0000|00隔板將一排球分成四塊，從左到右可以看成四個盒子放入的球數(shù)，即上圖中1,2,3,4四個盒子相應(yīng)放入2個，4個，4個，2個小球，這樣每一種隔板的插法就對應(yīng)了球的一種放法，即每一種從11個間隔中選出3個間隔的組合對應(yīng)于一種放法，所以不同放法有C＝165種．即每盒至少有一個小球，有165種不同放法． (2)先將1個，2個，3個小球分別放在編號為2,3,4的盒子中，再將余下的6個小球分別放在四個盒子中，每個盒子至少一個小球，有C＝10種放法． 所以放球數(shù)不小于編號數(shù)的放法總數(shù)為C

16、＝10種． (3)因為每盒可空，所以隔板之間允許無球，那么插入法就無法應(yīng)用，現(xiàn)建立如下數(shù)學(xué)模型：添加4個球與原來的12個球排成一排，中間有15個間隔，從這15個間隔中選出3個，放上“隔板”，有C個放法，隔成4組后，再將每組中去掉一個球即可，所以，允許空盒的放法有C＝455(種)． 【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016·全國卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　C　) A．18個　　 B．16個　　 C．14個　　 D．12個 解析 當m＝4時，

17、數(shù)列{an}共有8項，其中4項為0,4項為1，要滿足對任意k≤8，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，則必有a1＝0，a8＝1，a2可為0，也可為1.(1)當a2＝0時，分以下3種情況：①若a3＝0，則a4，a5，a6，a7中任意一個為0均可，則有C＝4種情況；②若a3＝1，a4＝0，則a5，a6，a7中任意一個為0均可，有C＝3種情況；③若a3＝1，a4＝1，則a5必為0，a6，a7中任一個為0均可，有C＝2種情況；(2)當a2＝1時，必有a3＝0，分以下2種情況：①若a4＝0，則a5，a6，a7中任一個為0均可，有C＝3種情況；②若a4＝1，則a5必為0，a6，a7中任一個為0均

18、可，有C＝2種情況．綜上所述，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14個，故選C． 課時達標　第55講 [解密考綱]本考點考查用排列與組合的知識解決計數(shù)問題，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)． 一、選擇題 1．在實驗室進行的一項物理實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有(　C　) A．34種　　 B．48種　　 C．96種　　 D．124種 解析 設(shè)6個程序分別是A，B，C，D，E，F(xiàn)，A安排在第一步或最后一步，有A種方法．將B和C看作一個元素，它們自身之間有A種方法，與除A外的其他程序進行全

19、排列，有A種方法，由分步計數(shù)原理得實驗順序的編排方法共有AAA＝96(種)，故選C． 2．甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、中山大學(xué)這3所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送1人的不同保送方法種數(shù)為(　A　) A．150　　 B．180　　 C．240　　 D．540 解析 分為兩類，第一類為2＋2＋1，即有2所大學(xué)分別保送2名同學(xué)，方法種數(shù)為C·C·＝90，第二類為3＋1＋1，即有1所大學(xué)保送3名同學(xué)，方法種數(shù)為C·A＝60，故不同的保送方法種數(shù)為150，故選A． 3．在5×5的棋盤中，放入3顆黑子和2顆白子，它們均不在同一行且不在同一列，則不同的排列方法種數(shù)為(　D　)

20、 A．150　　 B．200　　 C．600　　 D．1 200 解析 首先放入3顆黑子，在5×5的棋盤中，選出三行三列，共CC種方法，然后放入3顆黑子，每一行放1顆黑子，共3×2×1種方法，然后在剩下的兩行兩列放2顆白子，所以不同的方法種數(shù)為CC×3×2×1×2×1＝1 200，故選D． 4．市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，某車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有(　D　) A．180種

21、　　 B．360種 C．720種　　 D．960種 解析 按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)． 5．“住房”“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”成為現(xiàn)今社會關(guān)注的五個焦點．小趙想利用國慶節(jié)假期調(diào)查一下社會對這些熱點的關(guān)注度．若小趙準備按照順序分別調(diào)查其中的4個熱點，則“住房”作為其中的一個調(diào)查熱點，但不作為第一個調(diào)查熱點的種數(shù)為(　D　) A．13　　 B．24　　 C．18　　 D．72 解析 可分三步：第一步，先從“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”這4個熱點中選

22、出3個，有C種不同的選法；第二步，在調(diào)查時，“住房”安排的順序有A種可能情況；第三步，其余3個熱點調(diào)查的順序有A種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，不同調(diào)查順序的種數(shù)為CAA＝72. 6．2017年某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位的數(shù)字固定，后四位數(shù)從“0000”到“9999”共10 000個號碼中選擇．公司規(guī)定：凡卡號的后四位恰帶有兩個數(shù)字“6”或恰帶有兩個數(shù)字“8”的一律作為“金雞卡”享受一定優(yōu)惠政策．例如后四位數(shù)為“2663”或“8685”，則為“金雞卡”，則這組號碼中“金雞卡”的張數(shù)為(　C　) A．484　　 B．972　　 C．966　　 D．486 解析 ①當后四

23、位數(shù)中有兩個“6”時，“金雞卡”共C×9×9＝486(張)；②當后四位數(shù)中有兩個“8”時，“金雞卡”共有C×9×9＝486(張)．但這兩種情況都包含了后四位數(shù)是由兩個“6”和兩個“8”組成的這種情況，所以要減掉C＝6(張)，即“金雞卡”共有486×2－6＝966(張)． 二、填空題 7．4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的4個盒中，則恰有1個空盒的放法共有__144__種(用數(shù)字作答)． 解析 4個球分成3組，每組至少1個，即分成小球個數(shù)分別為2,1,1的3組，有種，然后將3組球放入4個盒中的3個，分配方法有A種，因此，方法共有×A＝144(種)． 8．數(shù)字1,2,3,4,5,6按

24、如圖形式隨機排列，設(shè)第一行的數(shù)為N1，其中N2，N3分別表示第二、三行中的最大數(shù)，則滿足N1

25、鄰的情況，運用插入法可得有AA＝144種，而當?shù)谒奈皇?的情況如圖所示，要使奇數(shù)不相鄰，偶數(shù)只能放在第2,5,6號位處，且5,6號位只能放一個偶數(shù)，因此偶數(shù)的放法有2×2種，其余的奇數(shù)放在1,3,5(或6)號位處，共有A＝6(種)，共有2×2×6＝24(種)，因此符合題意的六位數(shù)共有144－24＝120(個)． 三、解答題 10．將7個相同的小球放入4個不同的盒子中． (1)不出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？ (2)可出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？ 解析 (1)將7個相同的小球排成一排，在中間形成的6個空當中插入無區(qū)別的3個“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對應(yīng)一種球的

26、放入方式，則共有C＝20種不同的放入方式． (2)每種放入方式對應(yīng)于將7個相同的小球與3個相同的“隔板”進行一次排列，即從10個位置中選3個位置安排隔板，故共有C＝120(種)放入方式． 11．某班舉行的聯(lián)歡會由5個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須和節(jié)目乙相鄰，且節(jié)目甲不能排在第一個和最后一個，求該班聯(lián)歡會節(jié)目的演出順序的編排方案共有多少種？ 解析 若乙排在第一個或最后一個，則甲只能排在第二個或第四個，此時有AA＝12種不同編排方案；若乙排在第二個或第四個，則甲只能排在第三個，此時有AA＝12種不同編排方案；若乙排在第三個，則甲可能排在第二個或第四個，此時有AA＝12種不同編排方

27、案，故該班聯(lián)歡會節(jié)目的演出順序的編排方案共有36種． 12．用0,1,2,3,4,5,6構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，其中： (1)能被25整除的數(shù)有多少個？ (2)設(shè)x，y，z分別表示個位、十位、百位上的數(shù)字，滿足x